곱셈

2. 정의

• 자연수: 두 자연수 $r,s\backslash in\backslash mathbb\{N\}$의 곱은 덧셈을 반복하는 것으로 정의된다.

• 정수: 정수는 0, 양의 정수(자연수), 음의 정수로 이루어진다. 0과 다른 정수의 곱은 항상 0이다. 두 개의 0이 아닌 정수의 곱은 각 수의 절댓값을 곱한 값에 다음 부호 규칙을 적용하여 결정된다. 이 규칙은 곱셈의 분배법칙으로부터 유도된다.

• (양수) × (양수) = (양수) (자연수의 곱)
• (양수) × (음수) = (음수)
• (음수) × (양수) = (음수)
• (음수) × (음수) = (양수)

정수 ''m''과 자연수 ''n''에 대해 음수 곱셈은 ''m'' × (−''n'') := (−''m'') × ''n'' 와 같이 정의된다. 즉, 음의 정수 −''n''을 곱하는 것은, 대응하는 양의 정수 ''n''만큼 부호를 반전시킨 정수(−''m'')를 더하는 연산이다.

• 유리수: 두 분수 $\backslash frac\{z\}\{n\}$와 $\backslash frac\{z\text{'}\}\{n\text{'}\}$ (단, $n,\; n\text{'}\; \backslash neq\; 0$)의 곱은 각 분수의 분자와 분모를 서로 곱하여 계산한다.

:$$\backslash frac\{z\}\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{z\text{'}\}\{n\text{'}\}\; =\; \backslash frac\{z\backslash cdot\; z\text{'}\}\{n\backslash cdot\; n\text{'}\}$$

이는 높이가 $\backslash frac\{A\}\{B\}$이고 너비가 $\backslash frac\{C\}\{D\}$인 직사각형의 면적을 나타내며, 유리수가 정수일 때 배열에 있는 사물의 개수와 같다.^[24]

• 실수: 실수는 유리수를 이용하여 구성될 수 있다. 모든 실수는 유리수 집합의 최소 상한으로 표현될 수 있으며, 특히 양의 실수는 그 소수 표현의 절단으로 이루어진 집합의 최소 상한이다. 예를 들어, $\backslash pi$는 $\backslash \{3,\backslash ;\; 3.1,\backslash ;\; 3.14,\backslash ;\; 3.141,\backslash ldots\backslash \}$의 최소 상한이다. 실수의 곱셈은 이러한 유리수 근사가 산술 연산과 호환된다는 성질을 기반으로 정의된다. 즉, 양의 실수 ''a''와 ''b''가 각각 유리수 집합 A와 B의 최소 상한일 때($a=\backslash sup\_\{x\backslash in\; A\}\; x$, $b=\backslash sup\_\{y\backslash in\; B\}\; y$), 두 실수의 곱은 $a\backslash cdot\; b=\backslash sup\_\{x\backslash in\; A,\; y\backslash in\; B\}x\backslash cdot\; y$이다. 음수를 포함하는 실수의 곱셈은 정수의 부호 규칙을 따른다. 코시 수열을 통한 실수의 구성도 가능하다.

• 복소수: 두 복소수 $(a\; +\; b\; i)$와 $(c\; +\; d\; i)$의 곱은 분배법칙과 $i^2\; =\; -1$이라는 성질을 이용하여 계산한다.

:$\backslash begin\{align\}$

(a + b\, i) \cdot (c + d\, i)

&= a \cdot c + a \cdot d\, i + b \, i \cdot c + b \cdot d \cdot i^2\\

&= (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \, i

\end{align}

또는 $\backslash sqrt\{-1\}$을 $i$로 나타내면, $z\_1\; \backslash times\; z\_2\; =\; (a\_1+b\_1i)(a\_2+b\_2i)=(a\_1\; \backslash times\; a\_2)+(a\_1\backslash times\; b\_2i)+(b\_1\backslash times\; a\_2i)+(b\_1\backslash times\; b\_2i^2)=(a\_1a\_2-b\_1b\_2)+(a\_1b\_2+b\_1a\_2)i$이다.^[24]

복소수를 극좌표 형식 $r\; \backslash cdot\; e^\{i\backslash varphi\}\; =\; r(\backslash cos\backslash varphi\; +\; i\backslash sin\backslash varphi)$으로 나타내면, 두 복소수 $r\; e^\{i\backslash varphi\}$와 $s\; e^\{i\backslash psi\}$의 곱은 $(r\; \backslash cdot\; s)\; e^\{i(\backslash varphi\; +\; \backslash psi)\}$가 된다. 이는 곱셈 결과의 크기(절댓값)는 원래 두 복소수의 크기의 곱이고, 편각은 원래 두 복소수의 편각의 합임을 의미한다.^[24]

• 사원수: 사원수의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉, 일반적으로 $a\; \backslash cdot\; b\; \backslash neq\; b\; \backslash cdot\; a$이다. 자세한 내용은 사원수 문서에서 다룬다.

이처럼 곱셈은 수를 세는 것에서 시작하여 정수, 유리수, 실수, 복소수 등으로 확장되었으며, 더 나아가 행렬이나 사원수와 같이 수와 다른 대상에 대해서도 일반화되었다. 추상대수학에서는 환의 "곱셈으로 표시된"(두 번째) 이항 연산으로 곱셈의 매우 일반적이고 추상적인 개념을 다룬다. 예를 들어 다항식 환에서 다항식은 더하거나 곱할 수 있지만 일반적인 의미의 수는 아니다.

2. 1. 표기

산술에서 곱셈은 일반적으로 항 사이에 곱셈 기호 '×'를 사용하여 중위 표기법으로 표기한다.^[3] 예를 들면 다음과 같다.

:$2\backslash times\; 3\; =\; 6$ ("2 곱하기 3은 6이다")

:$3\backslash times\; 4\; =\; 12$

:$2\backslash times\; 3\backslash times\; 5\; =\; 6\backslash times\; 5\; =\; 30$

곱셈 기호 대신 점 연산 기호 '⋅'를 사용하기도 한다.^[4]마침표를 소수점으로 사용하는 대한민국, 미국, 영국 등에서는 이 방식이 표준적이다. 점 연산 기호는 유니코드 U+22C5 ⋅ (DOT OPERATOR)로 표현된다. 이 문자를 사용할 수 없을 때는 가운뎃점 '·' (U+00B7)을 사용하기도 한다. 반면, 쉼표를 소수점으로 사용하는 독일, 프랑스 등 유럽 일부 국가에서는 곱셈을 나타내기 위해 점 연산 기호 '⋅' 또는 마침표 '.'를 사용한다. 예를 들어, 5 곱하기 2는 다음과 같이 표기할 수 있다.

: $5\; \backslash cdot\; 2$ 또는 $5\backslash ,\; .\; \backslash ,2$

대수학에서는 인수가 문자로 표기되거나 괄호로 묶인 경우, 곱셈 기호를 생략하고 인수를 붙여 쓰는 표기법(병치)을 자주 사용한다. 이를 '암시적 곱셈'이라고도 한다.^[31] 예를 들면 다음과 같다.

:$7x$ (7 곱하기 ''x''. 이때 7과 같은 수를 계수라고 한다)

:$ab$ (''a'' 곱하기 ''b'')

:$2(1\; +\; 6)$ (2 곱하기 (1 + 6))

:$5(2)$ 또는 $(5)2$ 또는 $(5)(2)$ (5 곱하기 2)

다만 곱셈 기호를 생략하면 혼동이 생길 수 있다. 예를 들어, 십진법으로 표기한 수 52는 5 × 2로 오인될 수 있으며,^[36] ''a''(''b'' + ''c'')와 같은 표기는 함수 표기법과 혼동될 수 있다.^[32][33]

벡터 간의 곱셈에서는 '×' 기호와 '⋅' 기호가 명확히 구분되어 사용된다. '×' 기호는 두 벡터의 벡터곱(외적)을 나타내며 결과는 벡터가 되고, '⋅' 기호는 두 벡터의 스칼라곱(내적)을 나타내며 결과는 스칼라가 된다.

컴퓨터 프로그래밍에서는 별표 '*'를 곱셈 연산자로 사용하는 것이 일반적이다(예: `5*2`). 이는 과거 컴퓨터의 문자 집합(예: ASCII, EBCDIC)에 '×'나 '⋅' 같은 곱셈 기호가 포함되지 않은 경우가 많았고, 키보드에 항상 있는 '*'를 대신 사용했기 때문이다. 이러한 관례는 포트란(FORTRAN) 프로그래밍 언어에서 시작되었다.^[7]

3. 성질

실수와 복소수에서의 곱셈은 다음과 같은 기본적인 성질을 만족한다. (단, 아래에서 설명하는 모든 성질이 모든 수학적 체계에서 성립하는 것은 아니다.)

• 교환 법칙: 두 수를 곱하는 순서는 결과에 영향을 주지 않는다.^[24][25]

:$x\; \backslash cdot\; y\; =\; y\; \backslash cdot\; x$

• 결합 법칙: 세 개 이상의 수를 곱할 때, 계산 순서는 결과에 영향을 주지 않는다.^[24][25]

:$(x\; \backslash cdot\; y)\; \backslash cdot\; z\; =\; x\; \backslash cdot\; (y\; \backslash cdot\; z)$

• 분배 법칙: 곱셈은 덧셈에 대해 분배된다. 이는 대수식을 다룰 때 매우 중요하다.^[24][25]

:$x\; \backslash cdot\; (y\; +\; z)\; =\; x\; \backslash cdot\; y\; +\; x\; \backslash cdot\; z$

• 항등원: 곱셈의 항등원은 1이다. 어떤 수에 1을 곱해도 그 수 자신이 된다.^[24][25]

:$x\; \backslash cdot\; 1\; =\; x$

• 흡수원(0의 성질): 어떤 수에 0을 곱하면 결과는 항상 0이다.^[24]

:$x\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$

• 음수와 부호 규칙:
• 어떤 수에 -1을 곱하면 그 수의 덧셈의 역원(부호를 바꾼 수)이 된다.

:$(-1)\; \backslash cdot\; x\; =\; (-x)$ (여기서 $(-x)\; +\; x\; =\; 0$)

• -1에 -1을 곱하면 1이 된다.

:$(-1)\; \backslash cdot\; (-1)\; =\; 1$

• 정수, 유리수, 실수의 곱셈에서 부호는 다음 규칙을 따른다.
• 양수 × 양수 = 양수
• 양수 × 음수 = 음수
• 음수 × 양수 = 음수
• 음수 × 음수 = 양수
• 역원: 0이 아닌 모든 수 ''x''는 곱셈의 역원 $\backslash frac\{1\}\{x\}$을 가지며, 이 둘을 곱하면 항등원 1이 된다.^[26]

:$x\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash right)\; =\; 1$

• 순서 보존:
• 양수를 곱하면 수의 대소 관계(순서)가 유지된다.
• 만약 ''a'' > 0 이고 ''b'' > ''c'' 이면, ''ab'' > ''ac'' 이다.
• 음수를 곱하면 수의 대소 관계가 반대로 뒤집힌다.
• 만약 ''a'' < 0 이고 ''b'' > ''c'' 이면, ''ab'' < ''ac'' 이다.
• 복소수 체계에는 덧셈과 곱셈 연산 모두와 호환되는 순서 관계가 존재하지 않는다.^[27]

모든 수학적 체계가 위의 모든 곱셈 성질을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 행렬 곱셈이나 사원수 곱셈은 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않는다.^[24] 또한 팔원수와 같이 더 높은 차원의 초복소수 체계에서는 결합 법칙조차 성립하지 않을 수 있다.^[28]

3. 1. 형식적 정의

페아노 산술에서는 자연수의 곱셈을 다음과 같은 두 공리로 기술한다.^[29] 주세페 페아노는 그의 저서 ''산술원리, 새로운 방법으로 제시됨''(Arithmetices principia, nova methodo exposita|^la)에서 자연수에 대한 공리에 기반한 산술 공리를 제안했다.

:$m\; \backslash times\; 0\; =\; 0$

:$m\; \backslash times\; S(n)\; =\; m\; \backslash times\; n\; +\; m$

여기서 ''S''(''n'')은 ''n''의 따름수(successor), 즉 ''n'' 바로 다음에 오는 자연수를 나타낸다. 이 두 공리는 자연수의 집합론적 모형에서 자연수 곱셈의 정의로 사용되며, 곱셈의 존재성과 유일성은 자연수에 대한 재귀정리에 의해 보장된다. 결합법칙과 같은 다양한 곱셈의 성질은 이 공리들과 수학적 귀납법을 포함한 페아노 산술의 다른 공리들로부터 증명될 수 있다. 예를 들어, 1로 표시되는 ''S''(0)는 곱셈의 항등원임을 다음과 같이 보일 수 있다.

:$x\; \backslash times\; 1\; =\; x\; \backslash times\; S(0)\; =\; (x\; \backslash times\; 0)\; +\; x\; =\; 0\; +\; x\; =\; x.$

정수, 유리수, 실수, 복소수와 같은 수 체계는 집합론을 이용하여 형식적으로 구성할 수 있으며, 각 체계에서 곱셈 연산이 정의된다.

• 정수의 곱셈: 정수 체계는 자연수의 집합 ℕ × ℕ 위의 동치류로서 구성된다. 이때 순서쌍 (''a'', ''b'')는 직관적으로 ''a'' - ''b''에 대응된다. 예를 들어, (0, 1)과 (1, 2)는 모두 -1을 나타내는 동치류에 속한다. 두 정수 (''a'', ''b'')와 (''c'', ''d'')의 곱셈은 다음과 같이 잘 정의된(well-defined) 연산으로 정의된다.

:$(a,\; b)\; \backslash cdot\; (c,\; d)\; =\; (ac\; +\; bd,\; ad\; +\; bc)$ (단, ''a'', ''b'', ''c'', ''d''는 자연수)

이 정의를 이용하면 음수 곱하기 음수가 양수가 되는 규칙, 예를 들어 (−1) × (−1) = 1을 형식적으로 유도할 수 있다. (0, 1)은 -1에 해당하고 (1, 0)은 1에 해당하므로,

:$(0,\; 1)\; \backslash times\; (0,\; 1)\; =\; (0\; \backslash times\; 0\; +\; 1\; \backslash times\; 1,\backslash ;\; 0\; \backslash times\; 1\; +\; 1\; \backslash times\; 0)\; =\; (1,\; 0)$

• 유리수의 곱셈: 유리수 체계는 정수의 집합 ℤ × (ℤ⧵{0}) 위의 동치류로 구성된다. 순서쌍 (''a'', ''b'')는 분수 ''a''/''b''에 해당한다. 두 유리수 (''a'', ''b'')와 (''c'', ''d'')의 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

:$(a,\; b)\; \backslash cdot\; (c,\; d)\; =\; (ac,\; bd)$ (단, ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ∈ ℤ, ''b'', ''d'' ≠ 0)

• 실수의 곱셈: 실수는 여러 방법으로 형식적으로 구성될 수 있다 (자세한 내용은 실수의 구성 참조). 대표적인 방법 중 하나는 데데킨트 절단을 이용하는 것이다. 두 실수 ''r₁'', ''r₂''가 데데킨트 절단으로 주어졌을 때, 그 곱 ''r₁r₂''는 다음과 같이 정의된다.

: (여기서 ε는 부호 규칙에 따라 결정됨)

또 다른 관점은 실수를 유리수의 코시 수열의 동치류나 유리수 집합의 상한으로 정의하는 것이다. 예를 들어, 양의 실수 ''a''와 ''b''가 각각 유리수 집합 ''A''와 ''B''의 최소 상한(supremum)으로 정의될 때 ($a\; =\; \backslash sup\; A,\; b\; =\; \backslash sup\; B$), 그 곱은 다음과 같이 정의된다.

:$a\; \backslash cdot\; b\; =\; \backslash sup\; \backslash \{xy\; \backslash mid\; x\; \backslash in\; A,\; y\; \backslash in\; B\backslash \}$

이 정의는 유리수 근사를 통한 곱셈이 실수 곱셈과 잘 호환됨을 보여준다. 음수를 포함하는 실수의 곱셈은 정수와 마찬가지로 부호 규칙을 적용하여 정의할 수 있다.^[29]

• 복소수의 곱셈: 복소수는 보통 실수 순서쌍 (''a'', ''b'') 또는 ''a'' + ''bi'' 형태로 표현된다 (여기서 ''i''는 허수 단위로, $i^2\; =\; -1$을 만족한다). 두 복소수 (''a'', ''b'')와 (''c'', ''d'') (또는 ''a'' + ''bi''와 ''c'' + ''di'')의 곱셈은 분배법칙과 $i^2\; =\; -1$을 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:$(a,\; b)\; \backslash cdot\; (c,\; d)\; =\; (ac\; -\; bd,\; ad\; +\; bc)$

:$(a\; +\; b\backslash ,\; i)\; \backslash cdot\; (c\; +\; d\backslash ,\; i)\; =\; (ac\; -\; bd)\; +\; (ad\; +\; bc)\; \backslash ,\; i$

복소수 곱셈은 극좌표를 이용하면 기하학적으로 해석할 수 있다. 복소수 $z\; =\; a\; +\; bi$를 극좌표 형식 $z\; =\; r\; (\backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash varphi)\; =\; r\; e^\{i\backslash varphi\}$ (여기서 ''r''은 크기, φ는 편각)로 나타낼 때, 두 복소수 $z\_1\; =\; r\_1\; e^\{i\backslash varphi\_1\}$과 $z\_2\; =\; r\_2\; e^\{i\backslash varphi\_2\}$의 곱은 다음과 같다.

:$z\_1\; z\_2\; =\; (r\_1\; e^\{i\backslash varphi\_1\})\; (r\_2\; e^\{i\backslash varphi\_2\})\; =\; r\_1\; r\_2\; e^\{i(\backslash varphi\_1\; +\; \backslash varphi\_2)\}$

이는 복소수를 곱할 때 크기는 곱해지고 편각은 더해짐을 의미한다.

4. 계산법

역사적으로 곱셈을 빨리 하기 위해 주산과 같은 도구가 사용되었고, 작은 자연수의 곱셈 암산을 위해 구구단이나 19단 등을 외우기도 했다.

큰 자연수를 곱할 때는 두 수를 세로로 나열하여 구구법에 기초해 계산하는 필산법을 사용할 수 있다(오른쪽 그림 참고).

연필과 종이를 사용하는 일반적인 곱셈 방법은 작은 숫자(주로 0부터 9까지)의 곱셈 결과를 암기하거나 곱셈표를 참조해야 한다. 하지만 농부 곱셈과 같은 알고리즘은 곱셈표가 필요 없다. 아래는 "긴 곱셈"("표준 알고리즘", "초등학교 곱셈")의 예시이다.

```

23958233

× 5830

———————————————

00000000 ( = 23,958,233 × 0)

71874699 ( = 23,958,233 × 30)

191665864 ( = 23,958,233 × 800)

+119791165 ( = 23,958,233 × 5000)

———————————————

139676498390 ( = 139,676,498,390)

```

독일 등 일부 국가에서는 위와 비슷하게 계산하지만, 원래 곱셈식을 수평으로 쓰고 곱하는 수의 첫 번째 자릿수부터 계산하기도 한다.^[11]

```

23958233 · 5830

———————————————

119791165

191665864

71874699

00000000

———————————————

139676498390

```

소수점 이하 자릿수가 많은 곱셈은 손으로 계산하기 번거롭고 오류가 발생하기 쉽다. 이러한 계산을 단순화하기 위해 로그의 덧셈이 곱셈과 같다는 성질을 이용한 상용로그가 발명되었다. 계산자를 사용하면 숫자를 약 3자리 정확도로 빠르게 곱할 수 있었다. 20세기 초부터는 머천트와 같은 기계식 계산기가 최대 10자리 숫자의 곱셈을 자동화했다. 현대의 전자 컴퓨터와 계산기는 손으로 곱셈을 할 필요성을 크게 줄였다.

곱셈 방법은 고대 이집트, 그리스, 인도, 중국 등의 기록에서 찾아볼 수 있다. 기원전 약 18,000년에서 20,000년 사이의 이샨고 뼈는 구석기 후기 중앙 아프리카에서 곱셈 지식이 있었을 가능성을 시사하지만 추측에 불과하다.^[12]

고대 이집트에서는 라인드 수학 파피루스에 기록된 것처럼 연속적인 덧셈과 두 배 만들기를 통해 정수와 분수를 곱했다. 예를 들어, 13과 21을 곱하려면 21을 세 번 두 배로 만들어 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168을 얻는다. 그런 다음 13 = 1 + 4 + 8 이므로, 해당 항들을 더하여 완전한 곱을 구한다.^[13]

:13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

바빌로니아인들은 현대의 십진법과 유사한 60진법 위치적 기수법을 사용했다. 따라서 바빌로니아의 곱셈은 현대의 십진 곱셈과 매우 유사했다. 60 × 60개의 서로 다른 곱을 기억하는 것이 상대적으로 어려웠기 때문에, 바빌로니아 수학자들은 곱셈표를 사용했다. 이 표는 특정 주요 숫자 ''n''의 처음 20배수, 즉 ''n'', 2''n'', ..., 20''n''의 목록으로 구성되었으며, 그 뒤에는 10''n''의 배수인 30''n'', 40''n'', 50''n''이 뒤따랐다. 그런 다음, 어떤 60진수 곱, 예를 들어 53''n''을 계산하려면 표에서 계산된 50''n''과 3''n''을 더하기만 하면 되었다.

중국에서는 수학 서적 주비산경(기원전 300년 이전)과 구장산술에서 곱셈 계산은 글로 적었지만, 초기 중국 수학자들은 자릿값을 이용한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 포함하는 산가지를 사용했다. 전국 시대 말에는 이미 중국에서 십진 곱셈표를 사용하고 있었다.^[14]

힌두-아라비아 숫자 체계를 기반으로 하는 현대적인 곱셈 방법은 브라마굽타에 의해 처음으로 설명되었다. 브라마굽타는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈에 대한 규칙을 제시했다. 프린스턴 대학교의 수학 교수였던 헨리 버차드 파인은 다음과 같이 썼다.

:''인도인들은 위치적 십진수 체계 자체뿐만 아니라 이 체계를 사용한 기본적인 계산에 포함된 대부분의 과정을 발명한 사람들입니다. 그들은 덧셈과 뺄셈을 오늘날과 똑같이 수행했습니다. 곱셈은 여러 가지 방법으로, 우리가 사용하는 방법을 포함하여 수행했지만, 나눗셈은 다소 복잡하게 수행했습니다.''^[15]

이러한 위치값 십진법 산술 알고리즘은 9세기 초 알콰리즈미에 의해 아랍 국가에 소개되었고, 13세기에 피보나치에 의해 서구 세계에 널리 보급되었다.^[16]

격자 곱셈(또는 상자 곱셈)은 영국과 웨일스의 초등학교와 미국 일부 지역에서 여러 자릿수 곱셈의 원리를 가르치는 데 사용된다. 34와 13을 곱하는 예를 들면 다음과 같이 격자에 숫자를 배열한다.

×	30	4
10	300	40
3	90	12

그런 다음 각 칸의 값(300, 40, 90, 12)을 더하여 최종 결과(442)를 얻는다.

기원전 2700년부터 기원전 2300년 사이 메소포타미아의 수메르 지역에서 주판이 사용되었으며, 설형문자로 쓰인 곱셈표 점토판도 발견되었다. 기원전 2세기경 주판이 중국에 전해졌고, 일본에는 1570년대 『일본풍토기』에 "소오반"(소로반)이라는 이름으로 처음 등장했다. 주산에서의 곱셈에는 다양한 기법이 발달했다.

존 네이피어는 과학 계산을 간편하게 하기 위해 로그 개념을 도입하여, 로그표(1598년)를 발표했다. 예로부터 AB = e^{log A + log B} 와 같은 등식을 이용하는 곱셈 방법이 알려져 있었고, 로그표에 의해 곱셈 계산을 덧셈 계산으로 바꾸어 근삿값을 구할 수 있게 되었다. 로그의 도입은 요하네스 케플러의 천체 궤도 계산 등 복잡한 과학 계산을 가능하게 하여 과학의 급격한 발전을 이끌었다.

에드먼드 건터가 로그자(1620년)를, 윌리엄 오트레드가 두 개의 로그자를 조합한 계산자(1632년)를 발명하여, 전자계산기가 보급된 1980년대까지 널리 사용되었다.

과학의 급격한 발전과 더불어, 보다 정확한 로그표에 대한 수요가 커졌다. 마르틴 비베리는 1875년에 로그표를 작성할 수 있는 차분기관과 비슷한 기구를 가진 기계를 발명했다. 아날로그 승산기에서도 로그를 이용한 AB = e^{log A + log B} 라는 등식을 이용하는 방법이 사용되었다.

4. 1. 컴퓨터 알고리즘

• 카라츠바 알고리즘 (1960년 개발)
• Toom–Cook multiplication|톰-쿡 곱셈^영어 (1963년 개발): 카라츠바 알고리즘은 톰-쿡 알고리즘의 한 종류(Toom-3)로 볼 수 있다.
• 쇤하게-슈트라센 알고리즘 (1971년 개발): 1965년에 고속 푸리에 변환(FFT)의 쿨리-튜키 알고리즘이 발견된 후, FFT를 사용하는 방법으로 개발되었다. 쇤하게-슈트라센 알고리즘은 카라츠바 알고리즘이나 톰-쿡 곱셈보다 빠르다.
• Fürer's algorithm|퓌러 알고리즘^영어 (2007년 개발): 쇤하게-슈트라센 알고리즘보다 점근적으로 더 빠르다.

5. 일반화

두 수의 곱셈은 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 및 사원수와 같은 다양한 종류의 수에 대해 정의될 수 있다. 수학의 발전 과정에서 곱셈은 단순히 수를 세는 것에서 출발하여, 행렬이나 사원수와 같이 더 복잡하고 추상적인 수학적 대상까지 포괄하도록 일반화되었다.

• 정수: 양의 정수 ''N''과 ''M''의 곱 $N\; \backslash times\; M$은 ''M''을 ''N''번 더하는 것과 같다. 음수를 포함하도록 확장하면, $N\; \backslash times\; (-M)\; =\; (-N)\; \backslash times\; M\; =\; -(N\; \backslash times\; M)$ 이고 $(-N)\; \backslash times\; (-M)\; =\; N\; \backslash times\; M$ 와 같은 부호 규칙이 적용된다. 이 규칙은 유리수와 실수에서도 동일하게 적용된다.
• 유리수: 분수 형태의 유리수 곱셈은 각 분자와 분모를 곱하는 방식으로 일반화된다: $\backslash frac\{A\}\{B\}\; \backslash times\; \backslash frac\{C\}\{D\}\; =\; \backslash frac\{A\; \backslash times\; C\}\{B\; \backslash times\; D\}$ (단, $B,\; D\; \backslash neq\; 0$).^[24]
• 실수: 실수의 곱셈은 코시 수열에 대한 정의를 통해 형식적으로 정의될 수 있다.
• 복소수: 복소수 $z\_1\; =\; a\_1\; +\; b\_1\; i$ 와 $z\_2\; =\; a\_2\; +\; b\_2\; i$ 의 곱은 $z\_1\; \backslash times\; z\_2\; =\; (a\_1\; a\_2\; -\; b\_1\; b\_2)\; +\; (a\_1\; b\_2\; +\; b\_1\; a\_2)\; i$ 로 정의된다. 여기서 $i\; =\; \backslash sqrt\{-1\}$ 이다.^[24] 극형식으로는 $z\_1\; =\; r\_1(\backslash cos\backslash phi\_1+i\backslash sin\backslash phi\_1),\; z\_2\; =\; r\_2(\backslash cos\backslash phi\_2+i\backslash sin\backslash phi\_2)$ 일 때, $z\_1\; z\_2\; =\; r\_1\; r\_2(\backslash cos(\backslash phi\_1\; +\; \backslash phi\_2)\; +\; i\backslash sin(\backslash phi\_1\; +\; \backslash phi\_2))$ 가 된다.^[24]

5. 1. 분수

5. 2. 다항식

5. 3. 아벨 군

5. 4. 행렬

5. 5. 무한곱

6. 역사

곱셈 방법은 고대 이집트 문명, 바빌로니아, 중국 문명 등의 기록에서 찾아볼 수 있다.

기원전 약 18,000년에서 20,000년 사이의 것으로 추정되는 이산고 뼈는 구석기 후기 중앙 아프리카에서 곱셈에 대한 지식을 암시하는 것일 수 있지만, 이는 추측에 불과하다.^[12]

=== 고대 이집트 ===

고대 이집트의 정수와 분수 곱셈 방법은 라인드 수학 파피루스에 기록되어 있으며, 연속적인 덧셈과 배가를 통해 이루어졌다. 예를 들어, 13과 21의 곱을 구하려면 21을 세 번 배로 하여 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168을 얻는다. 그런 다음, 13을 이진법으로 표현한 1101₍₂₎처럼, 배가 수열에서 1에 해당하는 항(1 × 21, 4 × 21, 8 × 21)을 더하여 완전한 곱을 구할 수 있다.^[13]

:13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

=== 바빌로니아 ===

바빌로니아인들은 현대의 십진법과 유사한 60진법 위치적 기수법을 사용했다. 따라서 바빌로니아의 곱셈은 현대의 십진 곱셈과 매우 유사했다. 60 × 60개의 서로 다른 곱을 기억하는 것이 상대적으로 어려웠기 때문에, 바빌로니아 수학자들은 곱셈표를 사용했다. 이 표는 특정 주요 숫자 ''n''의 처음 20배수 목록과 10''n''의 배수(30''n'', 40''n'', 50''n'')로 구성되었다. 어떤 60진수 곱, 예를 들어 53''n''을 계산하려면 표에서 계산된 50''n''과 3''n''을 더하기만 하면 되었다.

=== 중국 ===

수학 서적 『주비산경(周髀算經)』(기원전 300년 이전)과 『구장산술(九章算術)』에서 곱셈 계산은 글로 적었지만, 초기 중국 수학자들은 자릿값을 이용한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 포함하는 산가지를 사용했다. 전국 시대 말에는 이미 중국에서 십진 곱셈표를 사용하고 있었다.^[14]

=== 현대적 방법의 발전 ===

힌두-아라비아 숫자 체계를 기반으로 하는 현대적인 곱셈 방법은 인도의 수학자 브라마굽타에 의해 처음으로 설명되었다. 브라마굽타는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈에 대한 규칙을 제시했다. 프린스턴 대학교의 수학 교수였던 헨리 버차드 파인은 인도인들이 위치적 십진수 체계와 이를 사용한 기본적인 계산 과정을 발명했으며, 곱셈은 오늘날 사용하는 방법을 포함한 여러 방식으로 수행되었다고 평가했다.^[15]

이러한 위치값 십진법 산술 알고리즘은 9세기 초 알콰리즈미에 의해 아랍 국가에 소개되었고, 13세기에 피보나치에 의해 서구 세계에 널리 보급되었다.^[16]

격자 곱셈(또는 상자 곱셈)은 영국과 웨일스의 초등학교 및 미국 일부 지역에서 여러 자릿수 곱셈의 원리를 가르치는 데 사용된다. 예를 들어 34와 13을 곱하는 경우, 격자에 숫자를 다음과 같이 배열한다.

:

그런 다음 각 칸의 값(300, 40, 90, 12)을 더하여 최종 결과 442를 얻는다.

=== 계산 도구의 발달 ===

==== 주판 ====

기원전 2700년에서 2300년 사이 메소포타미아의 수메르 지역에서 주판이 사용되었으며, 설형문자로 쓰인 점토판의 곱셈표가 발견되었다. 기원전 2세기에는 주판이 중국에 전해졌고, 이를 이용한 빠른 곱셈 기술이 발달했다. 일본에서는 『일본풍토기』(1570년대)에 "소오반"(소로반)이라는 명칭으로 처음 등장한다. 주산에서의 곱셈은 여러 방법이 있었으며, 현재는 새로운 머릿곱셈과 양쪽 떨구기 방식이 표준적으로 사용된다.

==== 로그와 계산자 ====

존 네이피어는 과학 계산을 간편하게 하기 위해 로그 개념을 도입하고 로그표(1598년)를 발표했다. 로그표를 이용하면 $AB\; =\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash log\; A\; +\; \backslash log\; B\}$ 와 같은 원리로 곱셈 계산을 덧셈 계산으로 바꾸어 근삿값을 구할 수 있었다. 로그의 도입은 요하네스 케플러의 천체 궤도 계산 등을 가능하게 하여 과학 발전에 크게 기여했다. 에드먼드 건터가 로그자(1620년)를, 윌리엄 오트레드가 두 개의 로그자를 조합한 계산자(1632년)를 발명하여, 전자계산기가 보급된 1980년대까지 널리 사용되었다.

==== 기계식 계산기 ====

과학의 발전과 함께 더 정확한 로그표에 대한 수요가 커졌다. 마르틴 비베리는 1875년에 로그표를 작성할 수 있는 차분기관과 유사한 기계를 발명했다. 아날로그 승산기에서도 로그를 이용한 곱셈 방식이 사용되었다. 20세기 초부터 머천트 계산기와 같은 기계식 계산기는 최대 10자리 숫자의 곱셈을 자동화했다. 현대의 전자 컴퓨터와 계산기는 손으로 곱셈을 할 필요성을 크게 줄였다.

7. 응용

같은 종류의 양만 의미 있게 더하거나 뺄 수 있지만, 서로 다른 종류의 양은 문제없이 곱하거나 나눌 수 있다. 예를 들어, 구슬이 세 개씩 들어 있는 네 개의 가방은 다음과 같이 생각할 수 있다.^[1]

: [4개의 가방] × [가방 당 3개의 구슬] = 12개의 구슬

두 가지 측정값을 곱하면 그 결과는 측정값의 종류에 따라 달라진다. 이러한 단위를 포함한 계산의 일반적인 이론은 차원 분석에서 다루며, 이 분석은 물리학뿐만 아니라 금융 등 다양한 분야에서 활용된다.

물리학에서 흔히 볼 수 있는 예로, 속도에 시간을 곱하면 거리를 구할 수 있다. 예를 들어:

: 시속 50km × 3h = 150km

이 경우, 시간 단위(h)가 서로 약분되어 곱의 단위는 거리 단위(km)만 남게 된다.

단위가 포함된 곱셈의 다른 예는 다음과 같다.

• 넓이 계산: 2.5m × 4.5m = 11.25m²
• 거리 계산: 11 m/s × 9s = 99m
• 총 인원 계산: 집당 4.5명의 거주자 × 20집 = 90명의 거주자

참조

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_[2] 웹사이트 What exactly is multiplication? https://profkeithdev[...] 2011-01-01
_[3] 웹사이트 Intro to multiplication Multiplication and division Arithmetic Khan Academy https://www.youtube.[...] 2015-08-14
_[4] 웹사이트 Why aren't we using the multiplication sign? Introduction to algebra Algebra I Khan Academy https://www.youtube.[...] 2012-09-06
_[5] 저널 Victory on Points 1968-01-01
_[6] 웹사이트 The Lancet – Formatting guidelines for electronic submission of manuscripts http://download.thel[...]
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_[15] 서적 The Number System of Algebra – Treated Theoretically and Historically https://archive.org/[...] 1907-01-01
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_[17] 저널 Even faster integer multiplication 2016-01-01
_[18] 웹사이트 Integer multiplication in time O(n log n) https://hal.archives[...] 2019-04-08
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_[20] 웹사이트 Multiplication Hits the Speed Limit https://cacm.acm.org[...] 2020-01-01
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_[23] 웹사이트 Exponentiation https://mathworld.wo[...]
_[24] 웹사이트 Multiplication https://encyclopedia[...]
_[25] 서적 Discrete Mathematics Oxford University Press 2002-01-01
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_[27] 웹사이트 ORDERING COMPLEX NUMBERS... NOT* https://web.maths.un[...] UNSW Sydney, School of Mathematics and Statistics
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_[29] 웹사이트 10.2: Building the Real Numbers https://math.librete[...] 2018-04-11
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_[32] 웹사이트 Order of Operations: Implicit Multiplication? https://www.themathd[...] The Math Doctors 2019-10-14
_[33] 웹사이트 Implied Multiplication 1: Not as Bad as You Think Implied Multiplication 2: Is There a Standard? Implied Multiplication 3: You Can't Prove It https://www.themathd[...] The Math Doctors 2023-08-18,2023-08-25,2023-09-01
_[34] 웹사이트 https://ko.wiktionar[...]
_[35] 서적 2008-01-01
_[36] 논문 # 또는 서적, 추가 정보 없이는 정확한 type을 판단할 수 없습니다. 필요에 따라 수정하세요.