덧셈
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1. 개요
덧셈은 두 수의 합을 구하는 기본적인 산술 연산으로, 덧셈 기호(+)를 사용하여 나타낸다. 덧셈의 결과는 '합'이라고 하며, 더해지는 수들은 '가수' 또는 '피가수'라고 불린다. 덧셈은 교환 법칙과 결합 법칙을 만족하며, 0은 덧셈의 항등원이다. 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등 다양한 수 체계에서 덧셈이 정의되며, 페아노 공리계를 통해 자연수의 덧셈을 수학적으로 정의할 수 있다. 덧셈은 집합의 결합, 길이 연장 등 다양한 물리적 현상을 모델링하는 데 사용되며, 컴퓨터 및 아날로그 시스템에서도 중요한 연산으로 활용된다. 덧셈은 초등학교에서 학습하며, 수 세기, 덧셈표 암기 등의 방법을 통해 익힌다. 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등은 덧셈과 관련된 연산이다.
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덧셈 | |
---|---|
"덧셈"에 대한 정보 | |
기본 정보 | |
언어 | 영어: Addition 한자: 加法 한국어: 덧셈 |
다른 이름 | 영어: summation |
정의 | |
정의 | 주어진 숫자들의 총합을 구하는 이항 연산 |
수학적 표기 | |
기호 | + |
예시 | 3 + 2 = 5 |
성질 | |
교환 법칙 | 두 수의 순서를 바꿔 더해도 결과는 같음 |
결합 법칙 | 세 수 이상을 더할 때 앞의 두 수를 먼저 더한 후 남은 수를 더하거나, 뒤의 두 수를 먼저 더한 후 남은 수를 더해도 결과는 같음 |
관련 연산 | |
역연산 | 뺄셈 |
관련 연산 | 곱셈, 나눗셈 |
2. 표기법 및 용어
덧셈은 보통 덧셈 기호 '+'를 사용하여 중위 표기법으로 표현하며, 그 결과는 등호 기호 '='를 사용하여 나타낸다.[3] 예를 들어, 1 + 2 = 3은 "1 더하기 2는 3이다"와 같이 읽는다.
덧셈은 중위 표기법으로 표현하며, 덧셈기호(+) 양옆에 숫자를, 등호기호(=) 오른쪽에 결과를 나타낸다. 예를 들어, 1+1=2와 같이 표현한다.
덧셈에서 더해지는 수들을 '덧셈인자' 또는 '피가수', '가수'라고 하며, 덧셈의 결과를 '합'이라고 한다.[3]
관습적으로 대분수의 경우 덧셈 기호 없이 정수와 분수를 나란히 표기하여 덧셈을 나타내기도 한다.[4] 예를 들어,
:
와 같이 표기한다.
3. 덧셈의 여러 가지 방법
대분수의 경우 덧셈기호 없이 앞의 수와 뒤의 분수가 더해진 수로 간주한다.
두 자연수의 덧셈은 자연수의 순서에 따라 그 순서를 더하여 구할 수 있다. 예를 들어 3+4는 세 번째 수에 네 번째 수를 더하여 일곱 번째 수인 7이 된다.
두 자리 수 이상의 자연수의 덧셈은 각 자리수를 더하여 계산한다. (예: 145+231=100+200+40+30+5+1=300+70+6=376)
두 분수의 덧셈은 분모가 같으면 분자끼리 더한다. 분모가 다르면 최소공배수를 이용하여 통분하여 계산한다.
소수의 덧셈은 소수점을 기준으로 자리를 맞추어 계산하며, 자연수의 덧셈과 마찬가지로 받아올림을 할 수 있다. 예를 들어 45.1 + 4.34는 다음과 같이 계산한다.
4 5 . 1 0
+ 0 4 . 3 4
————————————
4 9 . 4 4
과학적 표기법에서 덧셈은 숫자를 } 형태로 나타낼 때, 같은 지수 부분을 사용하여 두 유효숫자를 더하는 방식으로 이루어진다.
예를 들어:
: }
이진 덧셈은 십진법 덧셈과 유사하다. 한 자리 이진수 두 개를 더하는 것은 다음과 같다.
: 0 + 0 → 0
: 0 + 1 → 1
: 1 + 0 → 1
: 1 + 1 → 0, 받아올림 1 (1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21) 이므로)
두 개의 "1" 자릿수를 더하면 "0" 자릿수가 생성되는 반면, 다음 자릿수에 1을 더해야 한다. 십진법에서 결과가 10 이상이면 왼쪽 자릿수가 증가하는 것과 유사하다.
이진수에서 받아올림 예시는 다음과 같다.
0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
—————————————
1 0 0 1 0 0 = 36
덧셈은 두 양을 '합친 양'을 구하는 연산으로 정의할 수 있으며, 음수, 분수, 소수에도 적용 가능하다. 덧셈의 순서는 결과에 영향을 미치지 않는다.
덧셈의 역연산인 뺄셈을 통해 음수를 얻을 수 있다. 에서 는 를 더하면 가 되는 수이다. 음수의 덧셈은 양수의 뺄셈과 같은 결과를 준다.
스칼라량뿐만 아니라 벡터, 행렬에도 덧셈이 정의되며, 교환 법칙과 결합 법칙을 만족한다.
3. 1. 받아올림
두 자리 수 이상의 자연수를 더할 때, 같은 자리의 숫자끼리의 합이 10 이상이 되면 받아올림이 필요하다. 예를 들어 27 + 59를 계산할 때, 먼저 일의 자리 숫자끼리 계산하면 16이 되므로 6을 일의 자리 숫자에 적고, 1을 받아올린다. 그리고 십의 자리 숫자끼리 계산할 때 일의 자리에서 받아올린 수까지 함께 더하여 8이 되므로 8을 십의 자리 숫자에 적는다.
¹
27
+ 59
————
86
여러 자릿수의 숫자를 더하는 표준 알고리즘은 피가수들을 수직으로 정렬하고 오른쪽의 일의 자리에서부터 열을 더하는 것이다. 열의 합이 9를 초과하면, 추가 자릿수는 다음 열로 "자리올림"된다. 예를 들어, 27 + 59 덧셈에서 7 + 9 = 16이고, 자릿수 1이 자리올림이다.[38] 다른 전략은 왼쪽의 가장 큰 자릿수부터 더하는 것이다. 이 방법은 자리올림을 약간 더 복잡하게 만들지만, 합의 대략적인 값을 얻는 데 더 빠르다. 여러 가지 대안적인 방법이 있다.
20세기 말 이후, TERC를 포함한 일부 미국 교육 프로그램에서는 기존의 자리올림 방법을 교육 과정에서 제외하기로 결정했다.[39] 이 결정은 비판을 받았으며,[40] 일부 주와 카운티에서는 이 실험을 지원하지 않았다.
4. 덧셈의 성질
덧셈은 교환 법칙을 만족한다. 즉, 덧셈에서 항의 순서를 바꾸어도 결과는 같다. 이를 기호로 나타내면 다음과 같다.
: ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''
덧셈은 결합 법칙도 만족한다. 이는 세 개 이상의 숫자를 더할 때, 연산 순서가 결과에 영향을 미치지 않음을 의미한다. 예를 들어 ''a'' + ''b'' + ''c''라는 식은 (''a'' + ''b'') + ''c''로 계산하나 ''a'' + (''b'' + ''c'')로 계산하나 결과가 같다. 이를 기호로 나타내면 다음과 같다.
: (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'')
0은 덧셈에 대한 항등원이다. 즉, 어떤 수에 0을 더해도 그 수는 변하지 않는다. 이를 덧셈 항등원이라고도 하며, 기호로 나타내면 다음과 같다.
: ''a'' + 0 = 0 + ''a'' = ''a''
이 법칙은 628년 브라마굽타의 ''브라마스푸타시다탄타(Brahmasphutasiddhanta)''에서 처음으로 확인되었다.[23] 후대의 인도 수학자들이 이 개념을 정제하였다.
어떤 수와 절댓값은 같고 부호가 다른 수와의 합은 0이다.
: (''-n'') + ''n'' = 0
5. 수학적 정의
덧셈은 이항연산의 하나이다. 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수는 각기 다른 대수구조를 가지고 있기 때문에 수학적인 정의들이 각각 다르다.
두 정수를 각각 자연수의 차 , 로 표현할 때 (, , , 는 자연수), 정수의 합은 으로 정의한다. 이때, 와 는 자연수에서 정의된 덧셈의 결과이다.
유리수의 덧셈은 두 유리수를 정수의 비 , (, , , 는 정수이고 와 는 0이 아니다) 로 표현할 때, 다음과 같이 정의한다.
:
분수는 유리수의 표기법이므로, 이 정의를 사용하여 분수의 덧셈을 할 수 있다. 예를 들어, 이다.
실수를 유리수의 완비 거리 공간으로 생각하였을 때, 각 실수는 유리수의 코시 열의 극한값이다. 두 실수 , (은 유리수의 코시 열) 에 대해 실수의 합은 각 유리수열에 대해 항 별로 덧셈을 하여 극한을 취한 결과인 으로 정의한다.
복소수의 덧셈은 실수부와 허수부를 각각 더한 결과로 정의한다. 두 복소수 , (는 실수)에 대해, 복소수의 합은 으로 정의한다. 이때 는 실수에서 정의된 덧셈의 결과이다.
두 수의 부호와 절댓값에 따른 덧셈 계산 결과는 다음과 같다.
부호 | >a| > |b| | >a| < |b| | >a| = |b| |
---|---|---|---|
>a| - |b| | -(>b| - |a|) | ||
-(>a| - |b|) | >b| - |a| |
5. 1. 페아노 공리계
페아노 공리계에서 자연수 집합 은 다섯 개의 공리로 정의된다.#
#
#
#
#
여기서 '는 계승자를 나타내는 사상으로, n'은 n의 다음 자연수를 의미한다. 0을 추가한 자연수 집합 에서 덧셈은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.
임의의 자연수는 0 또는 다른 자연수의 다음 자연수이므로, 임의의 의 오른쪽에 자연수를 더하는 것은 항상 두 경우 중 하나와 일치한다. 자연수 덧셈의 교환법칙과 결합법칙은 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.[62]
주세페 페아노는 자연수의 덧셈을 다음과 같이 형식적으로 정의했다.[99]
- 은 의 후속으로 정의되어 있다. 후속 함수 를 사용하여 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
6. 덧셈의 응용
덧셈은 여러 가지 물리적 과정을 나타내는 데 사용된다. 간단한 자연수 덧셈 외에도, 집합의 결합이나 길이의 연장 등 다양한 방식으로 덧셈을 해석할 수 있다.[18][19][20]
- 집합의 결합: 두 개 이상의 서로 겹치지 않는 집합들을 하나로 합칠 때, 결과 집합의 원소 개수는 원래 각 집합의 원소 개수를 더한 것과 같다.
- 길이의 연장: 어떤 길이에 다른 길이를 더하면, 원래 길이에 더해진 길이를 합한 총 길이가 된다.[20]
덧셈은 컴퓨터 과학에서 매우 중요한 연산이다. 아날로그 컴퓨터에서는 연산 증폭기 등을 이용하여 전압의 덧셈을 구현할 수 있다.[44] 디지털 컴퓨터에서는 가산기라는 논리 회로를 통해 이진수의 덧셈을 수행한다.[48][49][50]
선형대수학에서는 벡터와 행렬의 덧셈이 정의된다. 벡터 덧셈은 각 좌표를 더하는 방식으로, 행렬 덧셈은 같은 위치의 원소끼리 더하는 방식으로 이루어진다.[76][77][78]
추상대수학에서는 결합법칙과 교환법칙을 만족하는 다양한 덧셈 연산이 연구된다. 모듈러 산술에서의 덧셈,[79] 타원 곡선의 덧셈 등이 그 예시이다.
7. 덧셈의 학습
많은 나라에서 초등학교 저학년 때 덧셈을 가르친다.[36] 아이들은 수 세기, 덧셈표 암기 등 다양한 방법을 통해 덧셈을 학습한다. 유아 및 일부 동물들도 기본적인 덧셈 능력을 가지고 있다는 연구 결과가 있다.
1980년대부터 시작된 수학 발달 연구에 따르면, 유아들은 예상치 못한 상황에 더 오래 주목한다.[27] 1992년 캐런 윈의 실험에서는 5개월 된 유아들이 1+1=2라는 것을 '예상'하고, 1+1=1 또는 1+1=3과 같은 상황에 놀란다는 것을 보여주었다.[28] 18~35개월의 유아들은 탁구공을 꺼내는 실험을 통해 최대 5까지의 합을 계산할 수 있었다.[29]
붉은털원숭이와 면사자원숭이는 인간 유아와 비슷한 덧셈 능력을 보였으며,[30] 침팬지는 0부터 4까지의 아라비아 숫자를 배운 후 두 숫자의 합을 계산할 수 있었다.[30] 최근에는 아시아코끼리가 기본적인 산술 연산 능력을 보여주었다.[31]
아이들은 일반적으로 수 세기를 통해 덧셈을 익힌다. 경험이 쌓이면서 덧셈의 교환 법칙을 이용하여 더 빨리 더하는 법을 배우고, 암기나 경험을 통해 덧셈 사실을 기억한다.[32] 대부분의 초등학생은 암기된 사실과 유도된 사실을 혼합하여 유창하게 덧셈을 한다.[34]
아이들은 0부터 9까지의 숫자 쌍의 덧셈표를 암기하기도 한다.
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
7 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
8 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
8. 덧셈과 관련된 연산
뺄셈은 덧셈의 역연산으로, 어떤 수에서 다른 수를 빼는 것은 그 수에 다른 수의 덧셈 역원을 더하는 것과 같다.[81] 곱셈은 같은 수를 여러 번 더하는 것을 간단하게 나타내는 연산이다.[3]
곱셈은 반복 덧셈으로 생각할 수 있다. 어떤 항이 합에서 ''n''번 나타난다면, 그 합은 ''n''과 그 항의 곱이다. ''n''이 자연수가 아니더라도 곱셈은 여전히 의미가 있을 수 있다. 예를 들어, -1을 곱하면 수의 덧셈의 역원을 얻는다.
실수와 복소수에서 덧셈과 곱셈은 지수 함수를 통해 서로 바꿀 수 있다.[82]
:
이 항등식을 사용하면 표의 로그를 참조하고 손으로 덧셈을 계산하여 곱셈을 수행할 수 있다. 또한 슬라이드 규칙에서 곱셈을 가능하게 한다.
나눗셈은 덧셈과 원격으로 관련된 산술 연산이다. 이므로, 나눗셈은 덧셈에 대해 우분배법칙이 성립한다: .[86] 그러나 나눗셈은 덧셈에 대해 좌분배법칙이 성립하지 않는다.
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