음수
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1. 개요
음수는 0보다 작은 값을 나타내는 수로, 역사적으로 다양한 문명에서 사용되었으며, 수학, 과학, 금융 등 여러 분야에서 활용된다. 최초로 음수에 대한 사칙연산을 기술한 사람은 인도의 브라마굽타이며, 중국의 구장산술에서도 음수의 개념이 나타난다. 유럽에서는 15세기부터 음수가 사용되기 시작했으며, 17세기 이후 널리 사용되었다. 음수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 연산에 적용되며, 부호 함수와 같은 수학적 개념에도 활용된다. 과학에서는 온도, 고도, 전압 등을 나타내는 데 사용되며, 스포츠에서는 골득실, 플러스-마이너스, 풍속 등을 표현하는 데 사용된다. 금융에서는 부채, 손실, 경기 침체 등을 나타내며, 기타 분야에서는 지하층, 퀴즈 프로그램 점수, 지지율 변화 등 다양한 상황에 활용된다. 정수는 자연수의 순서쌍을 통해 형식적으로 구성될 수 있으며, 덧셈, 곱셈, 전순서, 뺄셈 연산이 정의된다.
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| 음수 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 설명 | 0보다 작은 실수이다. |
| 부호 | 음수 기호 (−) |
| 역사 | |
| 고대 | 기원전 4세기경에 음수 개념이 등장했다. 인도에서는 기원후 7세기에 음수를 사용했다. 중국에서는 기원전 2세기경에 음수가 사용되었다. |
| 중세 | 15세기 유럽에서 음수가 '부채'를 나타내는 데 사용되었다. |
| 근대 | 17세기부터 음수가 널리 받아들여졌다. |
| 특징 | |
| 크기 | 양수와 반대 방향으로 무한히 커진다. 절대값은 부호를 제외한 값이다. |
| 연산 | 음수끼리 곱하면 양수가 된다. 양수와 음수를 곱하면 음수가 된다. 뺄셈은 음수의 덧셈으로 생각할 수 있다. 나눗셈은 음수의 곱셈으로 생각할 수 있다. |
| 응용 | |
| 수학 | 수학에서 중요한 개념이다. 방정식, 함수, 미적분 등 다양한 분야에 사용된다. |
| 과학 | 물리학, 화학 등에서 다양한 물리량과 화학량을 나타내는 데 사용된다. |
| 경제 | 경제학에서 부채, 손실 등을 나타내는 데 사용된다. |
| 일상생활 | 온도, 고도, 빚 등 다양한 분야에서 사용된다. |
| 관련 용어 | |
| 반대 개념 | 양수 |
| 관련 개념 | 정수, 실수 |
2. 역사
음수의 개념은 고대부터 여러 문명에서 나타났다.
기원전 100년에서 기원전 50년경 중국의 『구장산술』에는 도형의 넓이를 구하는 방법이 나타나 있으며, 붉은 산목으로 양의 계수를, 검은 산목으로 음의 계수를 나타내어, 음수가 관련된 연립방정식을 풀 수 있었다.
프톨레마이오스 왕조 이집트에서는 디오판토스(알렉산드리아의 디오판토스)가 3세기에 『산술』에서 4x + 20 = 0 (해는 음수가 된다)와 같은 방정식을 언급하며, 이 방정식은 어리석다고 말했다.
7세기 동안, 음수는 인도에서 빚을 나타내는 데 사용되었다. 인도의 수학자 브라마굽타는 『브라마스푸타 시단타』(628년)에서 오늘날에도 사용되는 일반화된 형태의 해의 공식을 만들기 위해 음수를 사용하는 것에 대해 논하고 있다. 그는 이차방정식의 음의 해를 발견하고, 음수와 영이 관련된 연산에 대한 규칙도 제시하고 있다. 그는 양수를 “재산”, 영을 “0 (cipher)”, 음수를 “빚”이라고 불렀다.[36][37]
1657년 존 허드(John Hudde, 1633년~1704년)가 음수와 양수 모두를 표시하는 문자를 사용한 이후부터 수학자들은 자유로이 그런 방식을 따랐다.[42] 1650년대 이후로 음수가 자유로이 사용되었지만 그 개념이나 논리적 기초가 확실하지 않았기 때문에 수학자들은 정당성의 문제를 회피하거나 그 사용에 이의를 제기하였다.[41]
18세기까지 스위스의 수학자 레온하르트 오일러는 음수가 무한보다 크다고 믿었으며, 방정식에서 나오는 음의 해를 무시하는 것이 일반적이었다.[39]
2. 1. 한국의 음수 개념
한국에서는 전통적으로 음수와 직접적으로 일치하는 개념은 없었지만, 빚이나 손실과 같은 형태로 음수와 유사한 개념을 사용해왔다. 예를 들어, 재정적인 문제에서 빚은 음수와 비슷한 개념으로 사용될 수 있었다.2. 2. 세계의 음수 개념
기원후 623년경 인도 수학자 브라마굽타는 최초로 음수에 대한 사칙연산을 명확히 기술하였다.[40]고대 중국의 구장산술(九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù)에서도 음수가 등장한다. 한나라 시대에 쓰여진 것으로 추정되는 이 책에는 붉은색 산가지를 양의 계수로, 검은색 산가지를 음의 계수로 사용하여 연립방정식을 푸는 방법이 나타나 있다.[3][24][25] 이는 현대의 회계 방식과 반대인데, 현대에는 붉은색이 음수, 검은색이 양수를 나타낸다.
헬레니즘 시대 이집트의 수학자 디오판토스는 저서 ''산학(Arithmetica)''에서 음수 해를 갖는 방정식을 언급하며, 이를 불합리하다고 여겼다.[22]
7세기 인도에서 브라마굽타는 브라마스푸타시단타(Brahmasphutasiddhanta)에서 음수를 사용하여 이차 방정식의 해를 구하는 방법을 제시했다.[22] 그는 양수를 "재산", 음수를 "빚"으로 불렀다.[36][37]
이슬람 수학자들은 인도 수학의 영향을 받아 음수를 사용하기 시작했지만, 초기에는 널리 사용되지 않았다.[30] 알콰리즈미는 음수나 음의 계수를 사용하지 않았지만,[30] 10세기 아부 알와파는 빚을 음수로 간주했다.[31]
12세기 인도의 바스카라 2세는 이차방정식의 음수 근을 제시했지만, 문제의 맥락에 맞지 않다고 여겨 거부했다.[36][37]
유럽에서는 15세기경부터 음수가 사용되기 시작했다. 니콜라 슈케는 음수를 지수로 사용했지만, "불합리한 수"라고 불렀다.[32][33] 16세기 제롤라모 카르다노는 저서 ''대수술(Ars Magna)''에서 음수를 만족스럽게 다루었다.[22]
17세기까지도 유럽 수학자들 사이에서는 음수 개념에 대한 저항이 있었다.[41] 그러나 피보나치가 재정 문제에서 음수 해를 허용한 것처럼, 점차 음수의 유용성이 인정되면서 널리 사용되기 시작했다.
3. 음수를 포함한 연산
빼기 기호 "−"는 뺄셈뿐만 아니라 음수의 반전을 나타내는 연산자로도 사용된다. 양수에 반전 연산을 적용하면 결과는 음수가 된다. 예를 들어 -5와 같이 표현한다.
산술식에서 연산 순서에 따라 "−" 기호의 의미가 명확해지므로, 일반적으로 모호성은 발생하지 않는다. 그러나 연산 기호가 연속으로 나타날 때는 혼란을 줄 수 있다. 이 경우 단항 연산자 "−"와 피연산자를 괄호로 묶어 표현하면 명확성을 높일 수 있다. 예를 들어, 7 + −5는 7 + (−5)로 쓰는 것이 더 이해하기 쉽다.
초등학교에서는 숫자 앞에 위첨자 빼기 기호나 더하기 기호를 붙여 음수와 양수를 명확하게 구분하기도 한다.[21]
음수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등 다양한 연산에 사용된다.
3. 1. 덧셈
두 음수의 덧셈은 두 양수의 덧셈과 매우 유사하다. 예를 들어 (−3) + (−5) = −8이다. 이는 두 부채를 더 큰 규모의 단일 부채로 합치는 개념으로 이해할 수 있다.[21]양수와 음수를 함께 더할 때는 음수를 빼는 양수로 생각할 수 있다. 예를 들어 8 + (−3) = 8 − 3 = 5 이고, (−2) + 7 = 7 − 2 = 5 이다. 만약 음수의 크기가 더 크면 결과는 음수가 된다. (−8) + 3 = 3 − 8 = −5 이고, 2 + (−7) = 2 − 7 = −5 이다.
음수를 더하는 것은 대응하는 양수를 빼는 것과 같다. 예를 들어 5 + (−3) = 5 − 3 = 2인데, 5만 원의 자산에 3만 원의 부채가 생기면 순자산은 2만 원이 되는 것과 같다. 마찬가지로 –2 + (−5) = −2 − 5 = −7이며, 이는 2만 원의 부채에 5만 원의 부채가 더해져 총 7만 원의 부채가 되는 것을 의미한다.
덧셈에서 음수는 부채, 양수는 수익으로 생각할 수 있다.
3. 2. 뺄셈
음수가 아닌 두 수의 뺄셈으로 음수를 얻을 수 있다. 예를 들어 5에서 8을 빼면 -3이 된다. 일반적으로 양수를 빼는 것은 같은 크기의 음수를 더하는 것과 같은 결과를 낸다.[43]: 5 − 8 = 5 + (−8) = −3
: (−3) − 5 = (−3) + (−5) = −8
반대로 음수를 빼는 것은 같은 크기의 양수를 더하는 것과 같다.[43]
: 3 − (−5) = 3 + 5 = 8
: (−5) − (−8) = (−5) + 8 = 3
음수는 큰 수에서 작은 수를 뺀 결과로 생각할 수 있다. 예를 들어, 음수 3은 0에서 3을 뺀 결과이다. 일반적으로 큰 수에서 작은 수를 빼면 음수가 되며, 그 결과의 절댓값은 두 수의 차이이다. 예를 들어 5 - 8 = -3 은 8 - 5 = 3이기 때문이다.
빼기 기호 "−"는 두 개의 값을 다루는 뺄셈 (예: y − z)과 한개의 값의 반전(예: -x 또는 −(−x)에서 두 번)을 나타내는 연산자이다. 양수에 단항 반전을 적용하면 음수가 된다(예: -5).
식에서 연산자가 연달아 나오면 혼란스러울 수 있다. 이럴 때는 단항 연산자 "−"와 그 피연산자를 괄호로 묶어 표현하면 더 명확하게 이해할 수 있다. 예를 들어, 7 + −5는 7 + (−5)로 쓰는 것이 더 명확하다. 뺄셈식 7 – 5는 같은 결과를 계산하는 다른 식이다.
초등학교에서는 음수와 양수를 구분하기 위해 숫자 앞에 위첨자 빼기 기호나 더하기 기호를 붙이기도 한다.[21]
음수를 더하는 것은 대응하는 양수를 빼는 것과 같고, 음수를 빼는 것은 대응하는 양수를 더하는 것과 같다.
- 9 − 5 = 4
: (9살 연하와 5살 연하는 4살 차이이다.)
- 7 − (−2) = 9
: (7살 연하와 2살 연상은 9살 차이이다.)
- −4 + 12 = 8
: (4만 원의 부채에서 12만 원의 자산을 얻으면, 순자산은 8만 원이다.)
- 5 + (−3) = 5 − 3 = 2
: (5만 원의 자산에서 3만 원의 부채가 생기면, 순자산은 2만 원이다.)
- –2 + (−5) = −2 − 5 = −7
: (2만 원의 부채에 5만 원의 부채가 더 생기면, 총 7만 원의 부채가 된다.)
양수에서 더 작은 양수를 빼면 음수가 된다.
:4 − 6 = −2
: (4만 원에서 6만 원을 쓰면 2만 원의 부채가 남는다.)
양수에서 임의의 음수를 빼면 음수가 된다.
:−3 − 6 = −9
: (3만 원의 부채에 6만 원을 더 쓰면 9만 원의 부채가 된다.)
음수를 빼는 것은 대응하는 양수를 더하는 것과 같다.
:5 − (−2) = 5 + 2 = 7
: (순자산 5만 원에서 부채 2만 원을 줄이면, 새로운 순자산은 7만 원이 된다.)
:−8 − (−3) = −5
: (8만 원의 부채에서 3만 원의 부채를 줄이면, 5만 원의 부채가 남는다.)
3. 3. 곱셈
양수와 음수의 곱은 음수이다. 예를 들어 -2를 세 번 더하면 -6이 된다.:
음수와 음수의 곱은 양수이다. 빚을 잃는 것은 신용을 얻는 것과 같기 때문이다. 예를 들어 각각 3인 빚 두 개를 잃는 것은 6의 신용을 얻는 것과 같다.
: 개의 빚 씩 신용.
두 음수의 곱이 양수여야 한다는 것은 곱셈이 분배 법칙을 따르기 위해서 필요하다.
:
이므로, 곱셈 는 이어야 한다.
이러한 규칙은 임의의 곱 ''a'' × ''b''의 부호가 ''a''의 부호에 따라 달라진다는 규칙으로 이어진다.
- ''a''가 양수이면 ''a'' × ''b''의 부호는 ''b''의 부호와 같다.
- ''a''가 음수이면 ''a'' × ''b''의 부호는 ''b''의 부호와 반대이다.
음수 곱하기는 양수와 음수의 방향을 반전시키는 것이다. 음수에 양수를 곱하면 결과는 음수로 남지만, 음수에 음수를 곱하면 결과는 양수가 된다.[34]
| 예시 | 설명 |
| (-20) × 3 = -60 | 20만원의 부채를 3배로 하면 60만원의 부채가 된다. |
| (-40) × (-2) = 80 | 시속 40km의 속도로 후진하는 차는, 2시간 전에는 현재 위치에서 전방 80km 지점에 있었다. |
3. 4. 나눗셈
나눗셈의 부호 규칙은 곱셈과 동일하다. 즉, 같은 부호끼리 나누면 양수, 다른 부호끼리 나누면 음수가 된다. 예를 들어,:(-8) ÷ 2 = -4
:8 ÷ (-2) = -4
:(-8) ÷ (-2) = 4
와 같다.
피제수와 제수의 부호가 같으면 결과는 양수이고, 부호가 다르면 결과는 음수이다. 음수로 나누는 것은 양수와 음수의 방향을 반전시키는 결과를 가져온다. 음수를 양수로 나누면 몫은 음수로 남지만, 음수를 음수로 나누면 몫은 양수가 된다.
- 피제수와 제수의 부호가 다른 경우:
:(-90) ÷ 3 = -30
:(90원의 빚을 3명이 나누면, 1인당 30KRW의 빚을 떠안게 된다.)
:24 ÷ (-4) = -6
:(동쪽을 양수, 서쪽을 음수로 할 때: 4시간 후에 동쪽 24km 지점에 도착하는 자동차는, 1시간 전에는 서쪽 6km 지점에 있었다.)
- 피제수와 제수가 모두 같은 부호인 경우:
:(-12) ÷ (-3) = 4
4. 부호 함수
부호 함수는 실수의 부호를 나타내는 함수로, 실수 부호 함수와 복소수 부호 함수로 나뉜다.
4. 1. 실수 부호 함수
정의역이 실수이며, 양수에 대해서는 1을, 음수에 대해서는 -1을, 0에 대해서는 0을 반환하는 함수 sgn(x)를 정의할 수 있다. 이 함수는 부호 함수라고 불리기도 한다.:
이때 (x=0인 경우를 제외하고) 다음 식을 얻을 수 있다.
: