원주율

3. 수학적 특성

원주율은 무리수이자 계수가 유리수인 다항식의 근이 될 수 없는 초월수이다.

원주율이 무리수라는 것은 1761년에 요한 하인리히 람베르트가 증명했으며, 초월수라는 것은 1882년에 페르디난트 폰 린데만이 증명하였다. 린데만의 정리에 따르면, 정수로부터 사칙연산과 근호를 취하는 연산만을 유한 번 조합하여 원주율 값을 얻을 수 없다.

원주율이 초월수라는 사실로부터 고대 그리스의 3대 작도 문제 중 하나인 원적 문제(주어진 반지름을 가지는 원과 같은 면적의 정사각형을 자와 컴퍼스를 사용하여 유한 번의 작도로 그리는 문제)가 불가능하다는 결론이 나온다.

원주율의 컴퓨터를 이용한 계산, 암기, 십진법 표기에서의 소수 부분 각 자릿수(0, 1, …, 9)의 출현 빈도는 사람들의 관심 대상이 된다. 2022년 10월 기준으로, 원주율은 소수점 이하 100조 자리까지 계산되었다.^[195]

3. 1. 무리수

3. 2. 초월수

3. 3. 수열

모두 거의 같으며(약 0.0005% 차이 안에 들어온다), 가장 많은 것은 8이고, 가장 적은 것은 6이다. 그러나 현재까지 알려진 바로는 0부터 9까지의 숫자가 무작위로 나타나는 것처럼 보이지만, 난수열인지 확실하지 않다. 예를 들어 원주율이 정규수인지 아닌지도 알려져 있지 않다.^[196]

3. 4. 연분수

4. 계산식

원주율은 다양한 무한급수, 곱, 적분 등을 통해 표현될 수 있다. 원주율을 계산하는 방법은 단순하지만, 무리수이기 때문에 정확한 값은 알 수 없고 근삿값만을 이용한다.

• '''라이프니츠 공식'''^[244]

• 17세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트가 발견한 공식^[263][264]

• 연분수 표현^[266]

4. 1. 무한급수

• 라이프니츠 공식^[261]

• 월리스 공식 (1655년)^[261]

• 오일러의 곱셈 공식 (1735년)^[262]

• 비에트 공식 (17세기)^[263][264]

• 베일리 공식 (1996년):

4. 2. 적분

4. 3. 기타

5. 적용

원주율은 수학, 물리학, 공학 등 여러 분야에서 다양하게 활용된다.

그럼에도 불구하고 사람들은 원주율을 수천, 수백만 자릿수까지 계산하기 위해 노력해 왔으며, 이는 슈퍼컴퓨터 테스트, 수치 해석 알고리즘 테스트 등에 활용된다.^[83][84]

원주율(π)은 많은 공식에서 발견되며, 통계학, 물리학, 푸리에 분석, 정수론과 같은 다른 과학 분야의 일부 중요 공식에도 포함된다.

5. 1. 기하학

유클리드 평면에서 원은 크기와 관계없이 언제나 닮은 도형이다. 따라서 원의 지름에 대한 둘레의 비는 언제나 일정하며, 이를 원주율이라 한다.^[229]

원주율(π)은 일반적으로 원의 둘레(C)와 지름(d)의 비율로 정의된다.

:$\backslash pi\; =\; \backslash frac\{C\}\{d\}$

유클리드 기하학에서 원과 원주율의 관계는 다음과 같다.^[233]

• 원의 둘레를 구하는 식은 원주율의 정의와 같다.

: 원의 둘레 = 지름 × 원주율

• 원의 넓이를 구하는 방법은 아르키메데스 시대 이후 여러 가지 기법이 알려져 있다. 널리 사용하는 방법 가운데 하나는 레오나르도 다빈치가 고안한 것으로, 정육각형을 이용한 구적법이다. 레오나르도 다빈치는 왼쪽 그림과 같이 정육각형을 이용하여 분할한 원을 직사각형으로 치환하여 원의 넓이를 계산하였다.^[234]

: 원의 넓이 = 원주율 × 반지름²

원주율이 보이는 복잡한 수열에 비해 이를 계산하는 방법은 의외로 단순하다. 라이프니츠가 정리한 다음 계산식이 널리 알려져 있다.

:$\backslash pi\; =\; 4\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{1\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{7\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{9\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{11\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{13\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{15\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{17\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{19\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{21\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{23\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{25\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{27\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{29\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{31\}\; +\; \backslash cdots\; \backslash right)$

아르키메데스는 원과 구의 다음과 같은 성질을 증명하였다.^[267]

• 반지름 ''r'' 인 원의 둘레：$C=2\backslash pi\; r$
• 반지름 ''r'' 인 원의 넓이：$A=\backslash pi\; r^2$
• 반지름 ''r'' 인 구의 부피：$V=\backslash frac\; \{4\}\{3\}\; \backslash pi\; r^3$
• 반지름 ''r'' 인 구의 겉넓이：$A=4\backslash pi\; r^2$

각의 크기를 나타내는 무차원 단위인 라디안은 오른쪽 그림과 같이 정의하여 반지름과 호의 길이가 같을 때 1라디안이 된다. 따라서, 원 전체는 2π라디안이고 이를 도로 환산하면 다음과 같다.^[268]

• π라디안 = 180°

5. 2. 바젤 문제

1687년 스위스 바젤의 수학 교수였던 야코프 베르누이와 요한 베르누이 형제는 조화급수가 발산한다는 사실을 증명하였다. 그러나 조화급수의 각 분모를 제곱한 다음 식을 닫힌 형식으로 나타내는 것에는 실패하였으며 논문의 끝에 이 문제를 해결하였다면 알려주기 바란다고 적었다.^[269]

:$\backslash frac\{1\}\{1^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4^2\}\; +\; \backslash cdots$

당대의 유명한 수학자들이 이 문제를 풀기 위해 시도하였으나 결국 실패하였고, 이 문제는 바젤 문제로 알려지며 해석학자의 악몽으로까지 불리게 되었다. 이를 해결한 사람은 레온하르트 오일러로 1735년에 이 급수의 값이 다음과 같다는 것을 증명하였다.^[269]

:$\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4^2\}\; +\; \backslash cdots$

후일 이 급수는 다음과 같은 일반식으로 표현되었는데 이것이 리만 제타 함수이다.^[269]

:$\backslash !$

리만 제타 함수는 s가 짝수일 때 위 식을 이용하여 그 값을 쉽게 계산할 수 있으나 홀수일 때는 자명하지 않다. 1978년 s가 3일 때 무리수로 수렴하는 것이 증명되었다. 이 수렴값은 아페리 상수라고 한다.^[270]

리만 제타 함수는 수학의 여러 분야에서 사용된다. s=2 에서 평가하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$$\backslash zeta(2)\; =\; \backslash frac\{1\}\{1^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^2\}\; +\; \backslash cdots$$

이 무한 급수에 대한 간단한 해를 찾는 것은 바젤 문제라고 불리는 수학에서 유명한 문제였다. 레온하르트 오일러는 1735년에 이것이 $\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$과 같다는 것을 보임으로써 이 문제를 해결했다.^[59] 오일러의 결과는 두 개의 임의의 수가 서로소(즉, 공통 인수가 없음)일 확률이 $\backslash frac\{6\}\{\backslash pi^2\}$과 같다는 정수론 결과로 이어진다.^[135][136] 이 확률은 어떤 수가 소수 p로 나누어떨어진다는 확률이 1/p 이라는 관찰(예: 7의 배수는 7개의 정수마다 하나씩 존재함)에 기반한다. 따라서 두 수가 모두 이 소수로 나누어떨어질 확률은 $\backslash frac\{1\}\{p^2\}$이고, 적어도 하나가 나누어떨어지지 않을 확률은 $1-\backslash frac\{1\}\{p^2\}$이다. 서로 다른 소수에 대해 이러한 나누어떨어짐 사건들은 서로 독립적이므로, 두 수가 서로소일 확률은 모든 소수에 대한 곱으로 주어진다.^[137]

:$$\backslash begin\{align\}$$

\prod_p^\infty \left(1-\frac{1}{p^2}\right) &= \left( \prod_p^\infty \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1}\\[4pt]

&= \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots }\\[4pt]

&= \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\%.

\end{align}

이 확률은 난수 생성기와 함께 사용하여 몬테카를로 방법을 통해 $\backslash pi$를 근사할 수 있다.^[138]

바젤 문제의 해는 기하학적으로 유도된 양인 $\backslash pi$가 소수의 분포와 깊이 연결되어 있음을 의미한다. 이것은 타마가와 수에 대한 베일 추측의 특수한 경우이며, 각 소수 p에서 국소화된 유사한 무한 곱인 '산술적' 양과 '기하학적' 양의 등식을 주장한다. 특정 국소 대칭 공간의 부피의 역수이다. 바젤 문제의 경우, 그것은 쌍곡 3-다양체 $SL\_2(R)/SL\_2(Z)$이다.^[139]

5. 3. 복소수 계산

복소해석학에서 π는 복소수 변수가 지수 함수에서 보이는 행동과 연관이 있으며 오일러의 공식에 따라 다음과 같이 표현할 수 있다.^[271]

:$e^\{i\backslash varphi\}\; =\; \backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\backslash sin\; \backslash varphi\; \backslash !$

''i''는 허수 단위이기 때문에 ''i''² = −1 이므로 이를 π라디안(=180°)과 함께 자연로그의 밑 ''e''의 지수로 표현하면 다음과 같은 오일러 등식을 얻는다.^[28][29]

:$e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; -1.\backslash !$

• $e^\{i\backslash pi\}\; +1\; =\; 0$ (오일러의 등식)

5. 4. 확률과 통계

정규분포에서 확률분포의 평균을 μ, 표준편차를 σ라 하면, 가우스 적분의 값을 상쇄하기 위해 정규분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 표현된다.^[272]

:$f(x)\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash sigma\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\; \}\backslash ,e^\{-\backslash frac\{(x-\backslash mu\; )^2\}\{2\backslash sigma^2\}\}$

표준 코시 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.^[273]

:$f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pi\; (1\; +\; x^2)\}$

모든 확률 밀도 함수는 다음의 적분값을 가진다.^[274]

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; f(x)\backslash ,dx\; =\; 1$

조르주루이 르클레르 드 뷔퐁이 제기한 뷔퐁의 바늘 문제는 원주율의 근삿값을 구하는 방법으로 자주 언급된다. 길이 L인 바늘을 일정한 간격으로 그려진 평행선 위에 떨어뜨릴 때, 평행선의 간격 S가 바늘의 길이보다 크다면, 바늘을 떨어뜨린 횟수 n번에 대해 바늘이 평행선 밖으로 나간 횟수 x번(x>0)은 몬테카를로 방법에 의해 다음과 같은 관계를 갖는다.^[275]

: $\backslash pi\; \backslash approx\; \backslash frac\{2nL\}\{xS\}.$

즉, 뷔퐁의 바늘 문제에서 바늘을 충분히 많이 떨어뜨리면 바늘이 평행선을 벗어나는 횟수에 대한 전체 횟수의 비는 원주율에 가까워진다.

5. 5. 물리학

원주율 자체는 물리 상수가 아니지만, 물리학의 여러 분야에서 두루 사용되는데 이는 여러 자연 현상이 원과 관계가 있기 때문이다. 예를 들어, 회전수를 일정하게 유지하는 등속원운동에서 각속도와 원주속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[276]

• 각속도를 ω (= θ / 초), 분당 회전수를 N이라 하면

: $\backslash omega\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\; N\}\{60\}$

• 이때, 반지름을 r이라 하면 원주속도 v는

: $v\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash omega\; =\; \backslash frac\{2\; r\; \backslash pi\; N\}\{60\}$

이 외에 물리학에서 원주율을 사용하는 경우는 다음과 같다.

• 불확정성 원리에 따라, 양자 역학적인 물리량은 동시에 정확히 관찰할 수 없다. 예를 들어 입자의 특정 위치를 Δx라 하고 이 때의 운동량을 Δp 라 하면, 이 둘의 크기를 둘 다 정확히 관찰할 수는 없으며 다음 식을 사용해 확률적으로만 계산한다.^[277]

: $\backslash Delta\; x\; \backslash Delta\; p\; \backslash ge\; \backslash frac\{h\}\{4\backslash pi\}$

• 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 의한 아인슈타인 방정식은 다음과 같이 표현한다.^[278]

:$R\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; -\; \{1\; \backslash over\; 2\}g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\backslash ,R\; +\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; \backslash Lambda\; =\; \{8\; \backslash pi\; G\; \backslash over\; c^4\}\; T\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}$

: 여기서 $R\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\backslash ,$은 리치 곡률, $R\backslash ,$ 은 스칼라 곡률, $g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\backslash ,$는 계량 텐서, $\backslash Lambda\backslash ,$는 우주 상수, $G\backslash ,$는 중력 상수, $c\backslash ,$는 광속, 그리고 $T\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\backslash ,$는 에너지-운동량 텐서이다.

• 원주율(π)은 우주의 기본 원리를 설명하는 방정식에 자주 등장하는데, 이는 원주율이 원과 구면 좌표계와의 관계 때문이다. 고전역학 분야의 간단한 공식은 길이가 L이고 작은 진폭으로 진동하는 단진자의 주기 T를 근사적으로 나타낸다 (g는 지구 중력 가속도).^[150]

: $T\; \backslash approx\; 2\backslash pi\; \backslash sqrt\backslash frac\{L\}\{g\}.$

• 양자역학의 핵심 공식 중 하나는 하이젠베르크의 불확정성 원리이며, 입자의 위치 측정의 불확정성(Δx)과 운동량(Δp)이 동시에 임의로 작을 수 없음을 보여준다 (h는 플랑크 상수).^[151]

: $\backslash Delta\; x\backslash ,\; \backslash Delta\; p\; \backslash ge\; \backslash frac\{h\}\{4\backslash pi\}.$

• 원주율은 오일러가 유도한 좌굴 공식과 같이 일부 구조 공학 공식에도 나타나는데, 이 공식은 길이 L, 탄성계수 E, 단면 관성 모멘트 I를 갖는 길고 가는 기둥이 좌굴 없이 지탱할 수 있는 최대 축하중 F를 나타낸다.^[153]

: $F\; =\backslash frac\{\backslash pi^2EI\}\{L^2\}.$

• 유체역학 분야에는 스토크스 법칙에 원주율이 포함되어 있는데, 이 법칙은 반지름 R의 작은 구형 물체가 점도 η를 갖는 유체 내에서 속도 v로 움직일 때 작용하는 마찰력 F를 근사적으로 나타낸다.^[154]

: $F\; =6\backslash pi\backslash eta\; Rv.$

6. 문화 속 원주율

3월 14일은 원주율의 날로 기념된다. 소수점 이하가 "영원히 계속된다"는 의미를 담아 3월 14일에 결혼하는 커플도 있다.^[215] π (pi)와 파이(pie)는 동음이의어이고,^[216] 파이가 원형이라는 점에서 미국 등 여러 나라에서 "파이의 날"로 축하하며,^[217] 파이 굽기나 파이 먹기 외에도 수학과 관련된 활동을 한다.^[218] 7월 22일은 22/7이 원주율의 근사값이기 때문에 원주율 근사값의 날로 여겨진다.

원주율 암기는 많은 자릿수의 원주율을 암기하는 것으로, 기네스 세계 기록에서 관리한다. 기네스 세계 기록에 인증된 원주율 암기 기록은 7만 자릿수로, 2015년 3월 21일 인도의 라즈비르 메나가 9시간 27분 만에 암송하였다.^[156]

몇몇 저자들은 원주율의 자릿수를 이용하여 새로운 형태의 구속 저술을 만들었는데, 여기서 단어의 길이는 원주율의 자릿수를 나타내야 한다. ''Cadaeic Cadenza''는 이 방식으로 원주율의 처음 3835자릿수를 담고 있으며,^[160] 장편 소설 ''Not a Wake''는 각각 원주율의 한 자릿수를 나타내는 1만 단어로 구성되어 있다.^[161]

원이라는 일상에서도 잘 알려진 도형에 대한 단순한 정의이면서도, 소수점 이하가 순환하지 않고 무한히 계속된다는 점 때문에 원주율은 수학 개념 중 가장 잘 알려진 것 중 하나이다. 칼 세이건의 1985년 소설 콘택트에서는 우주의 창조주가 π의 숫자들 속에 깊이 메시지를 숨겨 놓았다는 내용이 제시된다.^[164][165] π의 숫자들은 케이트 부시의 2005년 앨범 에어리얼의 노래 "Pi"의 가사에도 포함되었다.^[166]

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