이차 함수

4. 형태

이차 함수는 다음과 같은 세 가지 형태로 나타낼 수 있다.

* 일반형: (다항식 연산에 편리)
* 표준형: (꼭짓점의 좌표를 쉽게 알 수 있음)
* 인수분해형: (x축과의 교점을 쉽게 알 수 있음, 가 실수인 경우)

일반형은 다항식의 일반론을 적용할 때 편리하며, 표준형이나 인수분해형은 좌표 평면에 그려지는 포물선을 통해 이차 함수의 성질을 조사할 때 편리하다.

세 가지 형태는 서로 변환 가능하다. 일반형을 제곱 완성하면 표준형을 얻을 수 있고, 일반형을 인수분해하면 인수분해형을 얻을 수 있다. 표준형이나 인수분해형을 전개하면 일반형을 얻을 수 있다.

5. 그래프

이차 함수의 그래프는 대칭축이 수직선인 포물선이다.
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일변수 이차 함수 $f(x)\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$의 그래프는 포물선이며, 이변수 이차 방정식 $y\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$의 그래프와 같다.

* $a\; >\; 0$이면, 포물선은 위로 열린다.
* 이면, 포물선은 아래로 열린다.

계수 $a$는 그래프의 곡률 정도를 제어하며, $a$의 절댓값이 클수록 그래프는 더 닫힌 모양을 보인다.

계수 $b$와 $a$는 함께 포물선의 대칭축의 위치(꼭짓점의 $x$ 좌표)를 결정하며, 대칭축은 다음 위치에 있다.
:$x\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\}.$

계수 $c$는 포물선의 높이를 제어하며, 더 구체적으로는 $y$-축과 교차하는 지점에서의 포물선의 높이이다.

이차 함수는 $f(x)\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c\; \backslash quad\; (a\; \backslash ne\; 0)$의 형태로 표현되며, 그래프는 좌표계에서 포물선을 그린다.

일반형($f(x)\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$)은 다항식의 일반론을 적용할 때 편리하며, 표준형($f(x)\; =\; a(x\; -\; p)^2\; +\; q$)이나 인수분해형($f(x)\; =\; a(x\; -\; s)(x\; -\; t)$)은 좌표 평면에 그려지는 포물선을 통해 이차 함수의 성질을 조사할 때 편리하다.

$y\; =\; a(x\; -\; p)^2\; +\; q$ 형태의 포물선 축은 $x\; =\; p$이며, 꼭짓점의 좌표는 $(p,\; q)$이다.

$y\; =\; a(x\; -\; s)(x\; -\; t)$ 형태의 포물선은 $s$, $t$가 실수라면 $x$ 축과 $x\; =\; s$, $x\; =\; t$에서 교차한다. 특히 $s\; =\; t$라면 포물선은 $x$ 축에 접한다.

5.1. 꼭짓점

이차 함수 $f$의 대칭축의 방정식은 다음과 같다.
:$x=-\backslash frac\; b\{2a\}$
이 대칭축과 그래프의 교점이 꼭짓점이며, 좌표는 다음과 같다.
:$\backslash left(-\backslash frac\; b\{2a\},-\backslash frac\{b^2-4ac\}\{4a\}\backslash right)$
꼭짓점은 이차 함수의 단조성이 변화하는 점이며, 함수가 최댓값 또는 최솟값을 갖는 점이다. $a$의 부호에 따라 다음과 같이 나뉜다.
* $a>0$이라면, $f$는 $\backslash left(-\backslash infty,-\backslash frac\; b\{2a\}\backslash right]$에서 엄격 감소하며, $\backslash left[-\backslash frac\; b\{2a\},\backslash infty\backslash right)$에서 엄격 증가한다. 따라서, $f$의 최솟값은 $f\backslash left(-\backslash frac\; b\{2a\}\backslash right)=-\backslash frac\{b^2-4ac\}\{4a\}$이며, 최댓값은 존재하지 않는다.
* 이라면, $f$는 $\backslash left(-\backslash infty,-\backslash frac\; b\{2a\}\backslash right]$에서 엄격 증가하며, $\backslash left[-\backslash frac\; b\{2a\},\backslash infty\backslash right)$에서 엄격 감소한다. 따라서, $f$의 최댓값은 $f\backslash left(-\backslash frac\; b\{2a\}\backslash right)=-\backslash frac\{b^2-4ac\}\{4a\}$이며, 최솟값은 존재하지 않는다.
이차 함수의 꼭짓점은 꺾이는 지점이며, 변곡점이라고도 불린다. 이차 함수가 꼭짓점 형태, 즉 $f(x)\; =\; a(x\; -\; h)^2\; +\; k$ 일 경우, 꼭짓점은 $(h,\; k)$이다. 일반형 $f(x)\; =\; a\; x^2\; +\; b\; x\; +\; c$는 완전 제곱 방법을 사용하여 다음과 같이 바꿀 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
f(x) &= a x^2 + b x + c \\
&= a (x - h)^2 + k \\
&= a\left(x - \frac{-b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right),\\
\end{align}
따라서 일반형 이차 함수의 꼭짓점 $(h,\; k)$는 $\backslash left(-\backslash frac\{b\}\{2a\},\; c\; -\; \backslash frac\{b^2\}\{4a\}\backslash right)$이다. 이차 함수가 인수분해 형태 $f(x)\; =\; a(x\; -\; r\_1)(x\; -\; r\_2)$일 경우, 두 근의 평균 $\backslash frac\{r\_1\; +\; r\_2\}\{2\}$이 꼭짓점의 $x$좌표이며, 꼭짓점은 $\backslash left(\backslash frac\{r\_1\; +\; r\_2\}\{2\},\; f\backslash left(\backslash frac\{r\_1\; +\; r\_2\}\{2\}\backslash right)\backslash right)$이다.

꼭짓점을 지나는 수직선 $x=h=-\backslash frac\{b\}\{2a\}$은 포물선의 대칭축이다.

5.1.1. 최대 및 최소

미분 적분학을 사용하여 함수의 최대 또는 최소가 되는 꼭짓점은 도함수의 근을 구하여 얻을 수 있다.
:$f(x)=ax^2+bx+c\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; f\text{'}(x)=2ax+b$
x^영어는 f (x)^영어의 근이며, f (x) = 0^영어이다.
결과적으로,
:$x=-\backslash frac\{b\}\{2a\}$
에 해당하는 함수 값은
:$f(x)\; =\; a\; \backslash left\; (-\backslash frac\{b\}\{2a\}\; \backslash right)^2+b\; \backslash left\; (-\backslash frac\{b\}\{2a\}\; \backslash right)+c\; =\; c-\backslash frac\{b^2\}\{4a\},$
이므로 꼭짓점 좌표 (h, k)^영어는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$\backslash left\; (-\backslash frac\; \{b\}\{2a\},\; c-\backslash frac\; \{b^2\}\{4a\}\; \backslash right).$

6. 반복

$f(x)=ax^2+bx+c$ 형태의 이차 함수를 반복 적용하는 것은, 한 번의 반복에서 얻은 출력을 다음 반복의 입력으로 사용하는 것을 의미한다. 이러한 반복은 복잡한 동역학계를 생성할 수 있다.

$f^\{(n)\}(x)$ (즉, $f(x)$의 n번째 반복)의 해석적 형태를 항상 추론할 수 있는 것은 아니다. 그러나 분석적으로 처리 가능한 경우가 몇 가지 존재한다.

예를 들어, 반복 방정식 $f(x)=a(x-c)^2+c$는 $f(x)=h^\{(-1)\}(g(h(x)))$로 표현될 수 있다. 여기서 $g(x)=ax^2$이고 $h(x)=x-c$이다. 귀납법을 통해 $f^\{(n)\}(x)=h^\{(-1)\}(g^\{(n)\}(h(x)))$를 얻을 수 있으며, $g^\{(n)\}(x)\; =\; a^\{2^\{n\}-1\}x^\{2^\{n\}\}$로 쉽게 계산된다. 따라서 최종 해는 $f^\{(n)\}(x)=a^\{2^n-1\}(x-c)^\{2^n\}+c$이다.

f와 g의 관계는 위상적 켤레를, 일반적인 반복의 혼돈적 행동은 복소 이차 다항식을 참조하면 된다.

로지스틱 맵 은 매개변수 2<r<4인 경우에 대해 일부 해를 구할 수 있다. r=4인 혼돈적인 경우, 해는 $x\_\{n\}=\backslash sin^\{2\}(2^\{n\}\; \backslash theta\; \backslash pi)$이다. 여기서 초기 조건 매개변수 $\backslash theta$는 $\backslash theta\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash sin^\{-1\}(x\_0^\{1/2\})$로 주어진다. 유리수 $\backslash theta$에 대해 $x\_n$은 유한 번 반복 후 주기적인 시퀀스로 매핑되지만, 거의 모든 $\backslash theta$는 무리수이며, 이 경우 $x\_n$은 반복되지 않고 비주기적이며 초기 조건에 대한 민감한 의존성을 보인다. 이를 혼돈적이라고 한다.

r=2일 때 로지스틱 맵의 해는 $x\_0\; \backslash in\; [0,1)$에 대해 $x\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}(1-2x\_0)^\{2^\{n\}\}$이다. $(1-2x\_0)\backslash in\; (-1,1)$이므로 $(1-2x\_0)^\{2^\{n\}\}$ 항은 n이 무한대로 갈 때 0으로 수렴하고, $x\_n$은 안정적인 고정점 $\backslash tfrac\{1\}\{2\}$로 수렴한다.

7. 이변수 이차 함수

이변수 이차 함수는 다음과 같은 형태의 2차 다항식이다.

:$f(x,y)\; =\; A\; x^2\; +\; B\; y^2\; +\; C\; x\; +\; D\; y\; +\; E\; x\; y\; +\; F,$

여기서 A, B, C, D 및 E는 고정된 계수이고 F는 상수항이다. 이러한 함수는 이차 곡면을 나타낸다. $f(x,y)$를 0으로 설정하면 곡면과 평면 $z=0$의 교차점을 나타내며, 이는 궤적이며 원뿔 곡선과 동일한 점들의 집합이다.

* 이면, 함수는 최댓값 또는 최솟값을 갖지 않으며, 그래프는 쌍곡 포물면을 형성한다.

* $4AB-E^2\; >0$이면, 함수는 $A>0$과 $B>0$이 모두 참일 때 최솟값을 가지며, 과 이 모두 참일 때 최댓값을 가진다. 그래프는 타원 포물면을 형성한다. 이 경우, 최솟값 또는 최댓값은 $(x\_m,\; y\_m)$에서 발생하며, 여기서:

:$x\_m\; =\; -\backslash frac\{2BC-DE\}\{4AB-E^2\},$

:$y\_m\; =\; -\backslash frac\{2AD-CE\}\{4AB-E^2\}.$

* $4AB-\; E^2\; =0$이고 $DE-2CB=2AD-CE\; \backslash ne\; 0$이면, 함수는 최댓값 또는 최솟값을 갖지 않으며, 그래프는 포물선 기둥을 형성한다.

* $4AB-\; E^2\; =0$이고 $DE-2CB=2AD-CE\; =0$이면, 함수는 선에서 최댓값/최솟값을 가지며, A>0일 때 최솟값, A<0일 때 최댓값을 가진다. 그래프는 포물선 기둥을 형성한다.