아핀 기하학

3. 공리 체계

• A, B, C가 한 선 위에 있고 A', B', C'가 다른 선 위에 있다고 가정한다. 만약 선 AB'와 선 A'B가 평행하고, 선 BC'와 선 B'C가 평행하다면, 선 CA'와 선 C'A도 평행하다. (이것은 파푸스 육각형 정리의 아핀 버전이다).

• 두 점은 정확히 하나의 선에 포함된다.
• 임의의 선 L과 L 위에 있지 않은 임의의 점 P에 대해, P를 포함하고 L의 어떤 점도 포함하지 않는 선이 정확히 하나 존재한다. 이 선을 L에 '평행'하다고 한다.
• 모든 선은 적어도 두 점을 포함한다.
• 한 선에 속하지 않는 점이 적어도 세 개 있다.

• (아핀 평행 공리) 점 ''A''와 ''A''를 지나지 않는 직선 ''r''이 주어졌을 때, ''A''를 지나고 ''r''과 만나지 않는 직선은 최대 하나 존재한다.
• (데자르그) 일곱 개의 서로 다른 점 ''A, A', B, B', C, C', O''가 주어져서 ''AA', BB', CC'가 ''O''를 지나는 서로 다른 직선이고, ''AB''가 ''A'B'''에 평행하며, ''BC''가 ''B'C'''에 평행하면, ''AC''는 ''A'C'''에 평행하다.

3. 1. 파푸스의 정리

• 가 한 선 위에 있고 가 다른 선 위에 있다고 가정한다. 만약 선 와 선 가 평행하고, 선 와 선 가 평행하다면, 선 와 선 도 평행하다. (이것은 파푸스 육각형 정리의 아핀 버전이다).

• 두 점은 정확히 하나의 선에 포함된다.
• 임의의 선 과 위에 있지 않은 임의의 점 에 대해, 를 포함하고 의 어떤 점도 포함하지 않는 선이 정확히 하나 존재한다. 이 선을 에 '평행'하다고 한다.
• 모든 선은 적어도 두 점을 포함한다.
• 한 선에 속하지 않는 점이 적어도 세 개 있다.

3. 2. 순서 구조

• (아핀 평행 공리) 점 ''A''와 ''A''를 지나지 않는 직선 ''r''이 주어졌을 때, ''A''를 지나고 ''r''과 만나지 않는 직선은 최대 하나 존재한다.
• (데자르그) 일곱 개의 서로 다른 점 ''A, A', B, B', C, C', O''가 주어져서 ''AA', BB', CC'가 ''O''를 지나는 서로 다른 직선이고, ''AB''가 ''A'B'''에 평행하며, ''BC''가 ''B'C'''에 평행하면, ''AC''는 ''A'C'''에 평행하다.

3. 3. 삼항환

4. 아핀 변환

아핀 변환

기하학적으로 아핀 변환은 공선성을 보존한다. 따라서 평행선을 평행선으로 변환하고 평행선상 거리의 비율을 보존한다.

아핀 기하학에서 아핀 군 하에서 불변인 기하학적 결과를 '아핀 정리'라고 한다. (펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에서 이것은 아핀 기하학의 기초가 되는 군 대칭 변환이다). 벡터 공간 ''V''를 고려하면, 일반 선형군 GL(''V'')가 있다. 이것은 전체 "아핀 군"이 아닌데, 벡터 ''v''에 의한 평행이동도 허용해야 하기 때문이다. (그러한 평행이동은 ''V''의 모든 ''w''를 ''w'' + ''v''로 맵핑한다.) 아핀 군은 일반 선형군과 평행이동에 의해 생성되며 실제로 그들의 반직접곱 $V\; \backslash rtimes\; \backslash mathrm\{GL\}(V)$이다. (여기서 우리는 ''V''를 덧셈 연산 하의 군으로 생각하고, GL(''V'')의 ''V''에 대한 정의 표현을 사용하여 반직접곱을 정의한다.)

예를 들어, 각 꼭짓점을 반대쪽 변의 중점에 연결하는 선의 공점 (''무게 중심'' 또는 ''바리 중심'')에 대한 평면 기하학 정리의 경우, ''중점''과 ''무게 중심''의 개념이 아핀 불변량으로 작용한다. 다른 예로는 체바 정리와 메넬라우스 정리가 있다.

아핀 불변량은 계산에도 도움이 될 수 있다. 예를 들어, 삼각형의 면적을 두 개의 동일한 절반으로 나누는 선은 삼각형 내부의 포락선을 형성한다. 포락선의 면적과 삼각형의 면적의 비율은 아핀 불변량이므로, 모든 삼각형에 대해 단위 이등변 직각 삼각형과 같은 간단한 경우에서 $\backslash tfrac\{3\}\{4\}\; \backslash log\_e(2)\; -\; \backslash tfrac\{1\}\{2\},$ 즉 0.019860... 또는 2% 미만으로 계산하면 된다.

삼각형의 면적에 대한 밑변 곱하기 높이의 절반, 또는 피라미드의 부피에 대한 밑변 곱하기 높이의 3분의 1과 같은 친숙한 공식도 마찬가지로 아핀 불변량이다. 후자는 일반적인 경우에 전자보다 덜 명백하지만, 정육면체의 한 면 (면적 1)과 정육면체의 중점 (높이 1/2)에 의해 형성된 6분의 1에 대해서는 쉽게 알 수 있다. 따라서, 꼭짓점이 밑변의 중심 바로 위에 있지 않은 기울어진 피라미드와 사각형 대신 평행 사변형을 밑변으로 갖는 피라미드에도 적용된다. 이 공식은 무한히 많은 평행 사변형을 허용하여 (수렴에 주의하면서) 원뿔을 포함하여 밑변을 평행 사변형으로 해부할 수 있는 피라미드로 더 일반화된다. 동일한 접근 방식은 4차원 피라미드의 4차원 초부피가 3차원 부피 평행육면체 밑변 곱하기 높이의 1/4이고, 고차원에서도 마찬가지임을 보여준다.

5. 아핀 공간

아핀 기하학은 주어진 차원 ''n''의 아핀 공간을 체 ''K'' 위에서 좌표화한 기하학으로 볼 수 있다. 또한 (2차원에서) 좌표화된 아핀 공간의 조합적 일반화가 합성 기하학의 유한 기하학에서 개발되었다. 사영 기하학에서, ''아핀 공간''은 무한대 초평면의 사영 공간에서의 여집합을 의미한다. ''아핀 공간''은 또한 계수가 1이 되도록 합해지는 선형 결합으로 제한된 연산을 갖는 벡터 공간으로 볼 수 있다. 예를 들어, 2''x'' − ''y'', ''x'' − ''y'' + ''z'', (''x'' + ''y'' + ''z'')/3, '''i'''''x'' + (1 − '''i''')''y'' 등과 같다.

합성적으로, 아핀 평면은 점과 선(또는 때로는 더 높은 차원에서 초평면) 사이의 관계를 기준으로 정의된 2차원 아핀 기하학이다. 좌표를 사용하는 대신 점과 선(또는 초평면)의 배열로 아핀(및 사영) 기하학을 정의하면 좌표 체가 없는 예시를 얻을 수 있다. 주요 속성은 이러한 모든 예가 차원 2를 갖는다는 것이다. 차원 2의 유한 예시(유한 아핀 평면)는 무한 아핀 공간, 군론, 조합론에서 배열 연구에 귀중하게 사용되었다.

배열 접근 방식보다 덜 일반적임에도 불구하고 논의된 다른 접근 방식은 대칭과 관련된 기하학 부분을 밝히는 데 매우 성공적이었다.

6. 사영적 관점

전통적인 기하학에서 아핀 기하학은 유클리드 기하학과 사영 기하학 사이의 연구로 간주된다. 한편, 아핀 기하학은 합동을 제외한 유클리드 기하학이며, 다른 한편으로는 아핀 기하학은 특정 선 또는 평면을 무한대 점을 나타내도록 지정하여 사영 기하학에서 얻을 수 있다.^[19] 아핀 기하학에는 거리 구조가 없지만, 평행선 공준은 유지된다. 아핀 기하학은 수직선을 정의할 때 유클리드 구조의 기초를 제공하거나, 쌍곡 직교의 개념을 통해 민코프스키 기하학의 기초를 제공한다.^[20] 이러한 관점에서, 아핀 변환은 무한대 점과 유한 점을 치환하지 않는 사영 변환이며, 아핀 변환 기하학은 아핀 변환의 작용 군을 통해 기하학적 속성을 연구하는 것이다.

참조

_[1] 서적 Geometry I Springer
_[2] 문서 forgetful functor
_[3] 서적 Geometric Algebra John Wiley & Sons Inc.
_[4] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (A) http://jeff560.tripo[...]
_[5] 서적 Analytische Geometrie Birkhauser
_[6] 서적 Introduction to Geometry https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[7] 간행물 Raum, Zeit, Materie Methuen
_[8] 간행물 From Euclid to Eddington: a study of conceptions of the external world Dover Publications
_[9] 문서
_[10] 문서 The Affine Plane
_[11] 문서 Affine plane
_[12] 문서 Introduction to Geometry
_[13] 간행물 The Foundations of Geometry http://www.gutenberg[...] Open Court
_[14] 간행물 Linear Geometry Addison-Wesley
_[15] 문서 Abstract Algebra/Shear and Slope
_[16] 간행물 "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" American Academy of Arts and Sciences
_[17] 웹사이트 Synthetic Spacetime https://web.archive.[...]
_[18] 간행물 "Trigonometry in Lorentzian geometry" American Mathematical Monthly
_[19] 간행물 Non-Euclidean Geometry University of Toronto Press
_[20] 문서