정규 확대

3. 성질

체 $K$의 확대 $L$에 대해 다음과 같은 성질들이 성립한다.

• $L/K$가 유한 확대라면, $L/K$의 정규 폐포 $N/K$ 역시 유한 확대이다.
• $L/K$가 분해 가능 확대라면, $N/K$은 갈루아 확대이다. 이 경우 $N/L$을 $L/K$의 '''갈루아 폐포'''(Galois closure^영어)라고 한다.

3. 1. 동치 조건

• $K[x]$의 기약 다항식 $p(x)$가 $L$에서 적어도 하나의 근을 갖는다면, $p(x)$는 $L[x]$에서 완전히 인수분해된다. 즉, $p(x)=a\backslash prod\_\{i=1\}^n(x-b\_i)$ ($a,b\_i\backslash in\; L$) 꼴로 나타낼 수 있다.
• $L/K$는 일련의 다항식들의 집합 $P\backslash subset\; K[x]$의 분해체와 ($K$의 확대로서) 동형이다.
• 모든 매장 $L\backslash to\backslash bar\; K$는 $L$의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 $\backslash iota\_\{KL\}\backslash colon\; K\backslash hookrightarrow\; L$로 쓰자. 또한, $L$은 대수적 확대이므로, $K$의 대수적 폐포 $\backslash iota\_\{K\backslash bar\; K\}\backslash colon\; K\backslash hookrightarrow\backslash bar\; K$로 가는 매장 $\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash colon\; L\backslash hookrightarrow\backslash bar\; K$이 존재하며, 또한 $\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash circ\backslash iota\_\{KL\}=\backslash iota\_\{K\backslash bar\; K\}$이도록 잡을 수 있다. (이는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장 $\backslash tilde\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash colon\; L\backslash hookrightarrow\backslash bar\; K$에 대하여, $\backslash tilde\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash circ\backslash iota\_\{KL\}=\backslash iota\_\{K\backslash bar\; K\}$라면 $\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}(L)=\backslash tilde\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}(L)\backslash subset\backslash bar\; K$이다.

4. 분류

임의의 정규 확대 $L/K$에 대하여,

:$M=\backslash begin\{cases\}$

K & \operatorname{char}K=0 \\

\{a\in L|\exists n\in\mathbb N\colon a^{p^n}\in K\} & \operatorname{char}K=p>0

\end{cases}



가 $L/K$의 최대 완전 비분해 부분 확대라고 하자. 그렇다면, $L/M$은 갈루아 확대이다. (반대로, 완전 비분해 확대의 갈루아 확대는 항상 정규 확대이다.)

5. 정규 폐포

normal closure^영어)는 다음 두 조건을 만족시키는 체의 확대 $N/L$이다.

• $N/K$는 정규 확대이다.
• 임의의 중간체 $L\backslash subseteq\; M\backslash subseteq\; N$에 대하여, 만약 $M/K$가 정규 확대라면, $M=N$이다.

• $L/K$가 유한 확대라면, $N/K$ 역시 유한 확대이다.
• $L/K$가 분해 가능 확대라면, $N/K$은 갈루아 확대이다. 이 경우 $N/L$을 $L/K$의 '''갈루아 폐포'''(Galois closure^영어)라고 한다.

6. 예

• 대수적 확대 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{2\})/\backslash mathbb\{Q\}$는 정규 확대이다. $x^2\; -\; 2$의 분해체이기 때문이다.
• $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt[3]\{2\})/\backslash mathbb\{Q\}$는 정규 확대가 아니다. 기약 다항식 $x^3\; -\; 2$가 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt[3]\{2\})$에서 하나의 근($\backslash sqrt[3]\{2\}$)을 갖지만, 완전히 인수분해되지 않기 때문이다. (2의 비실수 세제곱근을 갖지 않는다.)
• 소수 $p$에 대해, 확대 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt[p]\{2\},\; \backslash zeta\_p)$는 차수 $p(p-1)$의 정규 확대이다. 이것은 $x^p\; -\; 2$의 분해체이며, 여기서 $\backslash zeta\_p$는 임의의 $p$차 원시 단위근을 나타낸다.