초른 보조정리

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1. 개요

초른 보조정리는 원순서 집합의 닫힌 원순서 집합에서 극대 원소의 존재를 보장하는 정리이다. 부분 순서 집합의 모든 사슬이 상계를 가지면, 그 집합은 적어도 하나의 극대 원소를 갖는다는 형태로도 표현된다. 이 정리는 선택 공리를 가정하여 증명되며, 선형대수학의 기저 존재 증명, 환론의 극대 아이디얼 존재 증명, 함수해석학의 한-바나흐 정리 증명 등 다양한 수학 분야에 응용된다. 초른 보조정리는 하우스도르프 극대 원리, 선택 공리, 정렬 정리 등과 동치이며, 1935년 막스 초른에 의해 발표되었고, 1939년 니콜라 부르바키에 의해 '초른 보조정리'로 명명되었다.

초른 보조정리

수학적 내용

종류	정리
분야	집합론
관련 개념	선택 공리 하우스도르프 극대 원리 정렬 정리 초른의 보조정리

명칭

한국어 명칭	초른 보조정리
로마자 표기	Choleun Bojorijeongni
영어 명칭	Zorn's lemma
일본어 명칭	ツォルンの補題
일본어 (로마자)	Tsuorun no hodai

설명

내용	선택 공리와 동치인 집합론의 정리
중요성	수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 함.
응용 분야	함수해석학 대수학 기하학

동치 명제	선택 공리 하우스도르프 극대 원리 정렬 정리

2. 정의

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 의 정렬 사슬은 정렬 집합을 이루는 사슬 $C\subseteq X$ 이다. ( 공집합 역시 정렬 사슬로 간주한다.) 원순서 집합 $X$ 에 대하여, $\max X\subseteq X$ 가 $X$ 의 극대 원소들의 집합이라고 하자. (극대 원소란 임의의 $x\in X$ 에 대하여 만약 $m\lesssim x$ 이라면 $x\sim m$ 을 만족시키는 원소 $m\in X$ 이다.)

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. (즉, $X$ 의 모든 정렬 사슬이 상계를 갖는다고 하자. 특히, 공집합의 상계가 존재하므로 $X$ 는 공집합이 아니다.) 초른 보조정리에 따르면, 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $x$ 와 비교 가능한 극대 원소 $m\in \max X$ 가 존재한다. (특히, $X\ne\varnothing$ 이므로 $\max X\ne\varnothing$ 이다. 다시 말해, $X$ 는 하나 이상의 극대 원소를 갖는다.)

예비 개념:

* 집합 P는 이항 관계 ≤를 가지며, 이 관계는 반사적(모든 x에 대해 $x \le x$ ), 반대칭적( $x \le y$ 와 $y \le x$ 가 모두 성립하면 $x=y$ ), 추이적( $x \le y$ 와 $y \le z$ 이면 $x \le z$ )이다. 이 경우 ≤에 의해 P가 (부분) 순서를 갖는다고 한다.
* 부분 순서 집합 P의 부분 집합 S는 P에서 상속된 순서 관계를 S로 제한함으로써 부분 순서를 가질 수 있다. 부분 순서 집합 P의 부분 집합 S가 상속된 순서에서 전순서 집합이면 P에서 사슬이라고 한다.
* 순서 관계 ≤를 갖는 부분 순서 집합 P의 원소 m은 m보다 큰 P의 다른 원소가 없는 경우 극대 (≤에 관하여)라고 한다.
* 부분 순서 집합 P의 부분 집합 S가 주어졌을 때, P의 원소 u는 S의 모든 원소보다 크거나 같으면 S의 상계이다.

초른 보조정리는 다음과 같이 진술할 수 있다.

$P$ 를 공집합이 아닌 부분 순서 집합이라고 하고, $P$ 의 임의의 공집합이 아닌 사슬은 $P$ 에 상계를 가진다고 하자. 이 때 $P$ 는 적어도 하나의 극대 원소를 가진다.

3. 증명

귀류법을 사용하여 증명한다. 우선, 다음과 같은 두 함수를 선택 공리를 사용하여 정의한다.

* 함수 $f\colon\operatorname{woChain}(X)\to X$ 는 $X$ 의 모든 정렬 사슬 $C\subseteq X$ 에 대하여, 그 상계 $f(C)$ 를 대응시킨다. ( $\operatorname{woChain}(X)$ 는 $X$ 의 정렬 사슬들의 집합)
* 함수 $g\colon\uparrow\{x\}\to\uparrow\{x\}$ 는 $\forall y\in\uparrow\{x\}\colon y 를 만족시킨다. (y 는 y\lesssim g(y)\not\lesssim y 를 의미)$

이때, 임의의 순서수 $\alpha\in\operatorname{Ord}$ 에 대하여, 초한 귀납법으로 다음과 같은 원소열을 정의할 수 있다.

: $a_\alpha=g(f(\{a_\beta\colon\beta<\alpha\}))\in X$

임의의 두 순서수 $\alpha,\beta$ 에 대하여 $\alpha<\beta$ 이면 $a_\alpha 이므로, \alpha\mapsto a_\alpha 는 순서수의 고유 모임 \operatorname{Ord} 에서 X 로 가는 단사 함수 를 정의한다. 그러나 순서수의 고유 모임은 집합의 부분 집합이 될 수 없으므로, 모순이 발생한다. 따라서 귀류법에 의해 초른 보조정리가 성립한다.$

어떤 부분 순서 집합에서 극대 원소의 존재를 증명할 때, 극대 원소가 없다고 가정하고 초한 귀납법과 가정들을 통해 모순을 유도하는 방식으로 증명할 수 있다. 초른 보조정리는 이러한 논증이 작동하기 위한 조건을 정리하여, 수학자들이 매번 초한 귀납법을 반복하는 대신 초른 보조정리의 조건만 확인하도록 돕는다.

초른 보조정리의 증명은 선택 공리를 가정한다. 만약 보조정리가 거짓이라면, 모든 전순서 부분집합이 상계를 가지면서도 P의 모든 원소보다 더 큰 원소가 존재하는 부분 순서 집합 P가 존재한다. 모든 전순서 부분집합 T에 대해, T는 상계를 가지며, 그 상계는 더 큰 원소를 가지므로 더 큰 원소 b(T)를 정의할 수 있다. 함수 b를 정의하기 위해 선택 공리를 사용한다.

함수 b를 사용하여 P 내에서 원소 a₀ < a₁ < a₂ < a₃ < ... < a_ω < a_ω+1 <…를 정의한다. 이 비가산 수열은 모든 서수를 포함할 정도로 길다. 서수가 너무 많아 집합 P가 소진되어 모순이 발생한다.

a_i는 초한 귀납법에 의해 정의된다. P에서 a₀를 임의로 선택하고, 다른 모든 서수 w에 대해 a_w = b({a_v : v < w})로 설정한다. {a_v: v < w}는 전순서이므로, 이 정의는 올바른 초한 귀납법이다.

이 증명은 초른 보조정리의 더 강한 형태가 참임을 보여준다. 즉, P를 반순서 집합으로, 그 모든 정렬 부분 집합이 상계를 가지며, x를 P의 원소로 할 때, P의 극대 원소로 x 이상인 것이 존재한다.

하우스도르프 극대 원리 또는 부르바키-비트 정리를 사용한 증명도 가능하다. 또한, 증명의 기본 아이디어는 초른 보조정리의 약한 형태로 축소하는 것이다.

초른 보조정리는 각 사슬이 최소 상계를 갖는 부분 순서 집합은 극대 원소를 갖는다는 명제와 동등하다.

4. 응용

초른 보조정리는 다양한 수학 분야에서 중요한 역할을 한다.

* [[선형대수학]]: 모든 벡터 공간이 기저를 가짐을 증명할 수 있다.
* [[환 (수학)|환론]]: 모든 단위환이 극대 아이디얼을 가짐을 보일 수 있다.
* [[함수해석학]]: 한-바나흐 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.
* [[위상수학]]: 티호노프 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.

벡터 공간의 기저 존재 증명

초른 보조정리를 사용하여 모든 벡터 공간 V가 기저를 가짐을 보일 수 있다. V = {0} 이라면 공집합이 기저가 된다. V ≠ {0} 인 경우, V의 모든 선형 독립 부분 집합들의 집합 P를 생각한다. P는 영 벡터 공간이 아니므로, P는 선형 독립 부분 집합 {v} (v는 영이 아닌 V의 원소)를 포함한다. P는 집합 포함 관계에 의해 부분 순서 집합이다. V의 최대 선형 독립 부분 집합을 찾는 것은 P의 극대 원소를 찾는 것과 같다.

초른 보조정리를 적용하기 위해 P의 사슬 T를 생각한다. T가 공집합이면 {v}가 T의 상한이 된다. T가 공집합이 아니면, T의 모든 원소를 포함하는 V의 선형 독립 부분 집합 B가 존재하여 T의 상한이 된다. B는 T에 속한 모든 집합들의 합집합으로 정의한다. B가 선형 독립이 아니라고 가정하면 모순이 발생하므로, B는 선형 독립이다.

초른 보조정리에 의해 P는 극대 원소 B를 갖는다. B가 V의 생성 집합이 아니라고 가정하면, B보다 큰 선형 독립 부분 집합이 존재하여 B의 극대성에 모순된다. 따라서 B는 V의 기저이다.

단위환의 극대 아이디얼 존재 증명

초른 보조정리는 환 R이 단위환일 때, 자명하지 않은 환은 극대 아이디얼을 포함한다는 것을 보이는 데 사용될 수 있다.

P를 R의 모든 진부분 아이디얼들의 집합이라고 하자. R이 자명하지 않으므로 P는 자명 아이디얼 {0}을 포함한다. P는 집합 포함 관계에 의해 부분 순서가 매겨진다. R에서 극대 아이디얼을 찾는 것은 P에서 극대 원소를 찾는 것과 같다.

초른 보조정리를 적용하기 위해 P의 사슬 T를 생각한다. T가 비어있다면 {0}이 T의 상계이다. T가 비어있지 않다면, T의 모든 원소를 포함하면서 R보다 작은 아이디얼 I가 존재하여 T의 상계가 된다. I는 T에 있는 모든 아이디얼의 합집합으로 정의한다. I가 R의 아이디얼임을 보이고, I가 진부분 아이디얼임을 보이면 초른 보조정리의 조건을 만족한다.

따라서 P는 극대 원소를 가지며, 이는 R의 극대 아이디얼이다. 이 증명은 환 R이 곱셈 단위원 1을 가지고 있다는 사실에 의존한다.

선택 공리 증명

초른 보조정리가 선택 공리를 함의한다는 증명은 초른 보조정리의 전형적인 응용을 보여준다. 비어 있지 않은 집합들의 집합 $X$ 와 그 합집합 $U := \bigcup X$ 가 주어졌을 때, 각 $S \in X$ 에 대해 $f(S) \in S$ 를 만족하는 함수 $f : X \to U$ 가 존재함을 보인다.

확장에 의해 부분 순서화된 집합 $P = \{ f : X' \to U \mid X' \subset X, f(S) \in S \}$ 을 고려한다. $P$ 에서의 사슬 $f_i : X_i \to U$ 에 대해, 합집합 $X' = \cup_i X_i$ 에서 함수 $f$ 를 정의하면, $f$ 는 $P$ 의 원소이며 모든 $f_i$ 의 공통 확장이다. 따라서 $P$ 의 각 사슬은 $P$ 에서 상한을 갖는다. 초른 보조정리에 의해 $P$ 의 극대 원소 $f$ 가 존재한다. $X' = X$ 임을 보이면 증명이 완료된다.

본질적으로 동일한 증명은 초른 보조정리가 정렬 정리를 함의한다는 것을 보여준다.

5. 역사

하우스도르프 극대 원리는 펠릭스 하우스도르프가 1914년에 최초로 사용한 것으로, 초른 보조정리와 유사한 초기 진술이다.

카지미에시 쿠라토프스키는 1922년에 현대적 공식에 가까운 보조정리의 버전을 증명했다. 막스 초른은 1935년에 "극대 원소 원리"(maximum principle^영어)라는 이름으로 같은 정리를 발표하고, 이를 집합론의 공리로 차용할 것을 주장하였다.

"초른 보조정리"라는 이름은 1939년 니콜라 부르바키가 《집합론》(Théorie des ensembles^프랑스어)에서 사용하였다. 존 투키는 1940년 저서 Convergence and Uniformity in Topology에서 "초른 보조정리"라는 이름을 사용했다. 폴란드와 러시아에서는 "쿠라토프스키-초른 보조정리"라는 이름이 널리 사용된다.

6. 동치인 명제

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서 초른 보조정리는 다음 명제들과 동치이다.

* 하우스도르프 극대 원리
* 선택 공리
* 정렬 정리
* 튜키 보조정리

이러한 동치 관계는 제리 보나의 다음과 같은 농담으로도 잘 알려져 있다.

"선택 공리는 분명히 참이고, 정렬 정리는 분명히 거짓이며, 조른 보조정리에 대해 누가 알 수 있겠는가?"

또한, 초른 보조정리는 일계 논리의 강한 완전성 정리와 동치이다.

초른 보조정리(또는 동치 형태 중 하나)는 다른 수학 분야에서 다음과 같은 주요 결과들을 함축한다.

* 함수해석학의 한-바나흐 정리
* 모든 벡터 공간은 기저를 갖는다.
* 모든 가환 환은 극대 아이디얼을 갖는다. (크룰 정리)
* 위상수학의 티호노프 정리
* 모든 진 부분 필터는 초필터에 포함된다.

7. 대중문화

1970년 영화 초른의 보조정리(Zorns Lemma)는 이 보조정리의 이름을 따서 지어졌다.

이 보조정리는 심슨 가족 에피소드 "바트의 새 친구"에서 언급되었다. 심슨 가족은 미국의 텔레비전 애니메이션으로, 수학적 소재가 많이 사용되었다.