사면체

3. 공식

한 변의 길이가 $a$인 정사면체의 부피(V), 겉넓이(A), 높이(h)는 다음과 같다.

:$V=\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{12\}a^3$

:$A=\backslash sqrt3a^2$

:$h=\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}a\}\{3\}$

밑면과 모서리 사이의 각은 $\backslash arctan\backslash sqrt\{2\}$ (약 55°), 두 면 사이의 각(이면각)은 $\backslash arccos\backslash frac\{1\}\{3\}\; =\; \backslash arctan2\backslash sqrt\{2\}$ (약 71°)이다. 모든 각뿔과 같이, 밑면의 넓이가 $A$이고 밑면에서 맞은편 꼭짓점까지의 거리가 $h$일 때, 부피는 $V\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}Ah$이다.

3. 1. 일반적인 사면체의 부피 공식

{6}

이는 스칼라 삼중곱을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$V\; =\; \backslash frac\; \{\; |(\backslash mathbf\{a\}-\backslash mathbf\{d\})\; \backslash cdot\; ((\backslash mathbf\{b\}-\backslash mathbf\{d\})\; \backslash times\; (\backslash mathbf\{c\}-\backslash mathbf\{d\}))|\; \}\; \{6\}$^[8]

사면체의 꼭짓점 사이의 거리가 주어지면 케일리-멩거 행렬식을 사용하여 부피를 계산할 수 있다.

:$288\; \backslash cdot\; V^2\; =$

\begin{vmatrix}

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\

1 & d_{12}^2 & 0 & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\

1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0 & d_{34}^2 \\

1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0

\end{vmatrix}

여기서 첨자 ''i'', ''j'' ∈ {1, 2, 3, 4}는 꼭짓점 {a, b, c, d}를 나타내고, ''d''_ij는 두 꼭짓점을 연결하는 모서리의 길이, 즉 꼭짓점 사이의 거리를 의미한다. 행렬식의 값이 음수이면 주어진 거리로는 사면체를 구성할 수 없다. 이 공식은 피에로 델라 프란체스카가 삼각형 넓이에 대한 헤론의 공식을 3차원으로 유추하여 만들어낸 것이다.^[8]

4. 대칭성

정사면체의 대칭성은 정육면체의 대칭성의 절반에 해당한다. 정사면체는 점 반전에 의해 자기 자신으로 사상되지 않는 유일한 플라톤 입체이다.

정사면체는 대칭군인 완전 사면체 대칭 $\backslash mathrm\{T\}\_\backslash mathrm\{d\}$를 이루는 24개의 등장이성을 가지고 있다. 이 대칭군은 동형인 대칭군 $S\_4$이다. 이들은 다음과 같이 분류할 수 있다.

• 회전 사면체 대칭 $\backslash mathrm\{T\}$를 가집니다. 이 대칭은 교대군 $A\_4$와 동형이다. 항등변환과 11개의 적절한 회전으로 구성된다.
• 항등변환 (항등변환; 1)
• 마주보는 면에 수직인 꼭짓점을 지나는 축을 중심으로 ±120° 회전: 4개의 축, 각 축당 2개, 총 8개
• 모서리를 마주보는 모서리로 사상하는 180° 회전: 3개
• 모서리에 수직인 평면에 대한 반사: 6개
• 평면에 대한 반사와 평면에 수직인 축을 중심으로 한 90° 회전의 조합: 3개의 축, 각 축당 2개, 총 6개

정사영

중심	면/꼭짓점	모서리
그림
사영 대칭	[3]	[4]

불규칙 사면체의 이합동은 사면체의 기하학에 따라 달라지며, 7가지 경우가 가능하다. 각 경우마다 3차원 점군이 형성된다.

사면체 이름				모서리 등가 다이어그램	설명
대칭
쇤플리스	콕세터	오비폴드	차수
정사면체					네 개의 정삼각형
Td T	[3,3] [3,3]+	*332 332	24 12
삼각뿔					정삼각형 밑면과 세 개의 같은 이등변삼각형 옆면
C3v C3	[3] [3]+	*33 33	6 3
거울상 스페노이드					공통 밑변을 가진 두 개의 같은 부등변삼각형
Cs =C1h =C1v	[ ]	*	2
불규칙 사면체 (대칭 없음)					네 개의 서로 다른 삼각형
C1	[ ]+	1	1
디스페노이드 (네 개의 같은 삼각형)
정사각형 디스페노이드				--	네 개의 같은 이등변삼각형
D2d S4	[2+,4] [2+,4+]	2*2 2×	8 4
마름모 디스페노이드					네 개의 같은 부등변삼각형
D2	[2,2]+	222	4
일반화된 디스페노이드 (2쌍의 같은 삼각형)
이각형 디스페노이드					두 쌍의 같은 이등변삼각형
C2v C2	[2] [2]+	*22 22	4 2
필릭 디스페노이드					두 쌍의 같은 부등변삼각형 또는 이등변삼각형
C2	[2]+	22	2

5. 사면체의 분할 및 닮음 클래스

사면체 분할은 계산 기하학과 3D 모델링에서 사면체를 여러 개의 더 작은 사면체로 나누는 과정이다. 이 과정은 사면체 메시의 복잡성과 디테일을 향상시키는데, 이는 특히 수치 시뮬레이션, 유한 요소 해석 및 컴퓨터 그래픽스에서 유용하다. 일반적으로 사용되는 분할 방법 중 하나는 '''가장 긴 변 이등분(Longest Edge Bisection, LEB)'''으로, 사면체의 가장 긴 변을 찾아 중간점에서 이등분하여 두 개의 새로운 더 작은 사면체를 생성한다. 이 과정을 여러 번 반복하여 이전 반복에서 생성된 모든 사면체를 이등분하면 반복적인 LEB라고 한다.

'''닮음 클래스'''는 특정 위치, 방향 및 크기에 관계없이 동일한 기하학적 모양을 가진 사면체의 집합이다. 따라서 동일한 닮음 클래스에 속하는 두 사면체는 어파인 변환을 통해 서로 변환될 수 있다. 반복적인 분할 방법에서 닮음 클래스의 수가 제한적인 결과는 계산 모델링 및 시뮬레이션에 중요하다. 생성된 사면체의 모양과 크기의 변동성을 줄여 시뮬레이션 결과를 손상시킬 수 있는 매우 불규칙한 요소의 형성을 방지한다.

정사면체의 반복적인 LEB는 8개의 닮음 클래스만 생성하는 것으로 나타났다. 또한, 두 개의 가장 긴 변이 서로 연결되어 있지 않고 가장 긴 변과 가장 짧은 변의 비율이 $\backslash sqrt\{3/2\}$ 이하인 거의 정삼각형인 사면체의 경우, 반복적인 LEB는 37개 이하의 닮음 클래스를 생성한다.^[7]

6. 일반적인 성질

사면체는 삼각형과 유사한 많은 성질을 가지고 있다. 내접구, 외접구, 중간 사면체, 12점 구 등 삼각형의 여러 성질이 사면체에도 대응된다.^[9] 가스파르 몽주가 발견한 몽주점은 사면체의 여섯 중평면이 교차하는 점으로, 모든 사면체에 존재한다. 중평면은 두 꼭짓점을 잇는 모서리에 수직이고, 다른 두 꼭짓점을 잇는 반대쪽 모서리의 무게중심을 포함하는 평면이다. 사면체의 고도가 교차하는 경우 몽주점과 수심이 일치하여 직교사면체가 된다. 몽주점에서 임의의 면에 내린 수선은 그 면에서 반대쪽 꼭짓점에서 내린 고도의 발과 그 면의 수심을 잇는 선분의 중점에서 만난다.

사면체의 꼭짓점과 반대쪽 면의 무게중심을 잇는 선분은 ''중선'', 두 반대쪽 모서리의 중점을 잇는 선분은 ''이중선''이다. 사면체에는 중선 4개, 이중선 3개가 있으며, 이 일곱 선분은 모두 사면체의 ''무게중심''에서 만난다.^[10] 중선은 무게중심에 의해 3:1로 나뉜다(코만디노 정리 참조). 사면체의 무게중심은 몽주점과 외심의 중점이며, 이 점들은 삼각형의 오일러 직선과 유사한 사면체의 ''오일러 직선''을 정의한다.

삼각형의 구점원에 대응하는 사면체의 '''12점 구'''는 중간 사면체의 외접구이다. 12점 구는 기준 사면체의 네 면의 무게중심 외에도, 몽주점에서 네 꼭짓점 각각을 향해 1/3 지점에 있는 네 개의 ''오일러 점''을 지난다. 또한 각 오일러 점에서 해당 꼭짓점을 포함하지 않는 면에 내린 수선의 네 발점을 지난다.^[11]

12점 구의 중심 ''T''는 오일러 직선 위에 있으며, 몽주점 ''M''에서 외심을 향해 1/3 지점에 있다. 선택된 면에 대한 수선 ''T''는 같은 면에 대한 오일러 점을 통과하는 수선, 그리고 같은 면의 무게중심을 통과하는 수선과 동일 평면 상에 있다. 12점 중심을 통과하는 수선은 오일러 점 수선과 무게중심 수선의 중간에 위치한다. 임의의 면에 대해 12점 중심은 해당 오일러 점과 그 면의 수심의 중점에 있다.

12점 구의 반지름은 기준 사면체의 외접원 반지름의 1/3이다.

사면체의 면이 이루는 각 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.^[12]

:

\cos{(\alpha_{12})} & -1 & \cos{(\alpha_{23})} & \cos{(\alpha_{24})} \\

\cos{(\alpha_{13})} & \cos{(\alpha_{23})} & -1 & \cos{(\alpha_{34})} \\

\cos{(\alpha_{14})} & \cos{(\alpha_{24})} & \cos{(\alpha_{34})} & -1 \\ \end{vmatrix} = 0\,

여기서 ''α''는 면 ''i''와 ''j'' 사이의 각이다.

사면체의 꼭짓점 위치 좌표의 기하 중앙값과 등각 중심은 삼각형과 유사하게 관련된다. 로렌츠 린델뢰프가 발견한 등각 중심 ''O''는 면에 의해 이루어지는 입체각이 π sr로 같은 점이며, 반대쪽 모서리에 의해 이루어지는 각도도 같다.^[13] π sr은 공간 전체 입체각의 1/4이다. 모든 꼭짓점의 입체각이 π sr보다 작으면 ''O''는 사면체 내부에 있고, ''O''에서 꼭짓점까지 거리 합이 최소이므로 ''O''는 꼭짓점의 기하 중앙값 ''M''과 일치한다. 꼭짓점 ''v''의 입체각이 정확히 π sr이면 ''O''와 ''M''은 ''v''와 일치한다. 그러나 꼭짓점 ''v''의 입체각이 π sr보다 크면 ''M''은 ''v''에 대응되지만, ''O''는 사면체 외부에 있다.

7. 공간 채우기

정사면체는 단독으로 3차원 유클리드 공간을 채울 수 없다. 하지만 정팔면체와 2:1의 비율로 번갈아 배열하면 교대 입방 벌집을 형성하여 공간을 채울 수 있다.^[14]

정다면체가 아닌 일부 사면체는 공간을 채울 수 있는데, 예를 들어 슐레플리 직교체계(정육면체의 특징적인 직교사면체^[14])와 힐 사면체가 있다.

8. 응용

수치 해석에서 복잡한 3차원 형상은 유한 요소 해석의 방정식을 설정하는 과정에서, 특히 편미분 방정식의 수치 해석적 풀이에서 불규칙한 사면체의 다각형 메시로 분할하거나 근사하는 것이 일반적이다. 이러한 방법은 전산유체역학, 항공역학, 전자기장, 토목공학, 화학공학, 조선공학 그리고 관련 분야의 실제 응용 분야에서 널리 사용된다.^[5]

단단한 모서리를 가진 사면체는 본질적으로 강성을 가진다. 이러한 이유로 사면체는 종종 공간구조와 같은 골조 구조물을 강화하는 데 사용된다.

사면체는 칼트롭에서 지역거부무기를 제공하는 데 사용된다. 이는 항상 위쪽을 향하는 날카로운 모서리를 가지고 있는 사면체의 특성 때문이다. 대형 콘크리트 사면체는 대전차 장치 또는 해안선의 파도를 분산시키는 테트라포드로 사용되었다.

일부 비행장에서는 두 면이 얇은 재질로 덮인 사면체 모양의 큰 구조물이 회전축에 장착되어 항상 바람 방향을 가리키도록 설치되어 있다. 이는 공중에서도 보일 만큼 크게 제작되며, 때로는 조명이 설치되기도 한다. 그 목적은 조종사에게 풍향을 알려주는 기준으로 활용하는 것이다.^[22]

9. 관련 다면체 및 복합체

정사면체는 삼각뿔, 이각반각기둥, 이각사면체 등으로 볼 수 있다. 정사면체에 절단 연산을 적용하면 다양한 다면체를 얻을 수 있다. 모서리를 점까지 줄이면 정팔면체가 만들어지며, 이 과정을 계속하면 원래 면이 점으로 줄어들어 다시 자기 쌍대인 사면체가 된다.

정사면체는 슐레플리 기호 {3, ''n''}을 갖는 정다면체 계열의 일부이며, 쌍곡선 평면까지 이어진다. 또한 3차 꼭짓점 도형을 갖는 정다면체 및 테셀레이션과도 위상적으로 관련이 있다.

사면체는 다음과 같은 다양한 복합체를 이룬다.

• 정육면체 내 두 개의 사면체
• 다섯 개 사면체의 복합체
• 열 개 사면체의 복합체

10. 일반화

일반적인 차원의 유클리드 공간 '''R'''^''n''에서도 최소의 꼭짓점으로 구성할 수 있는 다면체가 존재한다. 이러한 다면체를 총칭하여 단체라고 한다. ''n''차원 공간의 단체는 ''n''+1개의 꼭짓점을 갖는다.

참조

_[1] MathWorld Tetrahedron
_[2] 서적 Plane and Solid Geometry https://archive.org/[...] Macmillan
_[3] 웹사이트 Tetrahedron http://www.mathemati[...] 2001
_[4] 논문 (Harvnb 참조)
_[5] 웹사이트 Sections of a Tetrahedron http://www.matematic[...]
_[6] 논문 Trisecting an Orthoscheme
_[7] 논문 Finite number of similarity classes in Longest Edge Bisection of nearly equilateral tetrahedra
_[8] 웹사이트 Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant http://www.mathpages[...]
_[9] 논문 Altitudes of a tetrahedron and traceless quadratic forms http://www.geometrie[...]
_[10] 서적 Vectors, matrices and geometry Hong Kong University Press
_[11] 서적 The Various Kinds of Centres of Simplices http://www.math.sc.c[...] Dept of Mathematics, Chulalongkorn University, Bangkok
_[12] 웹사이트 Déterminants sphérique et hyperbolique de Cayley-Menger http://archimede.mat[...] Bulletin AMQ 2011-05
_[13] 논문 Sur les maxima et minima d'une fonction des rayons vecteurs menés d'un point mobile à plusieurs centres fixes
_[14] 논문 Which tetrahedra fill space? Mathematical Association of America
_[15] 논문 Is There a "Most Chiral Tetrahedron"?
_[16] 문서 Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” http://www.imomath.c[...]
_[17] 서적 Sammlung mathematischer Aufsätze u. Bemerkungen 1 https://archive.org/[...] Maurer 2018-08-07
_[18] 서적 Spherical Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools //www.gutenberg.org/[...]
_[19] 논문 {{math|''L''_p}} centroidal Voronoi tessellation and its applications
_[20] 간행물 Problem 930 https://cms.math.ca/[...] 1985-05
_[21] 서적 Pythagorean Triangles Dover Publications
_[22] 서적 Pilot's Handbook of Aeronautical Knowledge https://books.google[...] U. S. Government Printing Office
_[23] 논문 Valence angle of the tetrahedral carbon atom
_[24] 웹사이트 White phosphorus https://www.acs.org/[...] 2024-05-26
_[25] 논문 Resistance-Distance Sum Rules http://jagor.srce.hr[...]
_[26] 논문 Radial and Pruned Tetrahedral Interpolation Techniques http://www.hpl.hp.co[...] 1998-04
_[27] 서적 Vestiges of the Molten Globe, as exhibited in the figure of the earth, volcanic action and physiography https://books.google[...] E. Stanford
_[28] 서적 Principles of physical geology https://archive.org/[...] Nelson
_[29] 뉴스 William Lowthian Green and his Theory of the Evolution of the Earth's Features https://books.google[...] Geological Publishing Company 1900-01
_[30] 웹사이트 Marvin Minsky: Stanley Kubrick Scraps the Tetrahedron http://www.webofstor[...] Web of Stories 2012-02-20
_[31] 논문 The tetrahedral principle in kite structure https://scholar.arch[...] 1903-06
_[32] MathWorld Tetrahedral graph