육팔면체

3. 구성

육팔면체는 14개의 면(8개의 정삼각형과 6개의 정사각형), 24개의 모서리, 12개의 꼭짓점을 가진다.^[1] 모서리 길이가 이고 원점을 중심으로 하는 육팔면체의 꼭짓점의 데카르트 좌표는 다음과 같다.^[1]

: (±1, ±1, 0), (±1, 0, ±1), (0, ±1, ±1).

3. 1. 삼각 회전이중돔

3. 2. 정리(기하학)

3. 3. 절단(기하학) 및 캔틸레이션

4. 성질

4. 1. 측정 및 기타 속성

:$A\; =\; (6+2\backslash sqrt\{3\})a^2\; \backslash approx\; 9.464a^2$

:$V\; =\; \backslash frac\{5\; \backslash sqrt\{2\}\}\{3\}\; a^3\; \backslash approx\; 2.357a^3.$

육팔면체의 이면각은 삼각뿔의 각을 이용하여 계산할 수 있다. 정삼각형과 정사각형이 만나는 각은 약 125°이다.^[1]

벅민스터 풀러는 육팔면체가 중심에서 꼭짓점까지의 거리가 모서리 사이의 거리와 같은 유일한 다면체임을 발견했다. 이는 3차원 공간에서 동일한 길이의 벡터를 가지며, ''벡터 평형''이라고 한다.^[2] 육팔면체는 루퍼트 성질을 가지는데, 이는 동일하거나 더 큰 크기의 다면체가 그 구멍을 통과할 수 있다는 것을 의미한다.^[3]

• 겉넓이: 한 변을 $a$라고 하면 $S=(6+2\backslash sqrt\{3\})a^2$
• 부피: 한 변을 $a$라고 하면 $V=\{5\backslash sqrt\{2\}\backslash over\{3\}\}a^3$
• 외접구 반지름: 한 변을 2로 하면 2 ("변의 길이"와 "정점과 입체 중심 사이의 거리"가 같다)

4. 2. 대칭 및 분류

육팔면체는 아르키메데스 다면체 중 하나로, 매우 대칭적이고 반정규 다면체이다. 두 개 이상의 서로 다른 정다각형 면이 한 꼭짓점에서 만난다는 것을 의미한다.^[2] 육팔면체는 정팔면체 또는 정육면체와 동일한 대칭인 팔면체 대칭 $\backslash mathrm\{O\}\_\backslash mathrm\{h\}$와 정사면체와 동일한 대칭인 사면체 대칭 $\backslash mathrm\{T\}\_\backslash mathrm\{d\}$를 가진다. 모든 꼭짓점에서 만나는 다각형 면은 정삼각형 두 개와 정사각형 두 개이며, 육팔면체의 꼭짓점 도형은 3.4.3.4이다. 육팔면체의 쌍대 다면체는 마름모십이면체이다.

4. 3. 방사형 정삼각형 대칭

육팔면체에서 긴 반지름(중심에서 꼭짓점까지)은 모서리 길이와 같으므로 긴 지름(꼭짓점에서 반대쪽 꼭짓점까지)은 모서리 길이의 2배이다. 그 중심은 정규 각뿔의 꼭짓점과 같으며, 다른 모든 꼭짓점으로부터 한 모서리 길이만큼 떨어져 있다. 육팔면체의 경우, 중심은 실제로 6개의 정사각형 각뿔과 8개의 삼각뿔의 꼭짓점이다. 이러한 방사형 정삼각형 대칭은 몇몇 균일 정다포체의 특징으로, 2차원 정육각형, 3차원 육팔면체, 4차원 24-포체와 8-포체(초정육면체)가 있다.^[1]

이러한 방사형 정삼각형 정다포체는 각각 특징적인 공간 채움 테셀레이션의 셀로도 나타난다. 예를 들어 정육각형 타일링, 교정된 정육면체 벌집(육팔면체와 팔면체가 번갈아 나타남), 24-포체 벌집 및 초정육면체 벌집이 있다.^[2] 각 테셀레이션에는 쌍대 테셀레이션이 있으며, 테셀레이션의 셀 중심은 쌍대 테셀레이션의 셀 꼭짓점이다. 2, 3, 4차원에서 가장 조밀하게 알려진 정규 구 팩킹은 이러한 테셀레이션 중 하나의 셀 중심을 구 중심으로 사용한다.

육팔면체는 방사형 정삼각형이기 때문에 중심은 12개의 꼭짓점으로부터 한 모서리 길이만큼 떨어져 있다.

5. 기타

벅민스터 풀러는 육팔면체의 중심에서 꼭짓점까지의 거리가 모서리 길이와 같다는 것을 발견하고, 이를 '벡터 평형'이라고 명명했다. 또한 육팔면체의 강성 스트럿과 유연한 꼭짓점을 이용하여 정십이면체, 정팔면체, 정사면체로 점진적으로 변환할 수 있음을 보였고, 이를 '지터버그 변환'이라고 명명했다.

6. 관련 다면체 및 벌집

육팔면체는 사반육면체의 2-덮개이며, 동일한 추상 다포체 꼭짓점 도형(삼각형 두 개와 정사각형 두 개: 3·4·3·4)과 절반의 꼭짓점, 모서리 및 면을 갖는다.^[3]

6. 1. 꼭짓점을 공유하는 다면체

6. 2. 파생된 다면체

6. 3. 존슨의 다면체

7. 비슷한 다면체

깎은 정육면체	육팔면체	깎은 정팔면체

참조

_[1] 서적
_[1] 서적 https://books.google[...]
_[2] 서적 https://books.google[...]
_[2] 서적 https://archive.org/[...]
_[2] 서적 https://archive.org/[...]
_[3] 서적 https://books.google[...]
_[3] 서적 https://books.google[...]