제트 군

1. 개요

제트 군은 미분 동형 사상의 제트들의 집합으로 정의되는 수학적 구조이다. n차원 k차 제트 군 $\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$는 원점을 보존하는 미분 동형 사상들의 0에서의 k차 제트들의 집합이며, 함수 합성에 따라 리 군의 구조를 갖는다. 제트 군은 매끄러운 다양체의 구조를 가지며, 틀다발과 밀접한 관련이 있다. k=0 또는 n=0일 때 자명군이 되며, k=1일 때는 일반 선형군이 된다. 또한, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니며, 반직접곱과 같은 다른 수학적 구조와도 연관된다.

2. 정의

$\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R^n,0)$를 원점을 보존하는 미분 동형 사상 $f\backslash colon\backslash mathbb\; R^n\backslash to\backslash mathbb\; R^n$들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 군을 이룬다. $n$차원 $k$차 제트 군 $\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$는 $\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R,0)$의 원소들의, $0\backslash in\backslash mathbb\; R^n$에서의 $k$차 제트들의 집합이다.

:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)=\backslash left\backslash \{\backslash mathrm\; j\_0^kf\backslash colon\; f\backslash in\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R^n,0)\backslash right\backslash \}$

제트 군은 자연스럽게 매끄러운 다양체의 구조를 가지며, 리 군의 구조는 다음과 같이 주어진다.

:$(\backslash mathrm\; j^k\_0f)(\backslash mathrm\; j^k\_0g)=\backslash mathrm\; j^k\_0(f\backslash circ\; g)$

즉, 자연스러운 전사 군 준동형

:$\backslash operatorname\; j^k\_0\backslash colon\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R^n,0)\backslash to\; \backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$

이 존재한다.

k ≥ 2라고 하자. 함수 f: R^k → R의 미분은 df: R^k → T*R^k로 주어지는 R^K의 코탄젠트 다발의 단면으로 해석될 수 있다. 마찬가지로, 최대 m차의 도함수는 제트 다발 J^m(R^k) = R^k × W의 단면이며, 여기서

:$W\; =\; \backslash mathbf\; R\; \backslash times\; (\backslash mathbf\; R^*)^k\; \backslash times\; S^2(\; (\backslash mathbf\; R^*)^k)\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; S^\{m\}\; (\; (\backslash mathbf\; R^*)^k).$

여기서 R*는 R의 쌍대 벡터 공간이고, Sⁱ는 i차 대칭 멱을 나타낸다.

$p=(x,x\text{'})\backslash in\; J^m(\backslash mathbf\; R^n)$인 점을 고려해 보자. p가 j^mf_p의 이미지에 있도록 k개의 변수와 m차의 고유한 다항식 f_p가 존재한다. 즉, $j^k(f\_p)(x)=x\text{'}$이다. 미분 데이터 x′는 y ∈ Rⁿ의 다른 점 위로, 즉 f_p의 y에 대한 편도함수인 j^mf_p(y)로 전송될 수 있다.

다음과 같이 J^m(Rⁿ)에 군 구조를 제공한다.

:$(x,x\text{'})\; *\; (y,\; y\text{'})\; =\; (x+y,\; j^mf\_p(y)\; +\; y\text{'})$

이 군 구조에서 J^m(Rⁿ)은 m + 1차의 카르노 군이다.

함수 합성에 따른 제트의 속성 때문에, Gⁿ_k는 리 군이다. 제트 군은 일반 선형 군과 연결된 단일 연결 멱영 리 군의 반직접 곱이다. 또한 합성에는 다항식 연산만 포함되므로 실제로 대수적 군이기도 하다.

2.1. 기본 정의

$\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R^n,0)$를 원점을 보존하는 미분 동형 사상 $f\backslash colon\backslash mathbb\; R^n\backslash to\backslash mathbb\; R^n$들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 군을 이룬다. $n$차원 $k$차 제트 군 $\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$는 $\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R,0)$의 원소들의, $0\backslash in\backslash mathbb\; R^n$에서의 $k$차 제트들의 집합이다.

:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)=\backslash left\backslash \{\backslash mathrm\; j\_0^kf\backslash colon\; f\backslash in\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R^n,0)\backslash right\backslash \}$

제트 군은 자연스럽게 매끄러운 다양체의 구조를 가지며, 리 군의 구조는 다음과 같이 주어진다.

:$(\backslash mathrm\; j^k\_0f)(\backslash mathrm\; j^k\_0g)=\backslash mathrm\; j^k\_0(f\backslash circ\; g)$

즉, 자연스러운 전사 군 준동형

:$\backslash mathrm\; j^k\_0\backslash colon\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R^n,0)\backslash to\; \backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$

이 존재한다.

k ≥ 2라고 하자. 함수 f: R^k → R의 미분은 df: R^k → T*R^k로 주어지는 R^K의 코탄젠트 다발의 단면으로 해석될 수 있다. 마찬가지로, 최대 m차의 도함수는 제트 다발 J^m(R^k) = R^k × W의 단면이며, 여기서

:$W\; =\; \backslash mathbf\; R\; \backslash times\; (\backslash mathbf\; R^*)^k\; \backslash times\; S^2(\; (\backslash mathbf\; R^*)^k)\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; S^\{m\}\; (\; (\backslash mathbf\; R^*)^k).$

여기서 R*는 R의 쌍대 벡터 공간이고, Sⁱ는 i차 대칭 멱을 나타낸다.

$p=(x,x\text{'})\backslash in\; J^m(\backslash mathbf\; R^n)$인 점을 고려해 보자. p가 j^mf_p의 이미지에 있도록 k개의 변수와 m차의 고유한 다항식 f_p가 존재한다. 즉, $j^k(f\_p)(x)=x\text{'}$이다. 미분 데이터 x′는 y ∈ Rⁿ의 다른 점 위로, 즉 f_p의 y에 대한 편도함수인 j^mf_p(y)로 전송될 수 있다.

다음과 같이 J^m(Rⁿ)에 군 구조를 제공한다.

:$(x,x\text{'})\; *\; (y,\; y\text{'})\; =\; (x+y,\; j^mf\_p(y)\; +\; y\text{'})$

이 군 구조에서 J^m(Rⁿ)은 m + 1차의 카르노 군이다.

함수 합성에 따른 제트의 속성 때문에, Gⁿ_k는 리 군이다. 제트 군은 일반 선형 군과 연결된 단일 연결 멱영 리 군의 반직접 곱이다. 또한 합성에는 다항식 연산만 포함되므로 실제로 대수적 군이기도 하다.

2.2. 제트 군의 정의에 대한 추가 설명 (영어 위키 기반)

자연수 $n$과 $k$가 주어졌다고 하자. 미분 동형 사상 $f\backslash colon\backslash mathbb\; R^n\backslash to\backslash mathbb\; R^n$ 가운데, $f(0)=0$인 것(즉, 점을 가진 공간의 사상인 것)들의 집합 $\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R^n,0)=\backslash left\backslash \{f\backslash in\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\}(\backslash mathbb\; R^n),\backslash ;f(0)=0\backslash right\backslash \}$는 함수의 합성 아래 자연스럽게 군을 이룬다.

$n$차원 $k$차 제트 군($n$次元$k$次jet群, $n$-dimensional $k$th-order jet group^영어) $\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$는 $\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R,0)$의 원소들의, $0\backslash in\backslash mathbb\; R^n$에서의 $k$차 제트들의 집합이다.
:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)=\backslash left\backslash \{\backslash mathrm\; j\_0^kf\backslash colon\; f\backslash in\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R^n,0)\backslash right\backslash \}$
이는 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다. 그 위의 리 군 구조는 다음과 같다.
:$(\backslash mathrm\; j^k\_0f)(\backslash mathrm\; j^k\_0g)=\backslash mathrm\; j^k\_0(f\backslash circ\; g)$
즉, 자연스러운 전사 군 준동형 $\backslash mathrm\; j^k\_0\backslash colon\backslash operatorname\{Aut\}\_\{\backslash operatorname\{Diff\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; R^n,0)\backslash to\; \backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$이 존재한다.

$k\backslash ge\; 2$일 때, 함수 $f\backslash colon\; \backslash mathbb\; R^k\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$의 미분은 $df\backslash colon\; \backslash mathbb\; R^k\; \backslash to\; T^*\backslash mathbb\; R^k$로 주어지는 $\backslash mathbb\; R^k$의 코탄젠트 다발의 단면으로 해석될 수 있다. 최대 $m$차의 도함수는 제트 다발 $J^m(\backslash mathbb\; R^k)\; =\; \backslash mathbb\; R^k\; \backslash times\; W$의 단면으로 나타낼 수 있다. 여기서 $W\; =\; \backslash mathbf\; R\; \backslash times\; (\backslash mathbf\; R^*)^k\; \backslash times\; S^2(\; (\backslash mathbf\; R^*)^k)\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; S^\{m\}\; (\; (\backslash mathbf\; R^*)^k)$이고, $\backslash mathbb\; R^*$는 $\backslash mathbb\; R$의 쌍대 벡터 공간, $S^i$는 $i$차 대칭 멱이다. 매끄러운 함수 $f\backslash colon\; \backslash mathbb\; R^k\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$은 각 점 $p\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R^k$에서 $j^mf\backslash colon\; \backslash mathbb\; R^k\; \backslash to\; J^m(\backslash mathbb\; R^k)$를 갖는데, 이는 $W$의 $S^i((\backslash mathbb\; R^*)^k)$ 성분에 $f$의 $p$에서의 $i$차 편도함수를 배치하여 정의된다.

3. 성질

$\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$의 차원은 다음과 같다.

:$\backslash dim\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)=n\backslash left(\backslash binom\{n+k\}k-1\backslash right)$

$n>0$이며 $k>0$일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

$n$차원 매끄러운 다양체의 $k$차 틀다발은 자연스럽게 $\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$를 구조군으로 갖는다.

3.1. 차원

$\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$의 차원은 다음과 같다.

:$\backslash dim\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)=n\backslash left(\backslash binom\{n+k\}k-1\backslash right)$

$n>0$이며 $k>0$일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

$n$차원 매끄러운 다양체의 $k$차 틀다발은 자연스럽게 $\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$를 구조군으로 갖는다.

3.2. 콤팩트성

$n>0$이며 $k>0$일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

3.3. 틀다발과의 관계

n차원 매끄러운 다양체의 k차 틀다발은 자연스럽게 $\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$를 구조군으로 갖는다. n>0이며 k>0일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

$\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$의 차원은 다음과 같다.

:$\backslash dim\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)=n\backslash left(\backslash binom\{n+k\}k-1\backslash right)$

3.4. 반직접곱

리 군 $G$와 자연수 $n$, $k$가 주어졌을 때, 제트 공간 $\backslash mathrm\; T\_n^kG=\backslash \{\backslash mathrm\; j\_0^kg\backslash colon\; g\backslash colon\backslash mathbb\; R^n\backslash to\; G\backslash \}$를 정의할 수 있다. 이 공간은 점별 곱셈에 대해 리 군을 이룬다. 즉, $(\backslash mathrm\; j\_0^kg)(\backslash mathrm\; j\_0^kg\text{'})=\backslash mathrm\; j\_0^k(gg\text{'})$이며, 여기서 $gg\text{'}\backslash colon\; x\backslash mapsto\; g(x)g\text{'}(x)$는 두 함수의 점별 곱셈이다.

제트 군 $\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)$는 $\backslash mathrm\; T\_n^kG$ 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.
:$(\backslash mathrm\; j\_0^kg)\backslash cdot(\backslash mathrm\; j\_0^kf)=\backslash mathrm\; j\_0^k(g\backslash circ\; f)\backslash qquad(f\backslash colon\backslash mathbb\; R^n\backslash to\backslash mathbb\; R^n,\backslash ;g\backslash colon\backslash mathbb\; R^n\backslash to\; G)$
이는 군 준동형 $\backslash operatorname\{Jet\}(n,k)^\{\backslash operatorname\{op\}\}\backslash to\backslash operatorname\{Aut\}(\backslash mathrm\; T\_n^kG)$을 이룬다. 따라서, 반직접곱 $\backslash mathrm\; T\_n^kG\backslash rtimes\; \backslash operatorname\{Jet\}(n,k)^\{\backslash operatorname\{op\}\}$을 정의할 수 있다.

4. 예

$k=0$이거나 $n=0$인 경우, 제트 군은 자명군이다.
:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,0)=\backslash operatorname\{Jet\}(0,k)=1\backslash qquad\backslash forall\; n,k\backslash in\backslash mathbb\; N$
$k=1$일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.
:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,1)=\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; R)\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N$

4.1. 자명군

$k=0$이거나 또는 $n=0$인 경우, 제트 군은 자명군이다.
:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,0)=\backslash operatorname\{Jet\}(0,k)=1\backslash qquad\backslash forall\; n,k\backslash in\backslash mathbb\; N$

4.2. 일반 선형군

$k=1$일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.
:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,1)=\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; R)\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N$

4.3. 카르노 군 (영어 위키 기반)

$k=0$이거나 $n=0$인 경우, 제트 군은 자명군이다.
:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,0)=\backslash operatorname\{Jet\}(0,k)=1\backslash qquad\backslash forall\; n,k\backslash in\backslash mathbb\; N$
$k=1$일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.
:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,1)=\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; R)\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N$
Jm(ℝn)에 군 구조를 부여하면 m+1차의 카르노 군이 된다.

4.4. 대수적 군 (영어 위키 기반)

$k=0$이거나 또는 $n=0$인 경우, 제트 군은 자명군이다.
:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,0)=\backslash operatorname\{Jet\}(0,k)=1\backslash qquad\backslash forall\; n,k\backslash in\backslash mathbb\; N$
$k=1$일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.
:$\backslash operatorname\{Jet\}(n,1)=\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; R)\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N$
함수 합성에 다항식 연산만 포함되므로 제트군은 대수적 군이다.