틀다발

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1. 개요

틀다발은 위상 공간 위에 정의된 벡터 다발의 틀들의 집합으로, 틀은 벡터 공간의 순서 기저 또는 선형 동형 사상으로 정의된다. 틀다발은 각 점에서의 틀들의 집합인 토르서의 서로소 합집합이며, 일반 선형군에 의해 작용한다. 틀다발은 일반적인 틀다발, 직교 틀다발, 특수 직교 틀다발, 복소수 틀다발, 유니터리 틀다발 등 다양한 종류가 있으며, 구조군의 축소를 통해 G-구조를 정의하는 데 사용된다. 틀다발은 연관 다발, 함자성, 접속 등과 관련되어 있으며, 다양체의 추가적인 구조를 결정하는 데 중요한 역할을 한다.

틀다발

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 틀
- 2.2. 틀다발
3. 성질
4. G-구조

2. 정의

$E \to X$ 를 위상 공간 $X$ 위에 정의된 랭크 $k$ 의 실수 벡터 다발이라고 하자. 점 $x \in X$ 에서의 틀은 벡터 공간 $E_x$ 의 순서 기저이다. 동등하게, 틀은 다음과 같은 선형 동형 사상으로 볼 수 있다.
: $p : \mathbf{R}^k \to E_x.$
$x$ 에서의 모든 틀의 집합은 $F_x$ 로 표기하며, 가역적인 $k \times k$ 행렬의 일반 선형군 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 에 의한 자연스러운 오른쪽 작용을 갖는다. 군 원소 $g \in \mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 는 합성을 통해 틀 $p$ 에 작용하여 새로운 틀을 생성한다.
: $p\circ g:\mathbf{R}^k\to E_x.$
$\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 의 $F_x$ 에 대한 이 작용은 자유 작용이면서 추이적 작용이다 (이는 하나의 기저를 다른 기저로 보내는 고유한 가역 선형 변환이 있다는 표준 선형 대수 결과로부터 따른다). 위상 공간으로서, $F_x$ 는 위상 동형이지만, "선호하는 틀"이 없기 때문에 군 구조가 없는 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 에 위상 동형이다. 공간 $F_x$ 는 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ -토르서라고 한다.

$E$ 의 틀 다발은 $F(E)$ 또는 $F_{\mathrm{GL}}(E)$ 로 표기하며, 모든 $F_x$ 의 서로소 합집합이다.
: $\mathrm F(E) = \coprod_{x\in X}F_x.$
$F(E)$ 의 각 점은 $X$ 의 점 $x$ 와 $x$ 에서의 틀 $p$ 의 쌍 (x, p)이다. 자연스러운 사영 $\pi: F(E)\to X$ 가 있는데, 이는 $(x,p)$ 를 $x$ 로 보낸다. $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 군은 위에서 언급한 바와 같이 $F(E)$ 에 오른쪽에서 작용한다. 이 작용은 명백히 자유 작용이며, 궤도는 $\pi$ 의 올이다.

2.1. 틀

실수 벡터 공간 $V$ 위의 $k$ 차 틀(frame^영어)은 특정 조건을 만족시키는 미분 동형 사상의 $k$ 차 제트이다. 이 때, 미분 동형 사상은 선형 변환일 필요는 없다. $k$ 차 틀들의 집합은 $\operatorname{Frame}_k(V)$ 로 표기하며, 그 위에는 $k$ 차 제트 군의 자연스러운 오른쪽 작용이 존재한다.

특히, 1차 틀은 단순히 전단사 실수 선형 변환이다.

2.2. 틀다발

위상 공간 $X$ 위의 $n$ 차원 벡터 다발 $\pi\colon E\twoheadrightarrow X$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 $x\in X$ 에 대하여 올 $E_x$ 는 실수 벡터 공간을 이룬다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.
: $\mathrm F^nE=\bigsqcup_{x\in X}\operatorname{Frame}_k(E_x)$
이 위에는 제트 군 $\operatorname{Jet}(n,k)=\operatorname{Frame}_k(\mathbb R^n)$ 의 오른쪽 작용이 다음과 같이 자연스럽게 존재한다.
: $\mathrm j^k_0f\cdot\mathrm j^k_0g=\mathrm j^k_0(f\circ g)\qquad\forall x\in X,\;f\in\operatorname{Frame}_k(E_x),\;g\in\operatorname{Jet}(n,k)$

이 위에는 다음과 같이 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 구체적으로, $E$ 의 국소 자명화 $(U_i,\phi_i)$ 는 부분 집합 $U_i\subseteq X$ 및 위상 동형
: $\phi_i\colon \pi^{-1}(U_i)\to U_i\times\mathbb R^k$
으로 구성된다. 이에 따라, 전단사 함수
: $\bigsqcup_{x\in U_i}\operatorname{Frame}_k(E_x)\to U_i\times\operatorname{Jet}(n,k)$
를 정의할 수 있으며, 이를 통해 $\textstyle\bigsqcup_{x\in U_i}\operatorname{Frame}_k(E_x)$ 에 위상을 부여할 수 있다. 이러한 위상들은 서로 호환되며, 이들을 짜깁기하여 $\mathrm F^nE$ 전체에 위상을 줄 수 있다.

그렇다면, 자연스러운 사영 함수
: $\mathrm F^nE\twoheadrightarrow X$
: $(\phi\in\in\operatorname{Frame}_k(E_x))\mapsto x$
는 $X$ 위의, 올 $\operatorname{Jet}(n,k)$ 의 올다발을 이룬다. 또한, $\operatorname{Jet}(n,k)$ 의 오른쪽 작용을 통하여 이는 $\operatorname{Jet}(n,k)$ -주다발을 이룬다. 이를 $E$ 의 $k$ 차 틀다발( $k$ 次-, $k$ th-order frame bundle^영어)이라고 한다.

흔히, 만약 $k$ 가 생략되었다면 1차 틀다발 $\mathrm FE=\mathrm F^1E$ 를 뜻한다.

2.2.1. 일반적인 틀다발

벡터 다발의 각 점에서 정의된 모든 틀(frame)의 집합은 일반 선형군을 구조군으로 갖는다.

$E \to X$ 를 위상 공간 $X$ 위에 정의된 랭크 $k$ 의 실수 벡터 다발이라고 하자. 점 $x \in X$ 에서의 틀은 벡터 공간 $E_x$ 의 순서 기저이다. 동등하게, 틀은 다음과 같은 선형 동형 사상으로 볼 수 있다.
: $p : \mathbf{R}^k \to E_x.$
$x$ 에서의 모든 틀의 집합은 $F_x$ 로 표기하며, 가역적인 $k \times k$ 행렬의 일반 선형군 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 에 의한 자연스러운 오른쪽 작용을 갖는다. 군 원소 $g \in \mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 는 합성을 통해 틀 $p$ 에 작용하여 새로운 틀을 생성한다.
: $p\circ g:\mathbf{R}^k\to E_x.$
$\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 의 $F_x$ 에 대한 이 작용은 자유 작용이면서 추이적 작용이다 (이는 하나의 기저를 다른 기저로 보내는 고유한 가역 선형 변환이 있다는 표준 선형 대수 결과로부터 따른다). 위상 공간으로서, $F_x$ 는 위상 동형이지만, "선호하는 틀"이 없기 때문에 군 구조가 없는 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 에 위상 동형이다. 공간 $F_x$ 는 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ -토르서라고 한다.

$E$ 의 틀 다발은 $F(E)$ 또는 $F_{\mathrm{GL}}(E)$ 로 표기하며, 모든 $F_x$ 의 서로소 합집합이다.
: $\mathrm F(E) = \coprod_{x\in X}F_x.$
$F(E)$ 의 각 점은 $X$ 의 점 $x$ 와 $x$ 에서의 틀 $p$ 의 쌍 (x, p)이다. 자연스러운 사영 $\pi: F(E)\to X$ 가 있는데, 이는 $(x,p)$ 를 $x$ 로 보낸다. $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 군은 위에서 언급한 바와 같이 $F(E)$ 에 오른쪽에서 작용한다. 이 작용은 명백히 자유 작용이며, 궤도는 $\pi$ 의 올이다.

2.2.2. 직교 틀다발

다양체 $M$ 위의 $k$ 차원 벡터 다발 $\pi\colon E\twoheadrightarrow X$ 에 부호수 $(p,q)$ ( $p+q=k$ )의 내적 $g$ 가 주어졌다고 하자. 즉, $g$ 는 단면 $g\in\Gamma(\operatorname{Sym}^2E^*)$ 이며, 임의의 $x\in M$ 에 대하여 $g_x$ 는 $E_x$ 위의 부호수 $(p,q)$ 의 비퇴화 이차 형식을 이룬다.

이러한 상황에서 다음과 같은 집합을 정의할 수 있다.
: $\mathrm F_{\operatorname o}E=\bigsqcup_{x\in X}\operatorname{Hilb}(\mathbb R^{(p,q)};E_x,g_x)$

여기서 사용된 표기법은 다음과 같다:

* $\mathbb R^{p,q}$ : 부호수 $(p,q)$ 의 민코프스키 공간이다. 즉, 실수 벡터 공간 $\mathbb R^k$ 위에 이차 형식 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_k^2$ 을 부여한 공간이다.
* $\operatorname{Hilb}(-;-)$ : 유니터리 변환(즉, 이차 형식을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다.

이 집합에는 직교군 $\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)$ 의 오른쪽 작용이 자연스럽게 존재하며, 위상을 부여하여 $\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)$ -주다발로 만들 수 있다. 이를 직교 틀다발(直交-, orthogonal frame bundle^영어)이라고 한다.

만약 적절한 가향성 가정이 있다면, $\operatorname O(p,q)$ 대신 특수 직교군 $\operatorname{SO}(p,q)$ 를 사용하여, $\operatorname{SO}(p,q)$ -주다발인 특수 직교 틀다발(特殊直交-, special orthogonal frame bundle^영어) $\mathrm F_{\operatorname{SO}}E$ 을 정의할 수도 있다.

리만 다발 계량이 주어진 벡터 다발 $E$ 에서, 각 올다발 $E_x$ 는 내적 공간이 된다. 따라서 $E_x$ 의 모든 정규 직교 기저들의 집합(정규 직교 프레임)을 생각할 수 있다. 이는 선형 등거리 변환 $p:\mathbb{R}^k \to E_x$ (여기서 $\mathbb{R}^k$ 는 표준 유클리드 계량을 갖는다)으로 표현할 수 있다. 직교군 $\mathrm{O}(k)$ 는 오른쪽 합성을 통해 이 정규 직교 프레임들의 집합에 자유롭고 추이적으로 작용하며, 따라서 이 집합은 오른쪽 $\mathrm{O}(k)$ -토르가 된다.

$E$ 의 정규 직교 프레임 다발( $F_{\mathrm{O}}(E)$ )은 기저 공간 $X$ 의 각 점 $x$ 에서 모든 정규 직교 프레임들의 집합이다. 이는 $X$ 위의 주 $\mathrm{O}(k)$ ''-다발이다.

벡터 다발 $E$ 가 가향 가능하면, 모든 양의 방향을 갖는 정규 직교 프레임의 주 $\mathrm{SO}(k)$ -다발인 방향을 갖는 정규 직교 프레임 다발( $F_{\mathrm{SO}}(E)$ )을 정의할 수 있다.

$n$ 차원 리만 다양체 $M$ 의 경우, 정규 직교 프레임 다발은 $F_{\mathrm{O}}(M)$ 또는 $\mathrm{O} (M)$ 으로 표기하며, 이는 $M$ 의 접다발과 관련된 정규 직교 프레임 다발이다. $M$ 이 가향 가능하면, 방향을 갖는 정규 직교 프레임 다발 $F_{\mathrm{SO}}M$ 도 존재한다.

리만 벡터 다발 $E$ 의 정규 직교 프레임 다발은 일반 선형 프레임 다발의 주 $\mathrm{O}(k)$ -부분 다발이다. 즉, 포함 사상 $i:{\mathrm F}_{\mathrm O}(E) \to {\mathrm F}_{\mathrm{GL}}(E)$ 은 주 다발 사상이며, $F_{\mathrm{O}}(E)$ 는 $F_{\mathrm{GL}}(E)$ 의 구조군의 축소 ( $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 에서 $\mathrm{O}(k)$ 로의 축소)이다.

2.2.3. 특수 직교 틀다발

벡터 다발에 가향성이 주어져 있을 때, 양의 방향을 갖는 정규 직교 틀의 집합을 생각할 수 있다. 이는 특수 직교군 $\operatorname{SO}(p,q)$ 를 구조군으로 갖는 주다발을 이루며, 이를 특수 직교 틀다발(special orthogonal frame bundle^영어) $\operatorname F_{\operatorname{SO}}E$ 이라고 한다.

2.2.4. 복소수 틀다발

위와 마찬가지로, 복소구조가 주어진 2n차원 벡터 다발 E의 경우, 복소수 틀다발(complex frame bundle^영어) F_ℂE을 정의할 수 있다. 이는 올이 복소수 일반 선형군 GL(n;ℂ)인 주다발이다.

또한, 추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 마찬가지로 유니터리 틀다발(unitary frame bundle^영어) F_UE을 정의할 수 있으며, 그 올은 U(n)이다.

2.2.5. 유니터리 틀다발

마찬가지로, 복소구조가 주어진 2n차원 벡터 다발 E의 경우, 복소수 틀다발(complex frame bundle^영어)을 정의할 수 있다. 이는 올이 복소수 일반 선형군인 주다발이다.

추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 유니터리 틀다발(unitary frame bundle^영어)을 정의할 수 있으며, 그 올은 U(n)이다.

3. 성질

3.1. 포함 관계

부호수 $(p,q)$ 의 내적이 주어진 벡터 다발 $E$ 를 생각하자. 군의 포함 관계 $\operatorname O(p,q;\mathbb R)\subseteq\operatorname{GL}(p+q;\mathbb R)$ 에 따라, 자연스러운 포함 관계 $\mathrm F_{\operatorname O}E\subseteq \mathrm FE$ 가 존재한다.

3.2. 연관 다발과의 관계

다양체 $M$ 의 접다발 $\mathrm TM$ 의 틀다발 $\mathrm{FT}M$ 을 생각할 때, 이 주다발에 $\operatorname{GL}(k;\mathbb R)$ 의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 $\mathrm TM$ 이다. 즉, 틀다발과 연관 다발은 서로 일종의 역 관계를 이룬다.

마찬가지로, $(p,q)$ 차원 일반화 리만 다양체 $(M,g)$ 의 직교 틀다발 $\mathrm F_{\operatorname O}\mathrm TM$ 의 경우, 이 주다발에 $\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)$ 의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 $\mathrm TM$ 이 된다.

벡터 다발 $E$ 와 그 프레임 다발 $F(E)$ 는 연관 다발이며, 각 다발은 다른 다발을 결정한다. 프레임 다발 $F(E)$ 는 $E$ 로부터 구성될 수 있으며, 섬유 다발 구성 정리를 사용하여 구성될 수도 있다.

어떤 선형 표현 $\rho: \mathrm{GL}(k,\mathbb{R}) \to \mathrm{GL}(V,\mathbb{F})$ 가 주어지면, 벡터 다발 $\mathrm F(E)\times_{\rho}V$ 가 존재한다. 이는 $F(E)$ 와 연관되어 있으며, $F(E) \times V$ 의 곱에 대한 동치 관계 $(pg,v) \sim (p, \rho(g)v)$ 를 적용하여 얻는다.

벡터 다발 $E$ 는 번들 $F(E) \times_\rho \mathbb{R}^k$ 와 자연 동형이며, 여기서 $\rho$ 는 $\mathbb{R}^k$ ' 상의 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 의 기본 표현이다. $E$ 와 연관된 임의의 벡터 다발은 위의 구성을 통해 얻을 수 있다. 예를 들어, $E$ 의 쌍대 다발은 $F(E) \times_{\rho^*} (\mathbb{R}^k)^*$ 로 주어지며, 여기서 $\rho^*$ 는 기본 표현의 쌍대 표현이다. $E$ 의 텐서 다발도 유사한 방식으로 구성할 수 있다.

3.3. 함자성

국소 미분 동형 사상 $\phi\colon M\to N$ 이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 매끄러운 주다발 사상이 존재한다.
: $\mathrm F^k\phi\colon\mathrm F^kM\to\mathrm F^kN$
: $\mathrm F^k\phi\colon (x,\mathrm j^k_0f)\to\left(\phi(x),\mathrm j^k_0(\mathrm T_x\phi\circ f)\right)\qquad(x\in M,\;f\colon\mathbb R^{\dim M}\to\mathrm T_xM)$
이에 따라, $\mathrm F^k$ 는 $n$ 차원 매끄러운 다양체와 국소 미분 동형 사상들의 범주에서, $\operatorname{Jet}(n,k)$ -매끄러운 주다발을 갖춘 $n$ 차원 매끄러운 다양체와 매끄러운 주다발 사상들의 범주로 가는 함자를 이룬다.

3.4. 접속

일반화 리만 다양체 $(M,g)$ 의 직교 틀다발 $\mathrm F_{\operatorname O}\mathrm TM$ 에 주접속 $\omega$ 가 주어졌다고 하자. 군 표현 $\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)\to\mathrm T_xM\otimes\mathrm T_x^*M$ 으로부터 선형 사상 $\kappa\colon\mathfrak o(p,q;\mathbb R)\otimes\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)\to\Gamma(\mathrm TM\otimes\mathrm T^*M)$ 을 정의할 수 있다. 이에 따라, 틀다발의 주접속 $\omega$ 로부터 접다발의 코쥘 접속 $\nabla\colon\Gamma(\mathrm TM)\to\Gamma(\mathrm TM\otimes\mathrm T^*M)$ 을 $\kappa(\omega(X))=\nabla X$ 와 같이 정의할 수 있다. 이렇게 정의한 접다발의 코쥘 접속의 리만 곡률은 틀다발의 주접속의 곡률과 같은 정보를 담고 있으며, 이 둘은 $\kappa$ 등으로 변환 가능하다.

반대로, 일반화 리만 다양체의 접다발에는 크리스토펠 기호 레비치비타 접속이 이미 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 주접속을 정의할 수 있는데, 이를 스핀 접속이라고 한다.

4. G-구조

틀다발의 구조군의 축소는 다양체 위에 추가적인 구조(G-구조)를 정의하는 것과 동등하다. 예를 들어, 리만 다양체는 구조군이 직교군 O(n)으로 축소된 틀다발, 즉 정규 직교 틀다발을 갖는다.

일반적으로, M이 매끄러운 n-다양체이고 G가 GL(n,R)의 리 군의 부분군일 때, M상의 G-구조는 F_GL(M)의 구조군을 G로 축소한 것이다.

이러한 관점에서, M 위의 리만 메트릭은 M에 대한 O(n)-구조를 만든다. 가향 다양체는 M에 대한 GL⁺(n,R)-구조인 가향 프레임 다발을 가진다. M 위의 부피 형식은 M에 대한 SL(n,R)-구조를 결정한다. 2n-차원 심플렉틱 다양체는 자연스러운 Sp(2n,R)-구조를 가진다. 2n-차원 복소 다양체 또는 almost 복소 다양체는 자연스러운 GL(n,C)-구조를 가진다.

많은 경우에, M상의 G-구조는 M에 해당 구조를 고유하게 결정한다. 예를 들어, M에 대한 SL(n,R)-구조는 M에 대한 부피 형식을 결정한다. 그러나 심플렉틱 및 복소 다양체와 같이 일부 경우에서는 추가적인 적분 가능 조건이 필요하다. M에 대한 Sp(2n,R)-구조는 M에 대한 비퇴화 2-형식을 고유하게 결정하지만, M이 심플렉틱이 되려면 이 2-형식은 또한 닫힌 미분 형식이어야 한다.