준열린집합

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1. 개요

준열린집합은 위상 공간 X의 부분 집합 A에 대해, A와 열린집합 U의 대칭차집합이 제1 범주 집합이 되는 열린집합 U가 존재할 때를 의미하며, 베어 성질 또는 베어 속성을 갖는다고도 한다. 준열린집합들은 시그마 대수를 이루며, 열린집합, 닫힌집합, 보렐 집합 등은 모두 준열린집합이다. 폴란드 공간의 부분 집합이 베어 성질을 가지면 바나흐-마주르 게임은 결정성을 갖는다. 르네루이 베르가 1905년에 준열린집합을 도입했다.

준열린집합

개요

정의	어떤 열린 집합에서 미거 집합(meager set)을 뺀 집합
영어 명칭	Set with the property of Baire
일본어 명칭	ベールの性質を持つ集合

상세 내용

성질	집합 A가 베르의 성질을 가질 필요충분조건은 A와 어떤 열린 집합 U의 대칭차집합 A △ U가 제1종 집합인 것이다. 집합족이 충분 점족(adequate pointclass)이고, 그 여집합이 결정적(determined)이면, 그 집합족의 모든 집합은 베르의 성질을 갖는다. 초필터의 존재성은 베르의 성질을 갖지 않는 집합의 존재성을 함축한다.

관련 항목	준열린집합(almost open set) 미거 집합(meager set)

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $A \subseteq X$ 에 대하여, $A \bigtriangleup U$ 가 제1 범주 집합이 되는 열린집합 $U\subseteq X$ 가 존재하면 $A$ 를 준열린집합이라고 하며, 베어 성질 또는 베어 속성을 갖는다고 한다. 여기서 $\bigtriangleup$ 는 대칭차집합을 나타낸다.

$X$ 속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자.

* $\operatorname{Meag}(X)=\{S\subseteq X\colon\operatorname{int}(\operatorname{cl}(X))=\varnothing\}$ : 제1 범주 집합들의 족
* $\boldsymbol\Sigma^0_1(X)$ : 열린집합들의 족
* $\boldsymbol\Pi^0_1(X)$ : 닫힌집합들의 족
* $\boldsymbol\Sigma^0_2(X)$ : F_σ 집합들의 족
* $\boldsymbol\Pi^0_2(X)$ : G_δ 집합들의 족
* $\boldsymbol\Delta^1_1(X)$ : 보렐 집합들의 족

또한, $\operatorname\sigma(\mathcal F)$ 가 집합족 $\mathcal F$ 를 포함하는 최소의 시그마 대수라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를 $\operatorname{BP}(X)$ 라고 표기한다.

: $\begin{aligned}\operatorname{BP}(X)&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\right)\\&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_1(X)\right)\\&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Delta^1_1(X)\right)\\&=\left\{S\subseteq X\colon\exists U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}U\in\operatorname{Meag}(X)\right\}\\&=\left\{S\subseteq X\colon\exists F\in\boldsymbol\Pi^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}F\in\operatorname{Meag}(X)\right\}\\&=\{A\setminus M\colon A\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\}\\&=\{A\cup M\colon A\in\boldsymbol\Pi^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\}\\\end{aligned}$

$\operatorname{BP}(X)$ 의 원소가 $X$ 의 준열린집합이다.

3. 성질

위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

위상 공간

X

위의 준열린집합들은 시그마 대수를 이룬다. 즉,
* 준열린집합의 여집합은 준열린집합이다.
* 가산 개의 준열린집합들의 합집합은 준열린집합이다.
* 가산 개의 준열린집합들의 교집합은 준열린집합이다.
모든 열린집합과 닫힌집합을 비롯한 모든 보렐 집합은 준열린집합이다. 만약 사영 결정 공리를 가정한다면, 모든 사영 집합은 준열린집합이다.

폴란드 공간의 부분 집합이 베어 성질을 가지면, 해당 바나흐-마주르 게임은 결정성을 갖는다. 선택 공리로부터 베어 성질이 없는 실수의 집합이 존재한다. 특히, 비탈리 집합은 베어 성질을 갖지 않는다.

4. 예

선택 공리를 가정하면, 실수선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 준열린집합이 아니다.

5. 역사

르네루이 베르가 1905년에 준열린집합을 도입하였다.

준열린집합

1. 개요

2. 정의

3. 성질

4. 예

5. 역사

6. 제한된 의미에서 베어 성질