보렐 집합

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1. 개요

보렐 집합은 위상 공간의 열린 집합으로부터 가산 번의 가산 합집합, 가산 교집합, 차집합 연산을 통해 얻을 수 있는 집합이다. 보렐 집합은 보렐 시그마 대수의 원소이며, 보렐 시그마 대수는 열린 집합들을 포함하는 최소의 시그마 대수이다. 보렐 집합은 보렐 위계에 따라 복잡도에 따라 분류되며, 폴란드 공간에서 보렐 집합의 수는 연속체 농도를 갖는다. 보렐 집합은 가산 합집합, 가산 교집합, 여집합 연산에 대해 닫혀 있으며, 연속 함수에 대한 원상은 보렐 집합이다. 보렐 집합의 개념은 1905년 에밀 보렐에 의해 도입되었다.

보렐 집합

수학적 집합

유형	집합
분야	실해석학, 측도론
명명 유래	에밀 보렐

정의

정의	위상 공간 X 의 보렐 대수 B는 X 의 모든 열린 집합을 포함하는 X 의 부분 집합의 σ-대수이다.
성질	보렐 집합은 측정 가능하고 "잘 정의된" 집합으로 간주된다. 보렐 계층 구조를 사용하여 복잡성을 연구할 수 있다. 보렐 집합은 확률론, 통계학, 푸리에 해석에서 중요한 역할을 한다.

예시

실수 집합	실수 집합 R의 보렐 대수는 R의 열린 구간을 포함하는 가장 작은 σ-대수이다.
보렐 함수	보렐 함수는 보렐 집합을 보렐 집합으로 매핑하는 함수이다.

추가 정보

관련 항목	르베그 측정, 보렐 계층

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 보렐 위계
3. 성질
- 3.1. 연산에 대한 닫힘
- 3.2. 베르 범주와의 관계
4. 예시
- 4.1. 보렐 집합이 아닌 집합
5. 표준 보렐 공간과 쿠라토프스키 정리
6. 역사

2. 정의

위상 공간 $(X, \mathcal U)$ 의 보렐 시그마 대수(Borel σ 代數, Borel sigma-algebra^영어) $\mathcal B(X)$ 또는 $\boldsymbol\Delta_1^1(X)$ 는 열린집합들의 집합 $\mathcal U$ 를 포함하는 최소의 시그마 대수이다. $X$ 의 보렐 집합은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다.

보렐 측도(Borel 測度, Borel measure^영어)는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다. 위상 공간 $X$ 의 보렐 가측 공간(Borel measurable space^영어)은 보렐 시그마 대수를 갖춘 가측 공간이다.

거리 공간 X의 경우 보렐 대수는 열린 집합에서 시작하여 특정 연산을 반복하여 생성될 수 있다. 이는 최초의 비가산 서수인 G^ω₁까지 반복하여 얻을 수 있다.

2.1. 보렐 위계

거리화 가능 공간 $(X,\mathcal U)$ 에서, 보렐 시그마 대수 $\boldsymbol\Delta^1_1(X)$ 는 초한 귀납법을 사용하여 정의할 수 있다.

임의의 순서수 $\alpha>0$ 에 대하여, 보렐 위계는 다음과 같이 정의된다.
* $\boldsymbol\Sigma^0_1(X)=\mathcal U$ (모든 열린집합들의 집합)
* $\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)=\{X\setminus S\colon S\in\boldsymbol\Sigma^0_\alpha\}$
* $\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)=\left\{\bigcup_{i\in\mathbb N}X_i\colon\forall i\in\mathbb N(X_i\in\boldsymbol\Pi^0_{\alpha_i}\land\alpha_i<\alpha)\right\}\qquad(\alpha>1)$
* $\boldsymbol\Delta^0_\alpha(X)=\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)\cap\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)$

여기서,
* $\bigcup_{\alpha<\omega_1}\boldsymbol\Sigma^0_\alpha=\bigcup_{\alpha<\omega_1}\boldsymbol\Pi^0_\alpha=\bigcup_{\alpha<\omega_1}\boldsymbol\Delta^0_\alpha=\boldsymbol\Delta^1_1(X)$
* 임의의 순서수 $\alpha>0$ 에 대하여, $\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)\subseteq\boldsymbol\Delta^0_{\alpha+1}(X)$

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
: $\begin{matrix}&&\boldsymbol\Sigma^0_1&&&&\boldsymbol\Sigma^0_2&&&\cdots\\&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow\\\boldsymbol\Delta^0_1&&&&\boldsymbol\Delta^0_2&&&&\boldsymbol\Delta^0_3&\cdots\\&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\&&\boldsymbol\Pi^0_1&&&&\boldsymbol\Pi^0_2&&&\cdots\end{matrix}$
여기서 $A\to B$ 는 $A\subseteq B$ 를 의미한다.

보렐 위계의 일부 단계의 원소들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

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좌우로 밀어서 보기

보렐 위계의 단계	이름
$\boldsymbol\Delta^0_1$	열린닫힌집합들의 집합
$\boldsymbol\Sigma^0_1$	열린집합들의 집합
$\boldsymbol\Pi^0_1$	닫힌집합들의 집합
$\boldsymbol\Sigma^0_2$	F_σ 집합(F_σ set^영어)들의 집합
$\boldsymbol\Pi^0_2$	G_δ 집합(G_δ set^영어)들의 집합

거리 공간 X에서 보렐 대수는 열린 집합에서 시작하여 연산을 반복하여 생성될 수 있다. 거리 공간의 임의의 열린 집합은 닫힌 집합의 증가하는 수열의 합집합이다.

각 보렐 집합 B에 대해, B는 특정 연산을 α_B번 반복하여 얻어지는 가산 서수 α_B가 존재한다. 그러나 B가 모든 보렐 집합에 걸쳐 변함에 따라, α_B는 모든 가산 서수에 걸쳐 변한다. 따라서 모든 보렐 집합이 얻어지는 첫 번째 서수는 최초의 비가산 서수인 ω₁이다.

이러한 집합의 수열을 보렐 위계라고 한다.

3. 성질

두 위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 는 가측 함수이다. 즉, 보렐 집합 $S\subseteq Y$ 의 원상 $f^{-1}(S)\subseteq X$ 은 보렐 집합이다. 그러나 보렐 집합의 연속 함수에 대한 상은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 $X$ 와 $Y$ 가 폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석적 집합이다.

폴란드 공간 $X$ 의 보렐 집합의 수는 다음과 같다.
: $|\boldsymbol\Delta^1_1(X)|=2^{\min\{|X|,\aleph_0\}}$
이는 보렐 시그마 대수의 초한 귀납법 작도를 생각했을 때, $|\boldsymbol\Sigma^0_1(\mathbb R)|=2^{\aleph_0}$ 이며, 초한 귀납법의 각 단계에서 집합의 크기는 $2^{\aleph_0}$ 을 초과하지 않기 때문이다.

반면, 실수의 르베그 가측 집합의 수는
: $|\mathcal L(\mathbb R)|=2^{2^{\aleph_0}}$
이다. 이는 크기가 $2^{\aleph_0}$ 이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분 집합은 르베그 가측 집합이기 때문이다.

루진-노비코프 분리 정리에 따르면, 임의의 폴란드 공간 $X$ 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 $\{A_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Sigma^1_1(X)$ , $|I|\le\aleph_0$ 에 대하여, 만약 $\textstyle\bigcap_{i\in I}A_i=\varnothing$ 이라면, $\forall i\in I\colon B_i\supseteq A_i$ 이자 $\textstyle\bigcap_{i\in I}B_i=\varnothing$ 인 보렐 집합들의 집합족 $\{B_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Delta^1_1(X)$ 이 존재한다.

3.1. 연산에 대한 닫힘

보렐 시그마 대수는 가산 합집합, 가산 교집합, 여집합 연산에 대해 닫혀있다. 또한, 두 위상 공간 사이의 보렐 가측 함수에 대한 원상은 보렐 집합이다.

이러한 성질은 다음 표와 같이 요약할 수 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

\| 유한 교집합에 대해 닫힘 \|\| 가산 교집합에 대해 닫힘 \|\| 유한 합집합에 대해 닫힘 \|\| 가산 합집합에 대해 닫힘 \|\| 여집합에 대해 닫힘 \|\| 보렐 가측 함수에 대한 원상
$\boldsymbol\Delta^1_1$	⭕	⭕	⭕	⭕	⭕	⭕

3.2. 베르 범주와의 관계

임의의 위상 공간 $X$ 의 임의의 제1 범주 집합 $M\subseteq X$ 에 대하여, $M\subseteq\tilde M\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X)$ 인 제1 범주 집합 $\tilde M$ 이 존재한다.

준열린집합들의 집합족 $\operatorname{BP}(X)$ 은 열린집합과 제1 범주 집합을 포함하는 최소의 시그마 대수이므로, 모든 보렐 집합은 준열린집합이다.
: $\boldsymbol\Delta^1_1(X)\subseteq\operatorname{BP}(X)$

4. 예시

수학에서 다루는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 예를 들어, 실수 집합 $\mathbb R$ 의 다음과 같은 부분 집합들은 보렐 집합에 속한다.

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좌우로 밀어서 보기

집합	설명
$\varnothing$	공집합
$\mathbb R$	실수 전체 집합
$\mathbb R^+$	양의 실수 집합
$\mathbb R_{\ge0}$	음이 아닌 실수 집합
$\mathbb Z$	정수 집합
$\mathbb Q$	유리수 집합
$\mathbb R\setminus\mathbb Q$	무리수 집합

거리화 가능 공간에서는 모든 열린집합이 F_σ 집합이다. 그러나 일반적인 위상 공간에서는 열린집합이 F_σ 집합이 아닐 수도 있다. 예를 들어, 최소 비가산 순서수

\omega_1

에 순서 위상을 부여한 위상 공간에서,

\omega_1

의 고립점들의 집합

U

는 열린집합이며 비가산 집합이지만, F_σ 집합은 아니다.

확률론에서 중요한 예로, 실수 집합 위에 보렐 측도가 정의되는 보렐 대수가 있다. 확률 공간에서 정의된 실수 값 확률 변수의 확률 분포는 보렐 대수 위의 측도가 된다. 실수 집합 위의 보렐 대수는 모든 구간을 포함하는 가장 작은 σ-대수이다.

보렐 집합의 총 개수는 연속체의 기수와 같다.

4.1. 보렐 집합이 아닌 집합

무리수 가운데 다음 조건을 만족하는 집합 $A$ 를 생각해 보자.

* $a\in A$ 의 연분수 표현
: $a = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}$
에서, $a_{k_i}\mid a_{k_{i+1}}$ 인 부분 수열 $a_{k_0},a_{k_1},\ldots$ 이 존재한다.

이때, $A$ 는 보렐 집합이 아닌 해석적 집합이다. 니콜라이 루진이 이러한 집합이 보렐 집합이 아님을 밝혔다. 더 자세한 내용은 기술 집합론과 A. S. 케크리스의 책을 참조할 수 있다.

또 다른 비보렐 집합의 예시는 무한 패리티 함수 $f\colon \{0, 1\}^{\omega} \to \{0, 1\}$ 의 역상 $f^{-1}[0]$ 이다. 하지만 이 예시는 선택 공리를 통해 존재성이 증명되므로, 명시적인 예는 아니다.

5. 표준 보렐 공간과 쿠라토프스키 정리

폴란드 공간에 연관된 보렐 공간을 표준 보렐 공간이라고 한다. 표준 보렐 공간은 그 기수에 따라 동형을 제외하고 유일하게 결정되는데, 모든 비가산 표준 보렐 공간은 연속체 기수를 갖는다.

쿠라토프스키 정리에 따르면, 폴란드 공간 $X$는 보렐 공간으로서 다음 중 하나와 동형이다.

# 실수선 (R)
# Z
# 유한 공간

이 결과는 마할람 정리와 유사하다.

6. 역사

보렐 집합의 개념은 에밀 보렐이 1905년에 도입하였다.

"F_σ 집합"이라는 용어에서 F는 fermé^프랑스어(닫힌집합)의 머리글자이며, σ는 somme^프랑스어(합집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다. 마찬가지로, "G_δ 집합"이라는 용어에서 G는 Gebiet^독일어(근방)의 머리글자이며, δ는 Durschnitt^독일어(교집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.