제1 범주 집합

3. 성질

모든 비어있지 않은 베어 공간은 비희소 집합이다. 특히, 베어 범주 정리에 의해 모든 비어있지 않은 완비 거리 공간과 모든 비어있지 않은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 비희소 집합이다.^[8] 완비 거리 공간과 하우스도르프 국소 콤팩트 공간은 베어 공간이므로 비희소 집합이기도 하다.^[8] (베어 공간이 아닌 비희소 공간도 존재한다.)

희소 집합의 모든 부분 집합은 희소 집합이며, 가산 개의 희소 집합의 합집합도 희소 집합이다.^[9] 만약 $h\; :\; X\; \backslash to\; X$가 위상 동형 사상이라면, 부분 집합 $S\; \backslash subseteq\; X$가 희소 집합일 필요충분 조건은 $h(S)$가 희소 집합인 것이다.^[9]

모든 nowhere dense 집합은 희소 집합이다.^[9] 결과적으로, 내부가 $X$에서 비어있는 $X$의 모든 닫힌 부분 집합은 $X$의 제1 범주 (즉, $X$의 희소 부분 집합)에 속한다. 바나흐 범주 정리는 모든 공간 $X$에서, 제1 범주의 열린 집합들의 모든 집합의 합집합은 제1 범주에 속한다고 명시한다.^[10]

고정된 공간의 희소 부분 집합은 부분 집합의 σ-아이디얼을 형성하며, 이는 무시 가능한 집합의 적절한 개념이다. 쌍대적으로, 모든 상위 집합과 모든 가산 교집합의 비희소 집합은 비희소 집합이다. 비희소 집합의 모든 상위 집합은 비희소 집합이다.

$A\; \backslash subseteq\; Y\; \backslash subseteq\; X,$이고 $Y$는 $X$에서 유도된 부분 공간 위상을 갖는다고 가정하자. 집합 $A$는 $X$에서 희소 집합일 수 있지만, $Y$에서는 희소 집합이 아닐 수 있다. 그러나 다음 결과가 성립한다.^[11]

• 만약 $A$가 $Y$에서 희소 집합이라면, $A$는 $X$에서 희소 집합이다.
• 만약 $Y$가 $X$에서 열린 집합이라면, $A$가 $Y$에서 희소 집합일 필요충분 조건은 $A$가 $X$에서 희소 집합인 것이다.
• 만약 $Y$가 $X$에서 조밀하다면, $A$가 $Y$에서 희소 집합일 필요충분 조건은 $A$가 $X$에서 희소 집합인 것이다.

• 만약 $A$가 $X$에서 비희소 집합이라면, $A$는 $Y$에서 비희소 집합이다.
• 만약 $Y$가 $X$에서 열린 집합이라면, $A$가 $Y$에서 비희소 집합일 필요충분 조건은 $A$가 $X$에서 비희소 집합인 것이다.
• 만약 $Y$가 $X$에서 조밀하다면, $A$가 $Y$에서 비희소 집합일 필요충분 조건은 $A$가 $X$에서 비희소 집합인 것이다.

3. 1. 함의 관계

3. 2. 연산에 대한 닫힘

즉, 조밀한 곳이 없는 집합들은 순서 아이디얼을 이루며, 제1 범주 집합들은 시그마 아이디얼을 이룬다.

3. 3. 측도와 제1 범주성의 관계

• 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$ 및 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여, 인, 르베그 가측 조밀한 곳이 없는 열린집합 $U\_\backslash epsilon\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$가 존재한다. (여기서 $\backslash operatorname\{vol\}$은 르베그 측도이다.)
• $\backslash mathbb\; R^n\backslash setminus\; X$가 르베그 영집합인 G_δ 제1 범주 집합 $X\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$가 존재한다.

• 대합이다. 즉, 임의의 $r\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여 $f(f(r))=r$이다.
• 임의의 부분 집합 $A\backslash subseteq\; R$에 대하여, $A$가 제1 범주 집합일 필요충분조건은 $f(A)$가 르베그 영집합인 것이다.

• $S\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$에 대하여, $S$가 르베그 가측 집합일 필요충분조건은 $f(S)$가 준열린집합인 것이다.
• $S\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$에 대하여, $S$가 르베그 영집합일 필요충분조건은 $f(S)$가 제1 범주 집합인 것이다.

3. 4. 보렐 위계와의 관계

• 조밀한 곳이 없는 집합의 폐포는 조밀한 곳이 없는 집합이다.
• 임의의 위상 공간 $X$의 임의의 제1 범주 집합 $M\backslash subseteq\; X$에 대하여, $M\backslash subseteq\backslash tilde\; M\backslash in\backslash boldsymbol\backslash Sigma^0\_2(X)$인 제1 범주 집합 $\backslash tilde\; M$이 존재한다. 여기서 $\backslash boldsymbol\backslash Sigma^0\_2(X)$는 F_σ 집합들의 족이다.
• '''증명:'''
• 정의에 따라, $M$은 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합 $\backslash \{M\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; N\}$들의 합집합으로 나타낼 수 있다.
• :$M=\backslash bigcup\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; N\}M\_i$
• 조밀한 곳이 없는 집합의 폐포는 (자명하게) 조밀한 곳이 없는 집합이므로,
• :$\backslash tilde\; M=\backslash bigcup\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash operatorname\{cl\}(M\_i)$
• 로 놓으면 자명하게 $M\backslash in\backslash tilde\; M\backslash in\backslash boldsymbol\backslash Sigma^0\_2(X)$이다.
• 제1 범주 집합(meager set)은 $F\_\{\backslash sigma\}$ 집합 (닫힌 집합의 가산 합집합)일 필요는 없지만, 항상 어느 곳에서도 조밀하지 않은 집합으로 만들어진 $F\_\{\backslash sigma\}$ 집합에 포함된다(각 집합의 폐포를 취함으로써).

4. 예

• 실수선에서 유리수 집합은 제1 범주 집합이다.^[1]
• 실수선에서 칸토어 집합은 제1 범주 집합이다.^[1]
• 베르 공간 $\backslash mathbb\; N^\{\backslash aleph\_0\}$의 모든 콤팩트 집합은 조밀한 곳이 없는 집합이다.^[17]
• 균등 수렴 위상을 갖는 연속 함수 공간에서, 어떤 점에서도 미분 가능하지 않은 함수들의 집합은 제2 범주 집합이다.^[4]

5. 역사

르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 제1 범주 집합의 개념을 도입하였다.^[23][24]

에르되시-시에르핀스키 정리는 1934년에 바츠와프 시에르핀스키가 대합 조건을 제외하고 증명하였으며,^[25] 이후 1943년에 에르되시 팔이 대합 조건을 추가하여 증명하였다.^[21] 슈필라인 불가능성 정리는 1934년에 에드바르트 마르체프스키(Edward Marczewski^pl|에드바르트 마르체프스키}}, 1907~1976)가 증명하였다.^[22] (마르체프스키의 본명은 에드바르트 슈필라인(Edward Szpilrajn^pl)이었지만, 1940년에 나치 독일의 유대인 박해를 피하여 ‘마르체프스키’로 개명하였다.)

바나흐-마주르 게임은 스타니스와프 마주르가 1935년에 도입하였다. 당시 리비우에 살던 수학자들은 슈코츠카 카페(Kawiarnia Szkocka|카비아르니아 슈코츠카^pl, szkocka|슈코츠카^pl는 Szkocja|슈코치아^pl(스코틀랜드)의 형용사형)에 모여서 수학 문제들을 토론하였으며, 토론에 의하여 얻은 결과들을 "슈코츠카 책"(Księga Szkocka|크시엥가 슈코츠카^pl)이라는 노트에 기록하였다. 마주르의 게임의 필승 전략과 제1 범주성 사이의 관계는 슈코츠카 책의 43번 문제로 수록되었으며, 같은 책에서 스테판 바나흐가 1935년 8월 4일 증명하였다고 기록되었다.^[26] 그러나 바나흐는 이 증명을 기록하지 않았다.

이후 1957년에 존 옥스토비((John C. Oxtoby^영어|존 옥스토비}}, 1910~1991)가 마주르의 추측의 증명을 출판하였다.^[27]

참조

_[1] 웹사이트 Topological Vector Spaces https://books.google[...] Macmillan 1966
_[2] 논문 Sur les fonctions de variables réelles https://archive.org/[...] 1899
_[3] 논문 Cartesian products of Baire spaces http://matwbn.icm.ed[...] 1961
_[4] 논문 Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen https://eudml.org/do[...]
_[5] 웹사이트 https://mathoverflow[...]
_[6] 웹사이트 https://www.ams.org/[...]
_[7] 웹사이트 Is there a measure zero set which isn't meagre? https://mathoverflow[...]
_[8] 간행물 The real numbers in inner models of set theory 2022
_[9] 문서 The Erdos-Sierpinski Duality Theorem https://www.artsci.k[...] 2023-01-18
_[10] 웹사이트 Topological Vector Spaces https://books.google[...] Macmillan 1966
_[11] 논문 Sur les fonctions de variables réelles https://archive.org/[...] 1899
_[12] 논문 Cartesian products of Baire spaces http://matwbn.icm.ed[...] 1961
_[13] 웹사이트 Is there a measure zero set which isn't meagre? https://mathoverflow[...]
_[14] 논문 Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen https://eudml.org/do[...]
_[15] 간행물 The real numbers in inner models of set theory https://arxiv.org/ab[...] 2022
_[16] 문서 The Erdos-Sierpinski Duality Theorem https://www.artsci.k[...] 2023-01-18
_[17] 서적
_[18] 저널
_[19] 서적 http://www.pearsonhi[...]
_[20] 서적
_[21] 저널 https://www.renyi.hu[...]
_[22] 저널 http://matwbn.icm.ed[...]
_[23] 저널
_[24] 저널 http://projecteuclid[...]
_[25] 저널 http://matwbn.icm.ed[...]
_[26] 서적 The Scottish Book: mathematics from the Scottish Café with selected problems from the New Scottish Book Birkhäuser
_[27] 서적 http://press.princet[...]