중심곱

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1. 개요

중심곱은 두 군 H와 K, 그리고 중심 부분군 H° ≤ Z(H), K° ≤ Z(K) 사이의 동형 사상 θ에 의해 정의되는 군이다. 중심곱은 군의 직접곱과 관련되며, 내부 중심곱과 외부 중심곱으로 구분된다. 내부 중심곱은 G가 H와 K에 의해 생성되고, H의 모든 원소가 K의 모든 원소와 교환 가능할 때 G가 H와 K의 내부 중심곱이 된다. 외부 중심곱은 두 군 H, K와 부분군 H₁ ≤ Z(H), K₁ ≤ Z(K) 및 동형사상 θ: H₁ → K₁으로 구성되며, 직접곱 H × K를 정규 부분군으로 나눈 몫이다. 중심곱은 파울리 군과 같은 예시에서 나타나며, 유한군의 표현론, 조지 글라우버만의 결과, 리 모듈의 텐서 곱 등 다양한 분야에 응용된다.

중심곱

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 내부 중심곱
- 2.2. 외부 중심곱
3. 성질
4. 예시
5. 응용

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.

* 두 군 $H$ , $K$
* 두 중심 부분군 $H^\circ \le \operatorname Z(H)$ , $K^\circ \le \operatorname Z(K)$
* 군 동형 사상 $\theta \colon H^\circ \to K^\circ$

그렇다면, 이에 대한 중심곱은 다음과 같은 군이다.

: $H \circ K = \frac{H \times K}{\{(h,k)\in H^\circ\times K^\circ\colon \theta(h)k = 1\}}$

만약 $H^\circ = K^\circ = 1$ 일 경우 이는 군의 직접곱과 같다. 만약 $(H^\circ,K^\circ)$ 가 구체적으로 언급되지 않을 경우, 보통 $H^\circ = \operatorname Z(H)$ , $K^\circ = \operatorname Z(K)$ 를 의미한다.

중심곱에는 관련이 있지만 구별되는 몇 가지 개념이 있다. 군의 직접곱과 마찬가지로 내부적 특성과 외부적 특성이 모두 있으며, 인수들의 교집합이 얼마나 엄격하게 제어되는지에 대한 변형도 있다.

군 G가 두 부분군 H, K의 내부 중심곱이 되려면 다음 조건을 만족해야 한다.

# G는 H와 K에 의해 생성된다.
# H의 모든 원소는 K의 모든 원소와 교환 가능하다.
때로는 $H\cap K$ 가 중심과 정확히 같다는 더 엄격한 요구 사항이 부과되기도 한다. 그러면 부분군 H와 K를 G의 중심 인수라고 부른다.

외부 중심곱은 두 개의 군 H와 K, 두 개의 부분군 $H_1 \le Z(H)$ 및 $K_1 \le Z(K)$ , 그리고 군 동형사상 $\theta\colon H_1 \to K_1$ 에서 구성된다. 외부 중심곱은 직접곱 $H\times K$ 를 정규 부분군으로 나눈 몫이다.

: $N = \{ (h,k) : h\in H_1, k\in K_1, \text{ and } \theta(h)\cdot k = 1 \}$

때로는 H₁ = Z(H)이고 K₁ = Z(K)라는 더 엄격한 요구 사항이 부과되기도 한다.

내부 중심곱은 H₁ = K₁ = H ∩ K이고 θ가 항등사상인 외부 중심곱과 동형이다. 외부 중심곱은 몫군 $(H\times K) / N$ 에서 H × 1과 1 × K의 이미지의 내부 중심곱이다.

외부 중심곱은 일반적으로 인수 H와 K만으로는 결정되지 않는다는 점에 유의해야 한다. 중심곱의 동형사상 유형은 동형사상 θ에 따라 달라진다. 그러나 이는 몇 가지 주목할 만한 상황에서 잘 정의되어 있으며, 예를 들어 H와 K가 모두 유한한 특별한 군이고 $H_1 = Z(H)$ 및 $K_1 = Z(K)$ 인 경우이다.

2.1. 내부 중심곱

군 G가 두 부분군 H, K의 내부 중심곱이 되려면 다음 조건을 만족해야 한다.
# G는 H와 K에 의해 생성된다.
# H의 모든 원소는 K의 모든 원소와 교환 가능하다.
때로는 $H\cap K$ 가 중심과 정확히 같다는 더 엄격한 요구 사항이 부과되기도 한다. 그러면 부분군 H와 K를 G의 중심 인수라고 부른다.

내부 중심곱은 $H_1 = K_1 = H \cap K$ 이고 $\theta$ 가 항등사상인 외부 중심곱과 동형이다. 외부 중심곱은 몫군 $(H\times K) / N$ 에서 H × 1과 1 × K의 이미지의 내부 중심곱이다.

2.2. 외부 중심곱

두 군 H, K와 두 중심 부분군 $H^\circ \le \operatorname Z(H)$ , $K^\circ \le \operatorname Z(K)$ , 그리고 군 동형 사상 $\theta \colon H^\circ \to K^\circ$ 이 주어졌을 때, 이에 대한 중심곱은 다음과 같은 군이다.
: $H \circ K = \frac{H \times K}{\{(h,k)\in H^\circ\times K^\circ\colon \theta(h)k = 1\}}$
만약 $H^\circ = K^\circ = 1$ 일 경우 이는 군의 직접곱과 같다. 만약 $(H^\circ,K^\circ)$ 가 구체적으로 언급되지 않을 경우, 보통 $H^\circ = \operatorname Z(H)$ , $K^\circ = \operatorname Z(K)$ 를 의미한다.

외부 중심곱은 두 개의 군 H와 K, 두 개의 부분군 $H_1 \le Z(H)$ 및 $K_1 \le Z(K)$ , 그리고 군 동형사상 $\theta\colon H_1 \to K_1$ 에서 구성된다. 외부 중심곱은 직접곱 $H\times K$ 를 정규 부분군으로 나눈 몫이다.
: $N = \{ (h,k) : h\in H_1, k\in K_1, \text{ and } \theta(h)\cdot k = 1 \}$
때로는 H₁ = Z(H)이고 K₁ = Z(K)라는 더 엄격한 요구 사항이 부과되기도 한다.

내부 중심곱은 H₁ = K₁ = H ∩ K이고 θ가 항등사상인 외부 중심곱과 동형이다. 외부 중심곱은 몫군 $(H\times K) / N$ 에서 H × 1과 1 × K의 이미지의 내부 중심곱이다.

외부 중심곱은 일반적으로 인수 H와 K만으로는 결정되지 않으며, 중심곱의 동형사상 유형은 동형사상 θ에 따라 달라진다. 그러나 H와 K가 모두 유한한 특별한 군이고 $H_1 = Z(H)$ 및 $K_1 = Z(K)$ 인 경우에는 잘 정의된다.

3. 성질

4. 예시

파울리 행렬 $\sigma^1,\sigma^2,\sigma^3$ 및 $\mathrm i$ 로 생성되는 유한군인 파울리 군(Pauli group^영어) $G \le \operatorname{GL}(2;\mathbb C)$ 은 크기 16의 유한군이며, 크기 8의 정이면체군과 4차 순환군의 중심곱이다.: $G \cong \operatorname{Dih}(\operatorname{Cyc}(4)) \circ \operatorname{Cyc}(4)$

파울리 군은 순환군 $C_4$ 와 이각형 군 $D_4$ 의 중심곱이다. 모든 특별 외군은 차수 p³인 특별 외군의 중심곱이다. 유한군의 레이어, 즉 모든 준정규 준단순 부분군에 의해 생성된 부분군은 고렌스타인의 의미에서 준단순군의 중심곱이다.

5. 응용

표현론에서 중심곱은 직접곱의 표현론과 매우 유사하게 잘 이해되고 있다. 조지 글라우버만의 결과에 사용된 보조정리는 고정점 없는 자기 동형 사상의 클라인 4원군을 허용하는 유한군이 가해군임을 보여준다. 리 모듈의 텐서 곱과 같은 특정 맥락에서 자기 동형군에는 각 인자의 자기 동형군의 중심곱이 포함된다.