정이면체군

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1. 개요

정이면체군은 아벨 군 H에 대한 일반화된 이면체군 Dih(H)로 정의되며, 이는 H와 크기 2인 군의 반직접곱이다. 정이면체군 Dih_n은 순환군 Z/n에 대한, 무한 정이면체군 Dih_∞는 무한 순환군 Z에 대한 일반화된 이면체군이다. 정n각형의 대칭군으로 시각화할 수 있으며, 회전과 반사로 구성된다. 이면체군은 생성자와 관계식을 통해 정의되거나, 순환군과의 반직접곱으로 정의될 수 있다. 이면체군은 2차원 점군을 형성하며, 기하학적 변환, 행렬 표현, 그리고 다양한 대칭 도형의 예시를 통해 설명된다.

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정이면체군
개요
정삼각형 (n=3)의 대칭을 나타내는 그림. 세 개의 반사와 세 개의 회전이 있다.
종류	군론
크기	2n
기호	D Dih D
정의
설명
성질
연산	* 회전 (r): n번 반복하면 항등원 * 반사 (s): 2번 반복하면 항등원 1}}
생성원	회전 r과 반사 s
부분군
성질	* 생성원의 관계식: r = s = (rs) = 1
예시
D	선분의 대칭군 (항등원과 반사)
D	직사각형의 대칭군 (클라인의 사원군과 동형)
D	정삼각형의 대칭군
D	정사각형의 대칭군
관련 개념
일반화

2. 정의

아벨 군 $H$ 에 대하여, '''일반화 정이면체군'''(generalized dihedral group^영어) $\operatorname{Dih}(H)$ 는 다음과 같은 반직접곱이다.

: $\operatorname{Dih}(H)\cong H\rtimes_\phi(\mathbb Z/2)$

여기서 $\mathbb Z/2=\{0,1\}$ 는 크기가 2인 유일한 군이며, 군의 작용 $\phi\colon\mathbb Z/2\times H\to H$ 는 다음과 같다.

: $\phi_0\colon h\mapsto h$

: $\phi_1\colon h\mapsto -h$

'''정이면체군'''

: $\operatorname{Dih}_n=\operatorname{Dih}(\mathbb Z/n)$

은 순환군 $\mathbb Z/n$ 에 대한 일반화 정이면체군이다. '''무한 정이면체군'''(infinite dihedral group^영어)

: $\operatorname{Dih}_\infty=\operatorname{Dih}(\mathbb Z)$

은 무한 순환군 $\mathbb Z$ 에 대한 일반화 정이면체군이다.

"이 면체"라는 단어는 "di-"와 "-hedron"에서 유래되었다.

후자는 그리스어 hédra에서 유래되었으며, 이는 "기하학적 입체의 면"을 의미한다. 따라서 전체적으로 다각형의 두 면을 의미한다.

정n각형은 2n가지의 합동 변환으로 불변이다. 내역은 n가지의 회전과 n가지의 경계이다. 이들이 이면체군을 구성하는 원소이다.^[4] n가지의 회전이란, θ = 360°/n에 대해 θ의 회전, 2 × θ의 회전, …, n × θ의 회전의 n개이다. 마지막 것은 360°의 회전이므로, 아무것도 하지 않는 것과 동일하며, 이것이 이면체군의 항등원이다. 경계의 경우, n이 짝수인지 홀수인지에 따라 약간 상황이 다르지만, 어느 경우든 정 n각형은 n개의 대칭축에 관해 선대칭이다. ^[4]

n이 홀수일 때: 대칭축은 하나의 꼭짓점과 마주보는 변의 중점을 연결한 직선이 n개이다.
n이 짝수일 때: 대칭축은 마주보는 꼭짓점을 연결한 직선이 n/2개, 마주보는 변의 중점을 연결한 직선이 n/2개로, 총 n개이다.

이들 n개의 축에 관한 대칭 이동과, n개의 회전을 합한 2n개의 합동 변환의 집합을 D_n 또는 Dih_n이라고 쓴다. 한 대칭축에서 반사한 다음 다른 대칭축에서 반사하면 두 축 사이 각도의 두 배만큼 회전이 발생한다.^[5]

정다각형의 두 대칭을 합성하면 다시 대칭이 되며, 이러한 대칭의 합성은 유한군의 대수 구조를 갖는다.^[6] 이면체군 Dih_''n''은 ''n''개의 회전과 ''n''개의 반사로 구성되며, 이들의 합성은 군의 연산을 이룬다.

S₀, S₁, S₂로 표시된 반사선은 공간(페이지)에 고정되어 있으며, 대칭 연산(회전 또는 반사)이 삼각형에 수행될 때 자체적으로 움직이지 않는다.

이면체군

\operatorname{Dih}_n

은 생성자와 관계식을 통해 정의할 수 있다.^[11]

:

\operatorname{Dih}_n\cong\langle r,s|r^n=s^2=(rs)^2=1\rangle

여기서 r은 회전, s는 반사를 의미한다. 이 표시는 정이면체군이 콕서터 군의 일종임을 나타낸다.

또한, 이면체군은 순환군과의 반직접곱으로도 정의할 수 있다.

그래프 이론의 용어를 빌리면, n개의 정점을 가진 사이클의 자기 동형 전체가 이루는 군으로 정n각형을 불변으로 하는 합동 변환 전체와 같으며 이는 n ≥ 3 인 경우에만 해당된다.

2. 1. 군의 원소

정n각형은 2n가지의 합동 변환으로 불변이다. 내역은 n가지의 회전과 n가지의 경계이다. 이들이 이면체군을 구성하는 원소이다.^[4] n가지의 회전이란, θ = 360°/n에 대해 θ의 회전, 2 × θ의 회전, …, n × θ의 회전의 n개이다. 마지막 것은 360°의 회전이므로, 아무것도 하지 않는 것과 동일하며, 이것이 이면체군의 항등원이다. 경계의 경우, n이 짝수인지 홀수인지에 따라 약간 상황이 다르지만, 어느 경우든 정 n각형은 n개의 대칭축에 관해 선대칭이다. ^[4]

n이 홀수일 때: 대칭축은 하나의 꼭짓점과 마주보는 변의 중점을 연결한 직선이 n개이다.
n이 짝수일 때: 대칭축은 마주보는 꼭짓점을 연결한 직선이 n/2개, 마주보는 변의 중점을 연결한 직선이 n/2개로, 총 n개이다.

이들 n개의 축에 관한 대칭 이동과, n개의 회전을 합한 2n개의 합동 변환의 집합을 D_n 또는 Dih_n이라고 쓴다. 한 대칭축에서 반사한 다음 다른 대칭축에서 반사하면 두 축 사이 각도의 두 배만큼 회전이 발생한다.^[5]

정팔각형의 표지에 D₈의 16개의 변환을 실시한 결과. 위의 열이 회전, 아래의 열이 경계에 의한 것이다.

2. 2. 군의 구조

정다각형의 두 대칭을 합성하면 다시 대칭이 되며, 이러한 대칭의 합성은 유한군의 대수 구조를 갖는다.^[6] 이면체군 Dih_''n''은 ''n''개의 회전과 ''n''개의 반사로 구성되며, 이들의 합성은 군의 연산을 이룬다.

예를 들어, D₃ (정삼각형의 대칭)에서 r₀은 항등원, r₁과 r₂는 각각 120° 및 240° 반시계 방향 회전, s₀, s₁, s₂는 세 선에 대한 반사를 나타낸다. 이들의 합성 결과는 다음 케일리 표와 같다.

	r₀	r₁	r₂	s₀	s₁	s₂
r₀	r₀	r₁	r₂	s₀	s₁	s₂
r₁	r₁	r₂	r₀	s₁	s₂	s₀
r₂	r₂	r₀	r₁	s₂	s₀	s₁
s₀	s₀	s₂	s₁	r₀	r₂	r₁
s₁	s₁	s₀	s₂	r₁	r₀	r₂
s₂	s₂	s₁	s₀	r₂	r₁	r₀

예를 들어, s₂s₁ = r₁인데, 이는 반사 s₁ 다음에 반사 s₂를 수행하면 120° 회전이 발생하기 때문이다. 합성 연산은 교환적이지 않다.^[6]

일반적으로 D_''n''은 r₀, ..., r_''n''-1과 s₀, ..., s_''n''-1 요소를 가지며, 합성은 다음과 같다.

: $\mathrm{r}_i\,\mathrm{r}_j = \mathrm{r}_{i+j}, \quad \mathrm{r}_i\,\mathrm{s}_j = \mathrm{s}_{i+j}, \quad \mathrm{s}_i\,\mathrm{r}_j = \mathrm{s}_{i-j}, \quad \mathrm{s}_i\,\mathrm{s}_j = \mathrm{r}_{i-j}.$

여기서 아래첨자의 덧셈과 뺄셈은 모듈러 산술을 사용하여 모듈러스 ''n''으로 수행된다.

두 축에 대해 연속적으로 대칭 이동하면 두 축 사이 각도의 2배만큼 회전하는 것과 같다.

2. 3. 행렬 표현

이 오각형의 대칭은 선형 변환이며, 이는 벡터 공간으로서 평면의 대칭이다.

정다각형의 중심을 원점에 두면 이면체군의 원소들은 선형 사상으로서 평면에 작용한다. 이를 통해 D_''n''의 원소를 행렬로 표현할 수 있으며, 합성은 행렬 곱셈이 된다. 이는 (2차원) 군 표현의 예시이다.

일반적으로 D_''n''의 원소에 대한 행렬은 다음 형식을 갖는다.

:

\begin{align}\mathrm{r}_k & = \begin{pmatrix}\cos \frac{2\pi k}{n} & -\sin \frac{2\pi k}{n} \\\sin \frac{2\pi k}{n} &  \cos \frac{2\pi k}{n}\end{pmatrix}\ \ \text{and} \\[5pt]\mathrm{s}_k & =  \begin{pmatrix}\cos \frac{2\pi k}{n} &  \sin \frac{2\pi k}{n} \\\sin \frac{2\pi k}{n} & -\cos \frac{2\pi k}{n}\end{pmatrix}.\end{align}

r_''k''는 회전 행렬로, 2''πk''/''n'' 각도만큼 반시계 방향으로 회전하는 것을 나타낸다. s_''k''는 ''x''축과 ''πk''/''n'' 각도를 이루는 선에 대한 반사이다.

예를 들어, D₄ 군의 원소는 다음 여덟 개의 행렬로 표현할 수 있다.

:

\begin{matrix}\mathrm{r}_0 = \left(\begin{smallmatrix}  1 &  0 \\[0.2em]  0 &  1 \end{smallmatrix}\right), &\mathrm{r}_1 = \left(\begin{smallmatrix}  0 & -1 \\[0.2em]  1 &  0 \end{smallmatrix}\right), &\mathrm{r}_2 = \left(\begin{smallmatrix} -1 &  0 \\[0.2em]  0 & -1 \end{smallmatrix}\right), &\mathrm{r}_3 = \left(\begin{smallmatrix}  0 &  1 \\[0.2em] -1 &  0 \end{smallmatrix}\right), \\[1em]\mathrm{s}_0 = \left(\begin{smallmatrix}  1 &  0 \\[0.2em]  0 & -1 \end{smallmatrix}\right), &\mathrm{s}_1 = \left(\begin{smallmatrix}  0 &  1 \\[0.2em]  1 &  0 \end{smallmatrix}\right), &\mathrm{s}_2 = \left(\begin{smallmatrix} -1 &  0 \\[0.2em]  0 &  1 \end{smallmatrix}\right), &\mathrm{s}_3 = \left(\begin{smallmatrix}  0 & -1 \\[0.2em] -1 &  0 \end{smallmatrix}\right).\end{matrix}

이들 사이의 합성은 다음 공식으로 주어진다.

:

R_i\,R_j=R_{i+j},\quad R_i\,S_j=S_{i+j},\quad S_i\,R_j=S_{i-j},\quad S_i\,S_j=R_{i-j}

단, 첨자의 덧셈과 뺄셈은 ''n''을 법으로 하는 합동 산술을 의미한다.

2. 4. 다른 정의

이면체군

\operatorname{Dih}_n

은 생성자와 관계식을 통해 정의할 수 있다.^[11]

:

\operatorname{Dih}_n\cong\langle r,s|r^n=s^2=(rs)^2=1\rangle

여기서 r은 회전, s는 반사를 의미한다. 이 표시는 정이면체군이 콕서터 군의 일종임을 나타낸다.

또한, 이면체군은 순환군과의 반직접곱으로도 정의할 수 있다. 일반화 정이면체군

\operatorname{Dih}(H)

는 아벨 군

H

와 크기가 2인 군

\mathbb Z/2

의 반직접곱이다.

:

\operatorname{Dih}(H)\cong H\rtimes_\phi(\mathbb Z/2)

정이면체군은 순환군

\mathbb Z/n

에 대한 일반화 정이면체군이며, 무한 정이면체군은 무한 순환군

\mathbb Z

에 대한 일반화 정이면체군이다.

그래프 이론의 용어를 빌리면, n개의 정점을 가진 사이클의 자기 동형 전체가 이루는 군으로 정n각형을 불변으로 하는 합동 변환 전체와 같으며 이는 n ≥ 3 인 경우에만 해당된다.

3. 성질

이이면체군 }} ()의 속성은 이 짝수인지 홀수인지에 따라 달라진다. 예를 들어, }}의 중심은 ''n''이 홀수일 경우 항등원만으로 구성되지만, ''n''이 짝수일 경우 중심은 두 개의 원소, 즉 항등원과 r^''n''/2를 갖는다(O(2)의 부분군으로서 D_''n''은 반전이며, −1에 의한 스칼라 곱셈이므로, 임의의 선형 변환과 교환함을 알 수 있다).^[12]

2차원 등거리 변환의 경우, 이것은 반전을 추가하여 기존 것들 사이에 회전과 거울을 제공하는 것에 해당한다.

''n''이 홀수의 두 배인 경우, 추상적인 군 }}은 }}와 }}의 직적과 동형이다.

일반적으로, ''m''이 ''n''을 나누면, }}은 }}형의 ''n''/''m''개의 부분군과 하나의 부분군 $\mathbb{Z}$ _''m''을 갖는다. 따라서 }} (''n'' ≥ 1)의 부분군의 총 개수는 ''d''(''n'') + σ(''n'')과 같은데, 여기서 ''d''(''n'')은 ''n''의 양의 약수의 개수이고, ''σ''(''n'')은 ''n''의 양의 약수의 합이다.

8차 이이면체군(D₄)은 T-군이 아닌 가장 작은 군의 예이다. D₄의 두 클라인 네 개의 군 부분군 중 하나(D₄에서 정규 부분군)는 D₄에서 반사(뒤집기)에 의해 생성된 차수 2의 정규 부분군을 갖지만, 이 부분군은 D₄에서 정규 부분군이 아니다.

''n'' ≥ 3일 때 정다각형의 꼭짓점에 번호를 붙여놓으면, ''D''_''n''의 원소는 자연스럽게 ''n''개의 번호의 치환으로 볼 수 있다. 따라서 ''D''_''n''은 대칭군 ''S''_''n''의 부분군이다. 두 군의 위수를 비교하면 명백하듯이, ''D''₃는 ''S''₃와 일치하며, ''n'' ≥ 4의 경우에는 ''D''_''n''은 ''S''_''n''의 진부분군이다.

''n'' ≥ 3일 때의 ''D''_''n''의 성질은, ''n''의 짝수 여부에 따라 약간 다른 면이 있다. 예를 들어 그 군의 중심은, ''n''이 홀수일 때는 항등원만으로 이루어지지만, ''n''이 짝수일 때는 항등원과 180° 회전의 두 가지 원소로 이루어진다. 실제로, 180° 회전은 행렬 표시로 단위 행렬의 -1 배이므로, 임의의 변환과 가환한다는 것은 명백하다.

''p''가 소수일 때, 위수가 2''p''인 군은 순환군과 이면체군으로 제한된다.^[12] ''n''이 홀수일 때, ''D''_2''n''는 ''D''_''n''과 '''Z'''₂의 직적에 동형이다.^[13]

''n''의 약수 ''m''에 대하여, ''D''_''n''의 부분군으로서 하나의 순환군 '''Z'''_''m''과 ''n''/''m''개의 ''D''_''m''을 취할 수 있다. 따라서, ''D''_''n''의 부분군의 총수는, 약수 함수를 사용하여 ''d''(''n'') + σ(''n'')으로 나타낼 수 있다. 여기서, ''d''(''n'')은 ''n''의 약수의 개수, σ(''n'')은 ''n''의 약수의 합이다.

3. 1. 일반화 정이면체군

일반화 정이면체군 generalized dihedral group^영어 Dih(H)는 아벨 군 H와 그 위에 작용하는 크기 2인 순환군의 반직접곱으로 정의된다. 즉, Dih(H) = H ⋊ (ℤ/2)이다.

일반화 정이면체군 Dih(H)의 원소들은 모두 (h, 0) 또는 (h, 1)의 꼴이다 (h ∈ H). (h, 0) 꼴의 원소들의 집합은 H와 동형인 Dih(H)의 지표가 2인 정규 부분군을 이룬다. (h, 1) 꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다.

Dih(H)의 켤레류는 다음과 같다. 모든 h ∈ H에 대하여,

{(h, 0), (-h, 0)}
{(h + 2k, 0) | k ∈ H}

일반화 정이면체군에는 몇가지 중요한 일반화가 존재한다. 무한 이면체군은 유한 이면체군과 유사한 대수적 구조를 가진 무한군이며, 정수의 대칭군으로 볼 수 있다. 직교군 O(2), 즉 원의 대칭군도 이면체군과 유사한 성질을 갖는다. 준이면체군은 이면체군과 유사한 성질을 가진 유한군의 일족이다.

3. 2. 유한 정이면체군

평면에서, 정

n

각형의 대칭군은

\operatorname{Dih}_n

이다. 여기서, 군의 표시에서

r

는 (반시계방향으로)

2\pi/n

라디안 회전 대칭에,

s

는 고정된 축에 대한 반사 대칭에 대응된다.

정이면체군

\operatorname{Dih}_n

은 총

2n

개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다.

:

1,r,r^2,\dots,r^{n-1},s,sr,sr^2,\dots,sr^{n-1}

작은 정이면체군들은 다음과 같다.

군	다른 이름
$\operatorname{Dih}_0$	자명군 0
$\operatorname{Dih}_1$	2차 순환군 $\mathbb Z/2$
$\operatorname{Dih}_2$	클라인 4원군 $\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2$
$\operatorname{Dih}_3$	대칭군 $\operatorname{Sym}_3$
$\operatorname{Dih}_6$	$\operatorname{Dih}_3\times(\mathbb Z/2)$

$n\ge3$ 인 경우, $\operatorname{Dih}_n$ 은 아벨 군이 아니다.

만약 $n\equiv2\pmod4$ 라면,

: $\operatorname{Dih}_n\cong\operatorname{Dih}_{n/2}\times(\mathbb Z/2)$

이다.

'''자기 동형군'''

$\operatorname{Dih}_n$ 의 자기 동형군은 다음과 같다.

: $\operatorname{Aut}(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases}1 & n=0,1 \\\operatorname{Sym}_3 & n=2 \\\mathbb Z/n\rtimes(\mathbb Z/n)^\times & n\ge3\end{cases}$

여기서 $(-)^\times$ 는 가역원군이며, 우변의 반직접곱의 군의 작용은 $(\mathbb Z/n)^\times$ 와 $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/n)$ 사이의 표준적인 동형이다. 특히, $n\ge3$ 인 경우 $\operatorname{Dih}_n$ 의 자기 동형 사상의 수는 $n\phi(n)$ 이다. 여기서 $\phi$ 는 오일러 피 함수이다. 구체적으로, $(a,b)\in\mathbb Z/n\rtimes(\mathbb Z/n)^\times$ 는 $s$ 를 $sr^a$ 로, $r$ 를 $r^b$ 로 보내는 자기 동형 사상에 대응한다.

Dih_''n''의 자기 동형 사상군은 $\mathbb{Z}$ /''n'' $\mathbb{Z}$ 의 holomorph와 동형이며, 그 크기는 ''nϕ''(''n'')이다. 여기서 ''ϕ''는 오일러 피 함수로, 1, ..., ''n'' − 1에서 ''n''과 서로소인 ''k''의 개수이다.^[13]

이는 반사 및 기본적인 회전(''n''과 서로소인 ''k''에 대한 ''k''(2''π''/''n'')에 의한 회전)의 생성자를 통해 이해할 수 있으며, 어떤 자기 동형 사상이 내부적이고 외부적인지는 ''n''의 짝수 여부에 따라 달라진다.

''n''이 홀수인 경우, 이면체군은 중심이 없으므로, 모든 원소는 자명하지 않은 내부 자기 동형 사상을 정의한다. ''n''이 짝수인 경우, 180° 회전(원점을 통과하는 반사)은 중심의 자명하지 않은 원소이다.
따라서 ''n''이 홀수인 경우, 내부 자기 동형 사상군의 크기는 2''n''이고, ''n''이 짝수인 경우(''n'' = 2 제외) 내부 자기 동형 사상군의 크기는 ''n''이다.
''n''이 홀수인 경우, 모든 반사는 켤레이다. ''n''이 짝수인 경우, 두 개의 부류(두 꼭짓점을 통과하는 것과 두 면을 통과하는 것)로 나뉘며, 외부 자기 동형 사상에 의해 관련되며, 이는 ''π''/''n''에 의한 회전(최소 회전의 절반)으로 나타낼 수 있다.
회전은 정규 부분군이다. 반사에 의한 켤레는 회전의 부호(방향)를 변경하지만, 다른 경우에는 변경하지 않는다. 따라서 각도를 ''k''(''n''과 서로소)로 곱하는 자기 동형 사상은 ''k'' = ±1이 아닌 한 외부적이다.

D₉은 18개의 내부 자기동형사상을 갖는다. 2차원 등거리 변환군 D₉으로서, 이 군은 20° 간격으로 대칭선을 갖는다. 18개의 내부 자기동형사상은 대칭선을 20°의 배수만큼 회전시키고 반사를 제공한다. 등거리 변환군으로서 이들은 모두 자기동형사상이다. 추상군으로서 이들 외에도 36개의 외부 자기동형사상이 있다. 예를 들어, 회전 각도에 2를 곱하는 것이다.

D₁₀은 10개의 내부 자기동형사상을 갖는다. 2차원 등거리 변환군 D₁₀으로서, 이 군은 18° 간격으로 대칭선을 갖는다. 10개의 내부 자기동형사상은 대칭선을 36°의 배수만큼 회전시키고 반사를 제공한다. 등거리 변환군으로서 이 외에 10개의 자기동형사상이 더 있다. 이들은 군 외부의 등거리 변환에 의해 켤레이며, 내부 자기동형사상에 대해 대칭선을 18° 회전시킨다. 추상군으로서 이 10개의 내부 및 10개의 외부 자기동형사상 외에도 20개의 외부 자기동형사상이 더 있다. 예를 들어, 회전을 3배로 곱하는 것이다.

오일러의 토션트 함수의 값 6과 4를 비교해 보면, ''n'' = 9와 10에 대한 법 ''n''에 대한 정수의 곱셈군을 각각 비교할 수 있다. 이는 등거리 변환으로서의 두 자기동형사상(회전의 순서를 동일하게 유지하거나 반대로 하는)에 비해 자기동형사상의 수를 3배 및 2배 증가시킨다.

''φ''(''n'') = 2인 유일한 ''n''의 값은 3, 4, 6이며, 결과적으로 자신의 자기동형사상과 동형인 이면군은 D₃ (차수 6), D₄ (차수 8), D₆ (차수 12)의 세 개뿐이다.^[7]^[8]^[9]

이각형 이면체군 ''D''_''n''의 자기 동형군은 아핀 군:

:

\operatorname{Aff}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\{ax + b \mid (a,n) = 1\}

과 동형이다.^[13]

'''내부 자기 동형군'''

\operatorname{Dih}_n

의 중심·내부 자기 동형군은 다음과 같다.

:

\operatorname Z(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases}1 & n=0\lor(n\ne1\land n\equiv1\pmod2) \\\mathbb Z/2 & n=1\lor(n\ne0\land n\equiv0\pmod2)\end{cases}

:

\operatorname{Inn}(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases}\operatorname{Dih}_n & n=0\lor(n\ne1\land n\equiv1\pmod2) \\\operatorname{Dih}_{n/2} & n=1\lor(n\ne0\land n\equiv0\pmod2)\end{cases}

구체적으로, 만약

n

이 짝수라면,

\pi

라디안 회전 대칭

r^{n/2}

은

\operatorname{Dih}_n

의 원소이며, 모든 원소와 가환한다.

''n''/Dih}}{{sub^영어의 내부 자기 동형 사상군은 다음과 동형이다.^[10]

''n''/Dih}}{{sub^영어 ('n'이 홀수)
''n''/Dih}} ('n'이 짝수, 단 n < 2 인경우, ''2''/Dih}} < 1)

3. 2. 1. 자기 동형군

Dih_''n''의 자기 동형 사상군은

\mathbb{Z}

/''n''

\mathbb{Z}

의 holomorph와 동형이며, 그 크기는 ''nϕ''(''n'')이다. 여기서 ''ϕ''는 오일러 피 함수로, 1, ..., ''n'' − 1에서 ''n''과 서로소인 ''k''의 개수이다.^[13]

이는 반사 및 기본적인 회전(''n''과 서로소인 ''k''에 대한 ''k''(2''π''/''n'')에 의한 회전)의 생성자를 통해 이해할 수 있으며, 어떤 자기 동형 사상이 내부적이고 외부적인지는 ''n''의 짝수 여부에 따라 달라진다.

''n''이 홀수인 경우, 이면체군은 중심이 없으므로, 모든 원소는 자명하지 않은 내부 자기 동형 사상을 정의한다. ''n''이 짝수인 경우, 180° 회전(원점을 통과하는 반사)은 중심의 자명하지 않은 원소이다.
따라서 ''n''이 홀수인 경우, 내부 자기 동형 사상군의 크기는 2''n''이고, ''n''이 짝수인 경우(''n'' = 2 제외) 내부 자기 동형 사상군의 크기는 ''n''이다.
''n''이 홀수인 경우, 모든 반사는 켤레이다. ''n''이 짝수인 경우, 두 개의 부류(두 꼭짓점을 통과하는 것과 두 면을 통과하는 것)로 나뉘며, 외부 자기 동형 사상에 의해 관련되며, 이는 ''π''/''n''에 의한 회전(최소 회전의 절반)으로 나타낼 수 있다.
회전은 정규 부분군이다. 반사에 의한 켤레는 회전의 부호(방향)를 변경하지만, 다른 경우에는 변경하지 않는다. 따라서 각도를 ''k''(''n''과 서로소)로 곱하는 자기 동형 사상은 ''k'' = ±1이 아닌 한 외부적이다.

D₉은 18개의 내부 자기동형사상을 갖는다. 2차원 등거리 변환군 D₉으로서, 이 군은 20° 간격으로 대칭선을 갖는다. 18개의 내부 자기동형사상은 대칭선을 20°의 배수만큼 회전시키고 반사를 제공한다. 등거리 변환군으로서 이들은 모두 자기동형사상이다. 추상군으로서 이들 외에도 36개의 외부 자기동형사상이 있다. 예를 들어, 회전 각도에 2를 곱하는 것이다.

D₁₀은 10개의 내부 자기동형사상을 갖는다. 2차원 등거리 변환군 D₁₀으로서, 이 군은 18° 간격으로 대칭선을 갖는다. 10개의 내부 자기동형사상은 대칭선을 36°의 배수만큼 회전시키고 반사를 제공한다. 등거리 변환군으로서 이 외에 10개의 자기동형사상이 더 있다. 이들은 군 외부의 등거리 변환에 의해 켤레이며, 내부 자기동형사상에 대해 대칭선을 18° 회전시킨다. 추상군으로서 이 10개의 내부 및 10개의 외부 자기동형사상 외에도 20개의 외부 자기동형사상이 더 있다. 예를 들어, 회전을 3배로 곱하는 것이다.

오일러의 토션트 함수의 값 6과 4를 비교해 보면, ''n'' = 9와 10에 대한 법 ''n''에 대한 정수의 곱셈군을 각각 비교할 수 있다. 이는 등거리 변환으로서의 두 자기동형사상(회전의 순서를 동일하게 유지하거나 반대로 하는)에 비해 자기동형사상의 수를 3배 및 2배 증가시킨다.

''φ''(''n'') = 2인 유일한 ''n''의 값은 3, 4, 6이며, 결과적으로 자신의 자기동형사상과 동형인 이면군은 D₃ (차수 6), D₄ (차수 8), D₆ (차수 12)의 세 개뿐이다.^[7]^[8]^[9]

이각형 이면체군 ''D''_''n''의 자기 동형군은 아핀 군:

:

\operatorname{Aff}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\{ax + b \mid (a,n) = 1\}

과 동형이다.^[13]

3. 2. 2. 내부 자기 동형군

''n''/Dih}}{{sub^영어의 내부 자기 동형 사상군은 다음과 동형이다.^[10]

''n''/Dih}}{{sub^영어 ('n'이 홀수)
''n''/Dih}} ('n'이 짝수, 단 n < 2 인경우, ''2''/Dih}} < 1)

3. 3. 켤레류

''n''이 홀수일 때 모든 반사는 서로 켤레(conjugacy)이지만, ''n''이 짝수일 때는 두 개의 켤레류로 나뉜다. 정''n''각형의 등거리 변환을 생각해 보면, 홀수 ''n''의 경우 모든 거울 쌍 사이에 그룹 내 회전이 있는 반면, 짝수 ''n''의 경우 이러한 회전을 통해 거울의 절반만 도달할 수 있다. 기하학적으로 홀수 다각형에서는 모든 대칭축이 꼭짓점과 변을 지나지만, 짝수 다각형에는 두 개의 축 집합이 있으며, 각 축 집합은 하나의 켤레류에 해당한다. 즉, 두 꼭짓점을 통과하는 축과 두 변을 통과하는 축이다.

대수적으로 ''n''이 홀수인 경우, 각 반사는 항등원과 함께 2차 부분군을 형성하며, 이는 Sylow 2-부분군이다. 반면 ''n''이 짝수이면 이러한 2차 부분군은 그룹의 차수를 4(2의 더 높은 거듭제곱)로 나누기 때문에 Sylow 부분군이 아니다.

''n''이 짝수인 경우, 대신 두 종류의 반사를 교환하는 외부 자기 동형 사상이 있다. ''n''이 홀수일 때, 모든 반사는 공액이지만, ''n''이 짝수일 때는 2개의 공액류로 나뉜다. 한쪽 공액류는 축이 정다각형의 꼭짓점을 지나는 것이고, 다른 쪽 공액류는 축이 변의 중점을 지나는 것이다.

추상 대수학적으로, ''n''이 홀수일 때 모든 반사가 공액이라는 것은 시로우의 정리로부터 곧바로 따른다. ''D''_''n''의 차수 2''n''을 나누는 최대 2의 거듭제곱은 2이므로, 각 반사가 이루는 차수 2의 군은 시로우 2-부분군이며, 따라서 시로우의 정리에 의해 그러한 부분군은 모두 공액이다. 한편, ''n''이 짝수일 때는, 2가 2''n''을 나누는 최대 2의 거듭제곱이 아니므로, 각 반사가 이루는 군은 시로우 부분군이 아니다.

공액류（''n''：홀수）
대표 원소	R₀	R₁	…	R_(n-1)/2	S₀
원소의 개수	1	2	…	2	n

공액류（''n''：짝수）
대표 원소	R₀	R_n/2	R₁	…	R_n/2-1	S₀	S₁
원소의 개수	1	1	2	…	2	n/2	n/2

3. 4. 무한 정이면체군

무한 정이면체군

\operatorname{Dih}_\infty

는 정수의 집합

\mathbb Z

의 대칭군이다.

무한 정이면체군

\operatorname{Dih}_\infty

는 다음과 같은 자유곱으로 나타낼 수 있다.

:

\operatorname{Dih}_\infty=(\mathbb Z/2)*(\mathbb Z/2)

4. 작은 이면체군

D₁은 2차 순환군인 Z₂와 동형이다. D₂는 클라인 4원군인 K₄와 동형이다. D₁과 D₂는 유일한 아벨 군 이면체 군이며, ''n'' ≥ 3일 때 D_n은 비아벨 군이다.

''n'' ≥ 3일 때, D_n은 대칭군 S_n의 부분군이지만, ''n'' < 1 또는 ''n'' < 2일 경우, 2''n'' > ''n''!이므로, D_n은 부분군이 되기에는 너무 크다. D₂의 내부 자기 동형 군은 자명하지만, ''n''의 다른 짝수 값에 대해서는 D_n / Z₂이다.

이면체 군의 사이클 그래프는 ''n''개의 원소를 가진 사이클과 ''n''개의 2원소 사이클로 구성된다. 아래 사이클 그래프에서 어두운 정점은 항등원을 나타내며, 다른 정점들은 군의 다른 원소들이다. 사이클은 항등원에 연결된 원소 중 하나의 연속적인 거듭제곱으로 구성된다.

사이클 그래프
D₁ = Z₂	D₂ = Z₂² = K₄	D₃	D₄	D₅
100px	100px	100px	100px	100px
100px	100px	100px	100px	100px
D = D × Z	D	D₈	D₉	D = D × Z

D₃ = S₃	D₄
240px	240px

5. 2차원 대칭군과 3차원 회전군

이면체군 dihedral group^영어 D_''n''은 추상군으로서, 원점을 고정하는 유클리드 평면 등거리 변환의 군으로 시각화할 수 있다. 이 군은 두 종류의 이산 2차원 점군 중 하나를 형성한다. D_''n''은 원점에 대해 360°/''n''의 배수로 회전하는 ''n''개의 회전과 원점을 지나는 ''n''개의 선에 대한 반사로 구성되며, 이 선들은 서로 180°/''n''의 배수의 각도를 이룬다. 이는 ''n''개의 변을 가진 정다각형의 대칭군이다.

D_''n''은 ''n''차의 차수를 갖는 회전 r과 2차의 반사 s에 의해 생성되며, srs = r^-1의 관계를 갖는다. 기하학적으로 거울에서 회전은 역회전처럼 보인다. 복소수 관점에서 볼 때, 이는 $e^{2\pi i \over n}$ 에 의한 곱셈과 복소 켤레로 표현된다.

행렬 형태로, r₁ = cos{2π \over n} -sin{2π \over n} ],[sin{2π \over n} cos{2π \over n} , s₀ = 1 0 ],[0 -1로 설정하고, j ∈ {1,...,n-1}에 대해 r_j = r₁^j 와 s_j = r_js₀를 정의하면, D_''n''의 곱셈 규칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.

r_jr_k = r_{(j+k) mod n}
r_js_k = s_{(j+k) mod n}
s_jr_k = s_{(j-k) mod n}
s_js_k = r_{(j-k) mod n}

''n'' > 2인 경우, 회전과 반사의 연산은 일반적으로 가환하지 않으며, D_''n''은 아벨 군이 아니다. 예를 들어, D₄에서 90도의 회전 후 반사를 하면 반사 후 90도의 회전을 하는 것과 다른 결과를 얻는다.

2''n''개의 D_''n''의 원소는 e, r, r², ... , r^''n''-1, s, rs, r²s, ... , r^''n''-1s로 쓸 수 있다. 처음 ''n''개의 원소는 회전이고 나머지 ''n''개의 원소는 축 반사이다 (모두 차수가 2이다). 두 회전 또는 두 반사의 곱은 회전이고, 회전과 반사의 곱은 반사이다.

D_''n''은 평면의 (원점에 대한) 회전 및 (원점을 지나는 축에 대한) 반사의 군인 O(2)의 부분군으로 간주될 수 있다. 또한, D_''n''은 3차원 공간에 내장된 정다각형의 고유 대칭군인 SO(3)의 부분군으로도 사용된다.

6. 일반화

정이면체군의 중요한 일반화는 다음과 같다.

무한 이면체군은 유한 이면체군과 유사한 대수적 구조를 가진 무한군이다. 이는 정수의 대칭군으로 볼 수 있다.
직교군 O(2), 즉 원의 대칭군도 이면체군과 유사한 성질을 갖는다.
일반화된 이면체군족은 위의 두 예뿐만 아니라 많은 다른 군을 포함한다.
준이면체군은 이면체군과 유사한 성질을 가진 유한군의 일족이다.

7. 시각적 설명

이면체군 ''D''_''n''은 2차원 유클리드 공간에서 원점을 고정하는 2''n''개의 합동 변환으로 구성된다. 이 중 ''n''개는 회전, 나머지 ''n''개는 반사이며, 아무것도 움직이지 않는 변환도 회전에 포함된다.

모든 변환은 두 개의 변환

: $R = \begin{pmatrix}\cos{2\pi \over n} & -\sin{2\pi \over n} \\\sin{2\pi \over n} & \cos{2\pi \over n}\end{pmatrix},\qquad S = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$

의 조합으로 표현 가능하다. 여기서 R은 회전, S는 반사를 나타낸다. 2''n''개의 변환은 id(항등 변환), ''R'', ''R''², …, ''R''^''n''-1, ''S'', ''RS'', ''R''²''S'', …, ''R''^''n''-1''S''로 주어지며, ''R''과 ''S'' 사이에는 $SRS=R^{-1}$ 관계가 성립한다. 이는 "거울 속의 회전은 거울 밖의 역회전에 해당한다"는 의미이다.

''n'' ≥ 2일 때, 인접한 축에 대한 두 개의 반사 ''S''₀, ''S''₁의 조합으로도 모든 변환을 얻을 수 있다. ''S''₀, ''S''₁ 사이에는 $(S_1S_0)^n=\mathrm{id}$ 라는 관계가 있다.

예를 들어 ''n'' = 2인 경우, ''R''은 180° 회전, ''S''는 ''x'' 축에 대한 대칭 이동을 의미한다. ''D''₂는 클라인 4원군과 동형이며, 변환 순서를 바꿔도 결과는 같다.

''D''₂를 구성하는 4개의 변환. "아무것도 안 함", "180° 회전", "반사", "180° 회전 후 반사". (''x'' 축은 수직 축이며, 시계 방향으로 회전)

''D''_''n''의 차수가 4보다 크면(n>2) 아벨 군이 아니므로, 변환 순서에 따라 결과가 달라진다.

''D''_''n''은 2차 직교군 O(2)의 부분군 또는 3차 특수 직교군 SO(3)의 부분군으로 간주할 수 있다.

8. 대칭 도형의 예

이면체군에 대해 불변인 도형은 정다각형에만 국한되지 않는다. ''D''_''n'' 에 대해 불변인 도형은 정 ''n'' 각형과 동등 이상의 대칭성을 가진다고 할 수 있다. 예를 들어 원은 임의로 큰 ''n'' 에 대한 ''D''_''n'' 에 대해 불변이다. 실제로 원은 무한군인 2차 직교군에 대해 불변이며, 무한히 많은 대칭성을 가진다고 할 수 있다.

9. 동치인 정의

$H$ 가 아벨 군이라고 하자. '''일반화 정이면체군'''(generalized dihedral group^영어) $\operatorname{Dih}(H)$ 는 다음과 같은 반직접곱이다.

: $\operatorname{Dih}(H)\cong H\rtimes_\phi(\mathbb Z/2)$

여기서 $\mathbb Z/2=\{0,1\}$ 는 크기가 2인 유일한 군이며, 군의 작용 $\phi\colon\mathbb Z/2\times H\to H$ 는 다음과 같다.

: $\phi_0\colon h\mapsto h$

: $\phi_1\colon h\mapsto -h$

'''정이면체군'''

: $\operatorname{Dih}_n=\operatorname{Dih}(\mathbb Z/n)$

은 순환군 $\mathbb Z/n$ 에 대한 일반화 정이면체군이다. '''무한 정이면체군'''(infinite dihedral group^영어)

: $\operatorname{Dih}_\infty=\operatorname{Dih}(\mathbb Z)$

은 무한 순환군 $\mathbb Z$ 에 대한 일반화 정이면체군이다.

그래프 이론 용어를 사용하면, ''n''개의 정점을 가진 사이클의 자기 동형 전체가 이루는 군이다. 이는 정다각형을 불변으로 하는 합동 변환 전체라는 원래의 생각과 거의 동일하며, ''n'' ≥ 3의 경우에만 해당된다.

추상적인 군의 정의로는 다음과 같다.

: $D_n=\langle r, s \mid r^n = s^2 = 1,\ srs = r^{-1} \rangle$

: $D_n=\langle x, y \mid x^2 = y^2 = (xy)^n = 1 \rangle$

전자는 세 개의 관계를 만족하는 ''r'', ''s''가 생성하는 군을 의미하며, ''r''은 하나의 회전, ''s''는 하나의 경사(鏡映)에 대응한다. 후자는 이 면체군이 위수 2의 두 개의 원소가 이루는 군임을 의미하지만, 반대로 그러한 (유한) 군은 이 면체군에 한정된다. 후자의 정의는 또한, 이 면체군이 콕서터 군임을 의미한다.

위수 ''n''의 순환군 '''Z'''_''n''과 위수 2의 순환군 '''Z'''₂의 반직적 $\mathbb{Z}_n \rtimes_\phi \mathbb{Z}_2$ 로도 정의된다^[11]. φ(0)은 ''Z''_''n'' 위의 항등 사상, φ(1)은 역원을 취하는 사상으로 한다. 이 정의와 반직적의 성질에 의해, ''D''_''n''는 위수 ''n''의 순환군을 정규 부분군으로 갖는다.

10. 한국의 관점

참조

_[1] MathWorld Dihedral Group
_[2] 서적 Abstract Algebra John Wiley & Sons
_[3] 웹사이트 Dihedral Groups: Notation http://mathforum.org[...] 2016-06-11
_[4] 서적 Introduction to Algebra https://books.google[...] Oxford University Press
_[5] 서적 Glimpses of Algebra and Geometry https://books.google[...] Springer
_[6] 서적 Abstract Algebra: Structures and Applications https://books.google[...] CRC Press
_[7] 서적 A Course in Group Theory https://books.google[...] Oxford University Press
_[8] 웹사이트 Groups of small order http://www.math.ucsd[...] Dept of Mathematics, University of South Florida
_[9] 웹사이트 Automorphism groups for semidirect products of cyclic groups http://math.uchicago[...] 2013-11-02
_[10] 간행물 Automorphisms of the Dihedral Groups 1942-09
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 문서

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