직접곱

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
- 3.1. 군의 직접곱 예시
4. 위상 공간의 직접곱
5. 이항 관계의 직접곱
6. 보편 대수학에서의 직접곱
7. 범주론적 곱
8. 내부 및 외부 직접곱
참조

1. 개요

직접곱은 같은 부호수를 갖는 대수 구조들의 집합에서 각 구조들의 곱집합을 통해 정의되는 또 다른 대수 구조이다. 군, 가군, 집합 등 다양한 수학적 구조에 적용되며, 특히 군의 직접곱은 두 군의 데카르트 곱을 통해 정의된다. 위상 공간의 직접곱은 데카르트 곱에 곱 위상을 부여하여 정의되며, 이항 관계의 직접곱은 각 관계의 성질을 보존한다. 범주론에서는 곱의 개념으로 추상화되며, 내부 및 외부 직접곱으로 구분되기도 한다.

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직접곱

2. 정의

같은 부호수(signature)를 갖는 대수 구조들의 집합 $\{A_i\}_{i\in I}$ 의 '''직접곱''' $\prod_{i\in I}A_i$ 는 다음과 같은 $\sigma$ -대수 구조이다.

집합으로서, $\prod_{i\in I}A_i$ 는 $A_i$ 들의 곱집합이다.
$\sigma$ 의 각 $n$ 항 연산 $m$ 은 $\textstyle\prod_{i\in I}A_i$ 위에 성분별로 정의된다. 즉, 구체적으로 다음과 같다.

:

\left(m_{\prod_{i\in I}A_i}(a^{(1)},a^{(2)},\dots,a^{(n)})\right)_i=m_{A_i}(a_i^{(1)},a^{(2)}_i,\dots,a^{(n)}_i)\qquad\forall i\in I,\,\forall a^{(1)}\dots,a^{(n)}\in\prod_{i\in I}A_i

유한 개의 대수 구조들의 직접곱의 경우,

:

\prod_{i=1}^kA_i=A_1\times A_2\times\cdots\times A_k

와 같이 쓴다.

대수적 구조 다양체의 범주에서, 이는 범주론적 곱과 같다.

예를 들어:

만약 $\R$ 을 추가적인 구조 없이 실수 집합으로 생각한다면, 직접곱 $\R \times \R$ 은 단지 데카르트 곱 $\{(x,y) : x,y \in \R\}$ 이다.
만약 $\R$ 을 덧셈에 대한 군으로 생각한다면, 직접곱 $\R\times \R$ 은 여전히 $\{(x,y) : x,y \in \R\}$ 을 기저 집합으로 가지지만, 군의 연산은 $(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)$ 로 정의된다.
만약 $\R$ 을 실수들의 환으로 생각한다면, 직접곱 $\R\times \R$ 은 $\{(x,y) : x,y \in \R\}$ 을 기저 집합으로 가지며, 덧셈은 $(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)$ , 곱셈은 $(a,b) (c,d) = (ac, bd)$ 로 정의된다.
환 $\R$ 은 체이지만, $\R \times \R$ 은 체가 아니다. 왜냐하면 영이 아닌 원소 $(1,0)$ 은 곱셈 역원을 갖지 않기 때문이다.

유한 개의 대수적 구조들의 직접곱은 결합법칙과 교환법칙을 따른다. 즉, 동일한 종류의 모든 대수적 구조

A,

B,

및

C

에 대해

(A \times B) \times C \cong A \times (B \times C)

이고,

A \times B \cong B \times A

이다. 무한히 많은 대수적 구조의 직접곱도 가능하다. 예를 들어, 가산적으로 많은

\mathbb R

의 사본의 직접곱을 취할 수 있으며, 이를

\R \times \R \times \R \times \dotsb

로 표기한다.

2. 1. 군의 직접곱

군의 직접곱은 반직접곱의 특수한 경우로, 군의 작용이 자명한 경우(항등 함수)에 해당한다. 유한 개의 아벨 군의 직접곱은 직합과 같지만, 무한 개의 아벨 군의 경우에는 일반적으로 다르며, 직합은 직접곱의 부분군을 이룬다.

군론에서 두 군

(G, \circ)

와

(H, \cdot)

의 직접곱은

G \times H

로 정의된다. 아벨 군과 같이 덧셈으로 표기되는 경우,

G \oplus H

로 표기하는 두 군의 직합이라고도 부를 수 있다.

직접곱은 다음과 같이 정의된다.

새로운 군의 원소의 집합은 $G$ 와 $H$ 의 원소 집합의 ''데카르트 곱''으로, $\{(g, h) : g \in G, h \in H\}$ 이다.
이러한 원소에 원소별로 정의된 연산을 적용한다: $(g, h) \times \left(g', h'\right) = \left(g \circ g', h \cdot h'\right)$

(G, \circ)

가

(H, \cdot)

와 같을 수 있다.

이 구성을 통해 새로운 군이 생성된다. 이 군은

G

와 동형인 정규 부분군(

(g, 1)

형태의 원소로 구성됨)과

H

와 동형인 정규 부분군(

(1, h)

원소로 구성됨)을 갖는다.

역 또한 성립한다. 다음과 같은 인식 정리가 있다. 만약 군

K

가 두 개의 정규 부분군

G

와

H

를 포함하고,

K = GH

이며

G

와

H

의 교집합이 항등원만 포함한다면,

K

는

G \times H

와 동형이다. 이 조건의 완화, 즉 하나의 부분군만 정규일 것을 요구하면 반직접곱을 얻는다.

예를 들어,

G

와

H

를 위수가 2인 (동형사상까지 유일한) 군

C_2:

의 두 복사본, 즉

\{1, a\}

와

\{1, b\}

라고 하자. 그러면

C_2 \times C_2 = \{(1,1), (1,b), (a,1), (a,b)\}

이며 연산은 원소별로 이루어진다. 예를 들어,

(1,b)^* (a,1) = \left(1^* a, b^* 1\right) = (a, b)

이고,

(1,b)^* (1, b) = \left(1, b^2\right) = (1, 1)

이다.

직접곱을 사용하면, 다음과 같은 몇 가지 자연스러운 군 준동형사상을 얻을 수 있다:

\begin{align}\pi_1: G \times H \to G, \ \ \pi_1(g, h) &= g \\\pi_2: G \times H \to H, \ \ \pi_2(g, h) &= h\end{align}

로 정의된 사영 사상을 '''좌표 함수'''라고 한다.

또한, 직접곱에 대한 모든 준동형사상

f

는 그 성분 함수

f_i = \pi_i \circ f

에 의해 완전히 결정된다.

모든 군

(G, \circ)

와 모든 정수

n \geq 0

에 대해, 직접곱을 반복적으로 적용하면 모든

n

-튜플

G^n

의 군이 얻어진다. (

n = 0

인 경우, 이것은 자명군이다.) 예를 들어,

\Z^n

과

\R^n

이 있다.

2. 2. 가군의 직접곱

주어진 환에 대한 (좌) 가군의 경우, 유한 개의 직접곱은 직합과 같다. 그러나 무한 개의 가군들의 직접곱은 일반적으로 같은 가군들의 직합과 다르며, 직합은 직접곱의 부분 가군을 이룬다.^[1]^[2]

유한 지수

\prod_{i=1}^n X_i

에 대한 직접곱은 직합

\bigoplus_{i=1}^n X_i

과 자연스럽게 동형이다. 무한 지수의 경우 직합과 직접곱은 동형이 아니며, 직합의 요소는 유한 개수를 제외하고 모두 0이다. 이들은 범주론의 의미에서 쌍대적이다. 직합은 쌍대곱인 반면 직접곱은 곱이다.

예를 들어, 실수들의 무한 직접곱과 직합인

X = \prod_{i=1}^\infty \R

및

Y = \bigoplus_{i=1}^\infty \R

을 고려해 보자. 유한 개의 0이 아닌 요소를 갖는 수열만

Y

에 있다. 예를 들어,

(1, 0, 0, 0, \ldots)

는

Y

에 있지만

(1, 1, 1, 1, \ldots)

는 그렇지 않다. 이 두 수열 모두 직접곱

X

에 있다. 실제로,

Y

는

X

의 진부분집합이다(즉,

Y \subset X

).

2. 3. 집합의 직접곱

대수 구조로 간주하였을 때, 집합의 직접곱은 곱집합이다.

3. 예시

실수 집합 $\mathbb{R}$ 을 덧셈에 대한 군으로 생각하면, 직접곱 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 은 $\{(x,y) : x,y \in \mathbb{R}\}$ 을 기저 집합으로 가지며, 원소의 덧셈은 $(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)$ 로 정의된다.
실수 집합 $\mathbb{R}$ 을 환으로 생각하면, 직접곱 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 은 $\{(x,y) : x,y \in \mathbb{R}\}$ 을 기저 집합으로 가지며, 덧셈은 $(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)$ , 곱셈은 $(a,b)(c,d) = (ac, bd)$ 로 정의된다.
환 $\mathbb{R}$ 은 체이지만, $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 은 체가 아니다. 영이 아닌 원소 $(1,0)$ 이 곱셈 역원을 갖지 않기 때문이다.
유한 개의 대수 구조들의 직접곱도 생각할 수 있는데, 예를 들어 $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 이 있다. 직접곱은 결합 법칙과 교환 법칙을 따른다.
무한히 많은 대수 구조의 직접곱도 가능한데, 가산 무한 개의 $\mathbb{R}$ 사본의 직접곱 $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dotsb$ 을 예로 들 수 있다.
모듈의 직접곱은 군의 직접곱과 유사하게 정의되며, 덧셈은 성분별로, 스칼라 곱은 모든 성분에 분배된다. 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 은 실수 $n$ 차원 벡터 공간의 예시이며, $\mathbb{R}^m$ 과 $\mathbb{R}^n$ 의 직접곱은 $\mathbb{R}^{m+n}$ 이다.
유한 지수에 대한 직접곱은 직합과 동형이지만, 무한 지수의 경우 직합과 직접곱은 다르다. 직합의 요소는 유한 개를 제외하고 모두 0이다. 예를 들어 $X = \prod_{i=1}^\infty \mathbb{R}$ 과 $Y = \bigoplus_{i=1}^\infty \mathbb{R}$ 에서 $(1, 0, 0, 0, \ldots)$ 는 $Y$ 에 속하지만 $(1, 1, 1, 1, \ldots)$ 는 $Y$ 에 속하지 않는다. 이 두 수열은 모두 $X$ 에 속하며, $Y$ 는 $X$ 의 진부분집합이다.^[1]^[2]
위상 공간의 직접곱은 곱 위상을 사용하여 정의된다. 유한 개의 인자에 대해서는 각 인자에서 열린 부분 집합들의 데카르트 곱을 기저로 한다. 무한 곱의 경우, 유한 개를 제외한 모든 열린 부분 집합이 전체 인자가 되는 데카르트 곱을 기저로 한다.

3. 1. 군의 직접곱 예시

Klein four-group과 동형이다.

예를 들어,

G

와

H

를 위수가 2인 (동형사상까지 유일한) 군

C_2

의 두 복사본, 즉

\{1, a\}

와

\{1, b\}

라고 하자. 그러면

C_2 \times C_2 = \{(1,1), (1,b), (a,1), (a,b)\}

이며 연산은 원소별로 이루어진다. 예를 들어,

(1,b) * (a,1) = (1 * a, b * 1) = (a, b)

이고,

(1,b) * (1, b) = (1, b^2) = (1, 1)

이다.

4. 위상 공간의 직접곱

위상 공간들의 모임 $X_i$ ( $i$ 는 어떤 지수 집합 $I$ 에 속한다)에 대한 직접곱은 데카르트 곱

$\prod_{i \in I} X_i$

을 사용한다.

위상을 정의하는 것은 약간 까다롭다. 유한 개의 인자에 대해서는 각 인자에서 열린 부분 집합들의 모든 데카르트 곱들의 모임을 기저로 삼는 자연스러운 방법을 사용한다.

$\mathcal B = \left\{U_1 \times \cdots \times U_n\ : \ U_i\ \mathrm{open\ in}\ X_i\right\}.$

이 위상은 곱 위상이라고 불린다. 예를 들어, $\R$ 의 열린 집합(열린 구간들의 서로소 합집합)을 사용하여 $\R^2$ 에 직접 곱 위상을 정의하면, 이 위상의 기저는 평면에서 열린 직사각형들의 모든 서로소 합집합으로 구성된다(결과적으로 이것은 일반적인 거리 위상과 일치한다).

무한 곱에 대한 곱 위상은 모든 투영 사상을 연속으로 만들고, 곱으로의 모든 함수가 이 함수들의 모든 성분 함수가 연속인 경우에만 연속이 되도록 만들기 위해 약간의 주의가 필요하다. 열린 집합들의 기저는 각 인자에서 열린 부분 집합들의 모든 데카르트 곱들의 모임으로 하되, 열린 부분 집합들 중 유한 개를 제외한 모든 것이 전체 인자가 되어야 한다.

$\mathcal B = \left\{ \prod_{i \in I} U_i\ : \ (\exists j_1,\ldots,j_n)(U_{j_i}\ \mathrm{open\ in}\ X_{j_i})\ \mathrm{and}\ (\forall i \neq j_1,\ldots,j_n)(U_i = X_i) \right\}.$

무한히 많은 열린 부분 집합들의 곱을 취하는 것은 상자 위상을 생성하는데, 곱 함수가 연속이 아닌 연속 성분 함수들의 예시가 존재한다. 이러한 문제는 위상 정의에서 열린 집합들의 교집합이 유한 개의 집합에 대해서만 열려 있다는 사실에 기인한다.

곱 위상을 가진 곱은 하우스도르프, 연결, 콤팩트 공간과 같은 인자들의 성질을 보존한다. 특히 콤팩트 공간들의 곱이 콤팩트 공간인 것은 티호노프 정리라고 불리며, 이는 선택 공리와 동치이다.

더 자세한 내용은 곱 위상 항목을 참조하라.

5. 이항 관계의 직접곱

두 이항 관계 $R$ 과 $S$ 가 있는 두 집합의 데카르트 곱에서 $(a, b) T (c, d)$ 를 " $a R c$ 이고 $b S d$ 이다."로 정의한다. $R$ 과 $S$ 가 모두 반사 관계, 비반사 관계, 추이 관계, 대칭 관계, 또는 반대칭 관계이면, $T$ 도 마찬가지이다.^[3] 마찬가지로, $T$ 의 전체 관계는 $R$ 과 $S$ 로부터 상속된다. 속성을 결합하면 이것은 전순서와 동치 관계가 되는 경우에도 적용된다. 그러나 $R$ 과 $S$ 가 연결 관계인 경우 $T$ 는 연결될 필요가 없다. 예를 들어, $\N$ 에서 $\,\leq\,$ 의 직접 곱은 $(1, 2)$ 와 $(2, 1)$ 을 관련시키지 않는다.

6. 보편 대수학에서의 직접곱

같은 부호수(signature) $\sigma$ 를 갖는 대수 구조들의 집합 $\{A_i\}_{i\in I}$ 의 '''직접곱''' $\prod_{i\in I}A_i$ 는 다음과 같은 $\sigma$ -대수 구조이다.

집합으로서, $\prod_{i\in I}A_i$ 는 $A_i$ 들의 곱집합이다.
$\sigma$ 의 각 $n$ 항 연산 $m$ 은 $\textstyle\prod_{i\in I}A_i$ 위에 성분별로 정의된다. 즉, 다음과 같다.

::

\left(m_{\prod_{i\in I}A_i}(a^{(1)},a^{(2)},\dots,a^{(n)})\right)_i=m_{A_i}(a_i^{(1)},a^{(2)}_i,\dots,a^{(n)}_i)\qquad\forall i\in I,\,\forall a^{(1)}\dots,a^{(n)}\in\prod_{i\in I}A_i

유한 개의 대수 구조들의 직접곱의 경우,

:

\prod_{i=1}^kA_i=A_1\times A_2\times\cdots\times A_k

와 같이 쓴다.

대수적 구조 다양체의 범주에서, 이는 범주론적 곱과 같다.

\Sigma

가 고정된 시그니처이고,

I

가 임의의 (무한일 수도 있는) 인덱스 집합이며,

\left(\mathbf{A}_i\right)_{i \in I}

가

\Sigma

대수의 색인화된 족일 때, '''직접곱'''

\mathbf{A} = \prod_{i \in I} \mathbf{A}_i

는 다음과 같이 정의되는

\Sigma

대수이다.

$\mathbf{A}$ 의 전체 집합 $A$ 는 $\mathbf{A}_i$ 의 전체 집합 $A_i$ 의 데카르트 곱이며, $A = \prod_{i \in I} A_i.$ 이다.
각 $n$ 과 각 $n$ 항 연산 기호 $f \in \Sigma$ 에 대해, $\mathbf{A}$ 에서의 해석 $f^{\mathbf{A}}$ 는 성분별로 정의되며, 모든 $a_1, \dotsc, a_n \in A$ 와 각 $i \in I$ 에 대해, $f^{\mathbf{A}}\!\left(a_1, \dotsc, a_n\right)$ 의 $i$ 번째 성분은 $f^{\mathbf{A}_i}\!\left(a_1(i), \dotsc, a_n(i)\right)$ 로 정의된다.

각

i \in I

에 대해,

i

번째 투영

\pi_i : A \to A_i

는

\pi_i(a) = a(i).

로 정의된다. 이는

\Sigma

대수

\mathbf{A} \text{와 } \mathbf{A}_i.

사이의 전사 준동형 사상이다.^[4]

인덱스 집합

I = \{1, 2\}

이면, 두

\Sigma

대수

\mathbf{A}_1 \text{과 } \mathbf{A}_2

의 직접곱을 얻을 수 있으며,

\mathbf{A} = \mathbf{A}_1 \times \mathbf{A}_2.

로 표기한다.

\Sigma

가 단 하나의 이항 연산

f

만 포함하는 경우, 군의 직접곱 정의가 얻어지며, 표기법

A_1 = G, A_2 = H,

f^{A_1} = \circ, \ f^{A_2} = \cdot, \ \text{ and } f^A = \times.

를 사용한다. 마찬가지로, 가군(module)의 직접곱 정의도 여기에 포함된다.

7. 범주론적 곱

직접곱은 임의의 범주로 추상화될 수 있다. 범주에서 집합 $I$ 에 의해 인덱싱된 객체 모음 $(A_i)_{i \in I}$ 가 주어지면, 이러한 객체의 '''곱'''은 모든 $i \in I$ 에 대해 사상 $p_i \colon A \to A_i$ 와 함께 객체 $A$ 이며, 만약 $B$ 가 모든 $i \in I$ 에 대해 사상 $f_i \colon B \to A_i$ 를 갖는 다른 객체라면, 모든 $i$ 에 대해 $p_i$ 와의 합성이 $f_i$ 와 같은 고유한 사상 $B \to A$ 가 존재한다.

이러한 $A$ 와 $(p_i)_{i \in I}$ 가 항상 존재하는 것은 아니다. 만약 존재한다면, $(A,(p_i)_{i \in I})$ 는 동형사상까지 유일하며, $A$ 는 $\prod_{i \in I} A_i$ 로 표시된다.

군 범주의 특별한 경우, 곱은 항상 존재한다. $\prod_{i \in I} A_i$ 의 기본 집합은 $A_i$ 의 기본 집합의 데카르트 곱이고, 군 연산은 성분별 곱셈이며, (준)동형사상 $p_i \colon A \to A_i$ 는 각 튜플을 해당 $i$ 번째 좌표로 보내는 투영이다.

8. 내부 및 외부 직접곱

일부 저자는 '''내부 직접곱'''과 '''외부 직접곱'''을 구별한다. 예를 들어, ''A''와 ''B''가 덧셈 아벨 군 ''G''의 부분군이고, ''A'' + ''B'' = ''G''이고 ''A'' ∩ ''B'' = {0}인 경우, ''A'' × ''B'' ≅ ''G''이며, ''G''를 ''A''와 ''B''의 "내부" 직접곱이라고 말한다. 모호성을 피하기 위해, 집합 {(''a'',''b'') | ''a'' ∈ ''A'', ''b'' ∈ ''B''}를 ''A''와 ''B''의 "외부" 직접곱이라고 지칭할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Direct Product http://mathworld.wol[...] 2018-02-10
_[2] 웹사이트 Group Direct Product http://mathworld.wol[...] 2018-02-10
_[3] 웹사이트 Equivalence and Order http://cr.yp.to/2005[...]
_[4] 서적 A Course in Universal Algebra. http://www.thoralf.u[...] Springer-Verlag 1981

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