지수함수 적분표

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1. 개요
2. 부정적분
3. 정적분
참조

1. 개요

지수함수 적분표는 지수 함수를 포함하는 다양한 함수의 부정 적분과 정적분 공식을 정리한 문서이다. 부정 적분은 미분의 역연산으로, 지수 함수, 다항식, 삼각 함수, 오차 함수 등을 포함하는 함수의 적분 공식을 제공한다. 정적분은 주어진 구간에서 함수의 적분 값을 계산하며, 가우스 적분, 삼각 함수, 그리고 다양한 지수 함수와 관련된 적분 공식을 포함한다.

2. 부정적분

부정적분은 미분 연산의 역연산으로, 주어진 함수의 도함수를 가지는 모든 함수(역도함수)를 찾는 연산이다. 이 문서에서는 적분 상수 $C$ 는 생략한다.

2. 1. 지수 함수만 포함하는 함수의 적분

다음은 지수 함수 적분표의 부정 적분 목록이다. 오른쪽에 오는 적분 상수는 생략했다.

:

\int f'(x)e^{f(x)}\;\mathrm{d}x = e^{f(x)}

:

\int e^{cx}\;\mathrm{d}x = \frac{1}{c} e^{cx}

:

\int a^{cx}\;\mathrm{d}x = \frac{1}{c\cdot \ln a} a^{cx}

(a^영어 > 0, a^영어 ≠ 1)

:

\int xe^{cx}\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)

:

\int x^2 e^{cx}\;\mathrm{d}x = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)

:

\int x^n e^{cx}\; \mathrm{d}x = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} \mathrm{d}x = \left( \frac{\partial}{\partial c} \right)^n \frac{e^{cx}}{c}

:

\int\frac{e^{cx}}{x}\; \mathrm{d}x = \ln|x| +\sum_{n=1}^\infty\frac{(cx)^n}{n\cdot n!}

:

\int\frac{e^{cx}}{x^n}\; \mathrm{d}x = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,\mathrm{d}x\right)

(n^영어≠ 1)

:

\int e^{cx}\ln x\; \mathrm{d}x = \frac{1}{c}\left(e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)\right)

:

\int e^{cx}\sin bx\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)

:

\int e^{cx}\cos bx\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)

:

\int e^{cx}\sin^n x\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;\mathrm{d}x

:

\int e^{cx}\cos^n x\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;\mathrm{d}x

:

\int x e^{c x^2 }\; \mathrm{d}x= \frac{1}{2c} \;  e^{c x^2}

:

\int e^{-c x^2 }\; \mathrm{d}x= \sqrt{\frac{\pi}{4c}} \operatorname{erf}(\sqrt{c} x)

(erf^영어는 오차 함수)

:

\int xe^{-c x^2 }\; \mathrm{d}x=-\frac{1}{2c}e^{-cx^2}

:

\int\frac{e^{-x^2}}{x^2}\; \mathrm{d}x = -\frac{e^{-x^2}}{x} - \sqrt{\pi} \mathrm{erf} (x)

:

\int {\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }}\; \mathrm{d}x= \frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)

:

\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\,\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\;\mathrm{d}x

(n^영어 > 0)

: 여기서

c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{(2j)\,!}{j!\, 2^{2j+1}}

로 한다.

:

{\int \underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}_m \,dx= \int x\uparrow\uparrow m \,dx= \int x\to m\to 2 \,dx= \sum_{n=0}^m\frac{(-1)^n(n+1)^{n-1}}{n!}\Gamma(n+1,- \ln x) + \sum_{n=m+1}^\infty(-1)^na_{mn}\Gamma(n+1,-\ln x)

(for x^영어> 0)

:: 여기서

a_{mn}=\begin{cases}1   & n = 0, \\ \frac{1}{n!}  m=1, \\ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}ja_{m,n-j}a_{m-1,j-1}  &\text{otherwise} \end{cases}

::

\Gamma(x,y)

는 감마 함수,

\uparrow

는 크누스 화살표 표기,

\to

는 콘웨이 사슬 표기

:

\int \frac{1}{ae^{\lambda x} + b} \; \mathrm{d}x = \frac{x}{b} - \frac{1}{b \lambda} \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right)

(b^영어 ≠ 0, λ^영어 ≠ 0, 그리고

ae^{\lambda x} + b > 0

)

:

\int \frac{e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x} + b} \; \mathrm{d}x = \frac{1}{a^2 \lambda} \left[a e^{\lambda x} + b - b \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right) \right]

(a^영어 ≠ 0, λ^영어 ≠ 0, 그리고

ae^{\lambda x} + b > 0

)

2. 2. 다항식을 포함하는 함수의 적분

:

\int xe^{cx}\,dx = e^{cx}\left(\frac{cx-1}{c^{2}}\right)

:

\int x^2 e^{cx}\,dx = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)

:

\begin{align}\int x^n e^{cx}\,dx &= \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} \,dx \\&= \left( \frac{\partial}{\partial c} \right)^n \frac{e^{cx}}{c} \\&= e^{cx}\sum_{i=0}^n (-1)^i\frac{n!}{(n-i)!c^{i+1}}x^{n-i} \\&= e^{cx}\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}\frac{n!}{i!c^{n-i+1}}x^i\end{align}

:

\int\frac{e^{cx}}{x}\,dx = \ln|x| +\sum_{n=1}^\infty\frac{(cx)^n}{n\cdot n!}

:

\int\frac{e^{cx}}{x^n}\,dx = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,dx\right)

(단,

n\neq 1

)

2. 3. 삼각함수를 포함하는 함수의 적분

\int e^{cx}\sin bx\,dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx) = \frac{e^{cx}}{\sqrt{c^2+b^2}}\sin(bx-\phi)

(이때

\cos(\phi) = \frac{c}{\sqrt{c^2+b^2}}

)

\int e^{cx}\cos bx\,dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx) = \frac{e^{cx}}{\sqrt{c^2+b^2}}\cos(bx-\phi)

(이때

\cos(\phi) = \frac{c}{\sqrt{c^2+b^2}}

)

\int e^{cx}\sin^n x\,dx = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\,dx

\int e^{cx}\cos^n x\,dx = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\,dx

2. 4. 오차 함수와 관련된 함수의 적분

다음은 오차 함수(erf) 및 지수 적분 함수(Ei)와 관련된 함수의 적분 공식이다. (적분 상수는 생략)

:

\int e^{cx}\ln x\,dx = \frac{1}{c}\left(e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}(cx)\right)

:

\int x e^{c x^2 }\,dx= \frac{1}{2c} e^{c x^2}

:

\int e^{-c x^2 }\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{4c}} \operatorname{erf}(\sqrt{c} x)

:

\int xe^{-c x^2 }\,dx=-\frac{1}{2c}e^{-cx^2}

:

\int\frac{e^{-x^2}}{x^2}\,dx = -\frac{e^{-x^2}}{x} - \sqrt{\pi} \operatorname{erf} (x)

:

\int {\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }}\,dx= \frac{1}{2}\operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)

2. 5. 기타 적분

:

\int e^{x^2}\,dx = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\,dx

(이때

c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{(2j)!}{j!2^{2j+1}}

이고, 모든

n>0

에 대해 성립한다.)

:

{\int \underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}_mdx= \sum_{n=0}^m\frac{(-1)^n(n+1)^{n-1}}{n!}\Gamma(n+1,- \ln x) + \sum_{n=m+1}^\infty(-1)^na_{mn}\Gamma(n+1,-\ln x)  \qquad\text{(for }x> 0\text{)}}

: (이때

a_{mn}=\begin{cases}1   &\text{if } n = 0, \\ \\ \dfrac{1}{n!} &\text{if } m=1, \\ \\ \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}ja_{m,n-j}a_{m-1,j-1}  &\text{otherwise} \end{cases}

이고,

\Gamma(x,y)

는 불완전 감마 함수이다.)

:

\int \frac{1}{ae^{\lambda x} + b} \,dx = \frac{x}{b} - \frac{1}{b \lambda} \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right)

(이때

b \neq 0

,

\lambda \neq 0

이고

ae^{\lambda x} + b > 0

이다.)

:

\int \frac{e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x} + b} \,dx = \frac{1}{a^2 \lambda} \left[a e^{\lambda x} + b - b \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right) \right]

(이때

a \neq 0

,

\lambda \neq 0

이고

ae^{\lambda x} + b > 0

이다.)

:

\int \frac{ae^{cx}-1}{be^{cx}-1}\,dx=\frac{(a-b)\log(1-be^{cx})}{bc}+x.

3. 정적분

다음은 지수함수의 정적분 공식들이다.

:: $\int_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\,dx= \frac{a-b}{\ln a - \ln b}$ (a > 0, b > 0, a ≠ b)

위 적분식의 마지막 값은 로그 평균을 뜻한다.

:: $\int_0^{\infty} e^{-ax}\,dx=\frac{1}{a} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)$

:: $\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\,dx=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$ (가우스 적분)

:: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$

:: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-\frac{b}{x^2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-2\sqrt{ab}} \quad (a,b>0)$

:: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(ax^2 + bx)}\,dx= \sqrt{\pi \over a}e^{\tfrac{b^2}{4a}} \quad(a > 0)$

:: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-2bx}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0)$

:: $\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,dx= b \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)$

:: $\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-ax^2+bx}\,dx= \frac{ \sqrt{\pi} b }{2a^{3/2}} e^{\frac{b^2}{4a}} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)$

:: $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,dx=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)$

:: $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-(ax^2+bx)}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}(2a+b^2)}{4a^{5/2}} e^{\frac{b^2}{4a}} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)$

:: $\int_{-\infty}^{\infty} x^3 e^{-(ax^2+bx)}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}(6a+b^2)b}{8a^{7/2}} e^{\frac{b^2}{4a}} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)$

:: $\int_0^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,dx =\begin{cases}\dfrac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\left(a^\frac{n+1}{2}\right) } & (n>-1,\ a>0) \\ \\\dfrac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} & (n=2k,\ a>0) \\ \\\dfrac{k!}{2(a^{k+1})} & (n=2k+1,\ a>0)\end{cases}$

:: (이때 $k$ 는 정수, $!!$ 는 이중계승이다.)

:: $\int_0^{\infty} x^n e^{-ax}\,dx =\begin{cases}\dfrac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,\ \operatorname{Re}(a)>0) \\ \\\dfrac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,\ \operatorname{Re}(a)>0)\end{cases}$

:: $\int_0^{1} x^n e^{-ax}\,dx =\frac{n!}{a^{n+1}}\left[1-e^{-a}\sum_{i=0}^{n} \frac{a^i}{i!}\right]$

:: $\int_0^{b} x^n e^{-ax}\,dx =\frac{n!}{a^{n+1}}\left[1-e^{-ab}\sum_{i=0}^{n} \frac{(ab)^i}{i!}\right]$

:: $\int_0^\infty e^{-ax^b} dx = \frac{1}{b}\ a^{-\frac{1}{b}}\Gamma\left(\frac{1}{b}\right)$

:: $\int_0^\infty x^n e^{-ax^b} dx = \frac{1}{b}\ a^{-\frac{n+1}{b}}\Gamma\left(\frac{n+1}{b}\right)$

:: $\int_0^{\infty} e^{-ax}\sin bx\,dx = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)$

:: $\int_0^{\infty} e^{-ax}\cos bx\,dx = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)$

:: $\int_0^{\infty} xe^{-ax}\sin bx\,dx = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)$

:: $\int_0^{\infty} xe^{-ax}\cos bx\,dx = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)$

:: $\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin bx}{x}\,dx=\arctan \frac{b}{a}$

:: $\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,dx=\ln \frac{b}{a}$

:: $\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} \sin px \, dx=\arctan \frac{b}{p} - \arctan \frac{a}{p}$

:: $\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} \cos px \, dx=\frac{1}{2} \ln \frac{b^2+p^2}{a^2+p^2}$

:: $\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax} (1-\cos x)}{x^2}\,dx=\arccot a - \frac{a}{2}\ln (a^2+1)$

:: $\int_0^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_0(x)$ (''I''₀^영어는 제1종 변형 베셀 함수이다.)

:: $\int_0^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_0 \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)$

:: $\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x/z-1} \,dx = \operatorname{Li}_{s}(z)\Gamma(s),$ ( $\operatorname{Li}_{s}(z)$ 는 다중로그이다.)

:: $\int_0^\infty\frac{\sin mx}{e^{2 \pi x}-1} \,dx = \frac{1}{4} \coth \frac{m}{2} - \frac{1}{2m}$

:: $\int_0^\infty e^{-x} \ln x\, dx = - \gamma,$ ( $\gamma$ 는 오일러-마스케로니 상수이다.)

:: $\int_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm{d}x =\frac{a-b}{\ln a - \ln b}$ ( $a > 0,\ b > 0,\ a \ne b$ )

:: $\int_{0}^{\infty} e^{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{-a} \quad (\operatorname{Re}(a)<0)$

:: $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$ ( 가우스 적분 )

:: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$

:: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-2bx}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0)$ ( 가우스 함수의 적분 )

:: $\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,\mathrm{d}x= b \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)$

:: $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)$

:: $\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x =\begin{cases}\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)/a^{\frac{n+1}{2}} & (n>-1,a>0) \\\frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\frac{\pi}{a}} & (n=2k, k \;\text{integer}, a>0) \\\frac{k!}{2a^{k+1}} & (n=2k+1,k \;\text{integer}, a>0)\end{cases}$ ( !! 는 이중 계승 )

:: $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x =\begin{cases}\frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,a>0) \\\frac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,a>0) \\\end{cases}$

:: $\int_0^\infty e^{-ax^b} dx = \frac{1}{b}\ a^{-\frac{1}{b}} \, \Gamma\left(\frac{1}{b}\right)$

:: $\int_0^\infty x^n e^{-ax^b} dx = \frac{1}{b}\ a^{-\frac{n+1}{b}} \, \Gamma\left(\frac{n+1}{b}\right)$

:: $\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)$

:: $\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)$

:: $\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)$

:: $\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)$

:: $\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ ( $I_{0}$ 는 변형 베셀 함수 )

:: $\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)$

:: $\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x/z-1} \,dx = \operatorname{Li}_{s}(z)\Gamma(s),$

::여기서 $\operatorname{Li}_{s}(z)$ 는 폴리로그 함수이다.

:: $\int_0^\infty\frac{\sin mx}{e^{2 \pi x}-1} \,dx = \frac{1}{4} \coth \frac{m}{2} - \frac{1}{2m}$

:: $\int_0^\infty e^{-x} \ln x\, dx = - \gamma,$

::여기서 $\gamma$ 는 오일러-마스케로니 상수이다.

마지막으로, 잘 알려진 결과는 다음과 같다.

: $\int_0^{2 \pi} e^{i(m-n)\phi} d\phi = 2 \pi \delta_{m,n} \qquad\text{for }m,n\in\mathbb{Z}$

::여기서 $\delta_{m,n}$ 는 크로네커 델타이다.

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