차원 조절

1. 개요

차원 조절은 상대론적 라그랑지언을 임의의 차원에서 쓸 수 있다는 점을 이용하여, 파인만 도표를 복소 차원으로 해석적 연속하는 방법이다. 이는 발산하는 파인만 도표를 조절하여 유한한 값을 얻게 해주는 기술로, 재규격화 과정에서 사용된다. 1972년 헤라르뒤스 엇호프트와 마르티뉘스 펠트만이 양-밀스 이론의 재규격화를 위해 도입했으며, 한국에서도 1970년대 후반부터 입자물리학 및 양자장론 연구에 활용되었다.

2. 정의

대부분의 상대론적 라그랑지언은 임의의 양의 정수 차원에서 쓸 수 있다. (단, 레비치비타 기호는 특정한 차원에서만 쓸 수 있어 예외다.) 따라서 파인만 도표를 차원에 대한 함수로 계산할 수 있고, 이렇게 얻어진 함수는 정칙함수이므로 임의의 복소수 차원 $d$로 해석적 연속할 수 있다. 파인만 도표를 $d=4$ 근처에서 테일러 급수로 쓰면, $1/\backslash epsilon=1/(4-d)$의 급수로 도표가 발산하는 정도를 나타낼 수 있다. 이를 차원 조절이라고 부른다.

2.1. 차원 조절의 특징

차원 조절로 얻는 식은 모두 로그로 발산한다. 즉, 재규격화 에너지 $\backslash Lambda$를 포함하면, $1/\backslash epsilon$으로 나타내어지는 발산은 재규격화 에너지의 로그에 비례한다. 이는 차원 조절이 선형, 이차, 삼차 등의 발산을 숨기기 때문이다. 차원 조절 후에는 일반적으로 최소뺄셈방식(MS 방식) 또는 수정 최소뺄셈방식($\backslash overline\{\backslash mathrm\{MS\}\}$ 방식)으로 재규격화한다.

3. 예제

4차원에서 로그적으로 발산하는 고리 적분을 생각해 보자.

:$\backslash int\backslash frac\{d^dp\}\{(2\backslash pi)^d\}\backslash frac\{1\}\{\backslash left(p^2+m^2\backslash right)^2\}$

차원을 4-ε으로 적고, ε을 0으로 보내면, 다음과 같이 적분이 수렴하고 모든 값이 유한하게 된다.

:$\backslash lim\_\{\backslash varepsilon\backslash rightarrow\; 0^+\}\backslash int\; \backslash frac\{dp\}\{(2\backslash pi)^\{4-\backslash varepsilon\}\}\; \backslash frac\{2\backslash pi^\{(4-\backslash varepsilon)/2\}\}\{\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{4-\backslash varepsilon\}\{2\}\backslash right)\}\; \backslash frac\{p^\{3-\backslash varepsilon\}\}\{\backslash left(p^2+m^2\backslash right)^2\}.$

3.1. 로그 발산 적분

4차원에서 로그적으로 발산하는 고리 적분을 고려한다. 차원을 4-ε으로 적고, ε을 0으로 보내면 적분이 수렴하고 모든 값이 유한하게 된다.

3.2. 무한히 긴 전하선의 전위

전하 밀도가 s^영어인 무한히 긴 전하선을 고려하여, 선에서 거리 x^영어만큼 떨어진 점의 전위를 계산해 본다. 적분은 다음과 같이 발산한다.

:$V(x)\; =\; A\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash frac\{dy\}\{\backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}\}$

여기서 $A\; =\; s/(4\backslash pi\backslash epsilon\_0)$이다.

전하선은 1차원 "구면 대칭"(1차원에서는 단순히 거울 대칭)을 가지므로, 구면 대칭성을 활용하여 적분을 다시 쓸 수 있다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash frac\{dy\}\{\backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}\}\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash sqrt\{(x/x\_0)^2\; +\; t^2\}\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{vol\}(S^1)\; dr\}\{\backslash sqrt\{(x/x\_0)^2\; +\; r^2\}\}$

여기서 먼저 단위 길이 $x\_0$로 나누어 길이 의존성을 제거한 다음, $\backslash R^1$에 대한 적분을 1-구 $S^1$에 대한 적분으로 변환하고, 이어서 1-구의 모든 반지름에 대한 적분을 수행했다.

이제 이것을 차원 $d$로 일반화한다. d-구의 부피는 $\backslash frac\{2\backslash pi^\{d/2\}\}\{\backslash Gamma(d/2)\}$이며, 여기서 $\backslash Gamma$는 감마 함수이다. 이제 적분은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{2\backslash pi^\{d/2\}\}\{\backslash Gamma(d/2)\}\backslash int\_\{0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{r^\{d-1\}dr\}\{\backslash sqrt\{(x/x\_0)^2\; +\; r^2\}\}$

$d\; =\; 1-\backslash epsilon$일 때, 적분은 꼬리 부분에 의해 지배된다. 즉, 다음과 같다.

:$\backslash int\_\{0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{r^\{d-1\}dr\}\{\backslash sqrt\{(x/x\_0)^2\; +\; r^2\}\}\; \backslash sim\; \backslash int\_c^\backslash infty\; r^\{d-2\}dr\; =\; \backslash frac\{1\}\{d-1\}c^\{d-1\}\; =\; \backslash epsilon^\{-1\}\; c^\{-\backslash epsilon\},$

여기서 $c\; =\; \backslash Theta(x/x\_0)$(빅 세타 표기법)이다. 따라서 $V(x)\backslash sim\; (x\_0/x)^\backslash epsilon/\backslash epsilon$이고, 따라서 전기장은 $V\text{'}(x)\; \backslash sim\; x^\{-1\}$이 된다.

4. 역사

헤라르뒤스 엇호프트와 마르티뉘스 펠트만, 카를로스 볼리니(Carlos Bollini), 후안 호세 잠비아기(Juan Jose Giambiagi), J. F. 애시모어(J. F. Ashmore)가 1972년에 도입하였다. 엇호프트와 펠트만은 양-밀스 이론을 재규격화하기 위해 차원 조절을 도입하였다.