오일러-매클로린 공식

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1. 개요
2. 공식
- 2.1. 나머지 항
- 2.2. 저차수 사례
3. 응용
4. 증명
참조

1. 개요

오일러-매클로린 공식은 적분과 합 사이의 관계를 나타내는 수학 공식으로, 주어진 함수를 적분한 값과 해당 함수를 이산적으로 합한 값의 차이를 고차 도함수를 사용하여 표현한다. 이 공식은 자연수 m과 n, 그리고 구간 [m, n]에서 정의된 연속 함수 f(x)에 대해, 합과 적분 간의 근사 관계를 제공하며, 베르누이 수와 나머지 항을 포함하는 형태로 표현된다. 오일러-매클로린 공식은 바젤 문제 해결, 다항식 합 계산, 적분 근사, 그리고 급수의 점근적 확장에 이르기까지 다양한 분야에 응용된다. 이 공식은 부분 적분과 베르누이 다항식의 성질을 이용하여 수학적 귀납법으로 증명된다.

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오일러-매클로린 공식
일반 정보
이름	오일러-매클로린 공식
분야	수학, 미적분학, 수치해석
유형	근사식, 수렴, 점근 전개
공식
공식 표현	1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)) + R_m$$`
변수 설명	f(x): 적분 가능한 함수 a, b: 적분 구간의 시작과 끝 B_{2k}: 2k번째 베르누이 수 f^(2k-1): f의 (2k-1)번째 도함수 R_m: 나머지 항
관련 개념
관련 공식	테일러 급수 베르누이 수 푸아송 합 공식
활용
주요 응용	수치 적분 점근 급수 계산 급수의 근사값 계산
역사
창시자	레온하르트 오일러, 콜린 매클로린
발표 시기	18세기
기타
중요성	수치해석 및 미적분학에서 중요한 도구로 사용됨

2. 공식

m과 n이 자연수이고 f(x)가 구간 [m, n]에서 연속인 실수 또는 복소수 값 함수인 경우, 다음 적분을 합으로 근사할 수 있으며, 그 반대도 가능하다. ( 사각형 방법 참조).

$I = \int_m^n f(x)\,dx$

$S = f(m + 1) + \cdots + f(n - 1) + f(n)$

오일러-매클로린 공식은 구간의 끝점(x=m, x=n)에서 평가된 고차 도함수 f^(k)(x)를 사용하여 합과 적분 간의 차이를 나타낸다.

구체적으로, p가 양의 정수이고 f(x)가 구간 [m, n]에서 p번 연속적으로 미분 가능한 함수라면 다음이 성립한다.^[8]^[9]

$S - I = \sum_{k=1}^p {\frac{B_k}{k!} \left(f^{(k - 1)}(n) - f^{(k - 1)}(m)\right)} + R_p,$

여기서 B_k는 k번째 베르누이 수 (B₁ = 1/2)이고, R_p는 n, m, p, 및 f에 의존하는 오차 항이며, 적절한 p에 대해 작은 값이다.

B₁을 제외한 홀수 베르누이 수는 0이므로, 짝수 첨자만 취하여 공식을 쓰기도 한다. 이 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\sum_{i=m}^n f(i) =\int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(m)}{2} +\sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p,$

또는

$\sum_{i=m+1}^n f(i) =\int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(m)}{2} +\sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p.$

베르누이 다항식의 성질을 이용하여 유한 번 부분 적분을 반복하고, 관련된 값들을 대입하여 형식을 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$\sum_{j=0}^{n-1}f(j)=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}$

$\sum_{j=1}^{n-1}f(j)+\frac{1}{2}\left(f(0)+f(n)\right)=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}$

2. 1. 나머지 항

일반적으로 적분값이 합산값과 정확하게 같지 않기 때문에 나머지 항이 발생한다. 이 공식은 r^영어이 m^영어, m + 1^영어, …, n − 1^영어일 때, 연속적인 구간 [r, r + 1]^영어에 대하여 부분 적분을 반복적으로 적용하여 유도할 수 있다. 이러한 적분의 경계 항은 공식의 주요 항으로 유도되고, 잔류 적분은 나머지 항을 형성한다.

나머지 항은 주기화된 베르누이 함수 P_k(x)^영어로 정확하게 표현된다. 베르누이 다항식은 B₀(x) = 1^영어로 정의되며, k ≥ 1^영어인 경우 아래와 같이 재귀적으로 정의된다.

\begin{align}B_k'(x) &= kB_{k - 1}(x), \\\int_0^1 B_k(x)\,dx &= 0.\end{align}

주기화된 베르누이 함수는 다음 식으로 정의된다.

P_k(x) = B_k\bigl(x - \lfloor x\rfloor\bigr)

여기서 ⌊x⌋^영어는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 나타내므로, x − ⌊x⌋^영어는 항상 구간 [0, 1)^영어에 있다.

이 표기법에서 나머지 항 R_p^영어는 다음과 같다.

R_p = (-1)^{p+1}\int_m^n f^{(p)}(x) \frac{P_p(x)}{p!}\,dx.

k > 0^영어일 때, 다음 식이 성립한다.

\bigl|B_k(x)\bigr| \le \frac{2 \cdot k!}{(2\pi)^k}\zeta(k),

여기서 ζ^영어는 리만 제타 함수를 나타낸다. 이 부등식을 증명하는 한 가지 방법은 다항식 B_k(x)^영어에 대한 푸리에 급수를 얻는 것이다. 한곗값은 x^영어가 0일 때 짝수 k^영어에 대하여 달성된다. 홀수 k^영어에 대해서는 ζ(k)^영어 항을 생략할 수 있지만, 이 경우 증명은 더 복잡하다(레머 참조).^[10] 이 부등식을 사용하여 나머지 항의 크기를 다음과 같이 추정할 수 있다.

\left|R_p\right| \leq \frac{2 \zeta(p)}{(2\pi)^p}\int_m^n \left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.

2. 2. 저차수 사례

''B''₁부터 ''B''₇까지의 베르누이 수는 1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0이다. 따라서 오일러-매클로린 공식의 저차수 값은 다음과 같다.

:

\sum_{i=m}^n f(i) - \int_m^n f(x)\,dx = \frac{f(m)+f(n)}{2} + \int_m^n f'(x)P_1(x)\,dx

:

= \frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \int_m^n f''(x)\frac{P_2(x)}{2!}\,dx

:

= \frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} + \int_m^n f'''(x)\frac{P_3(x)}{3!}\,dx

:

= \frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!}-\int_m^n f^{(4)}(x) \frac{P_4(x)}{4!}\, dx

:

= \frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!} + \int_m^n f^{(5)}(x)\frac{P_5(x)}{5!}\,dx

:

= \frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!} + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n) - f^{(5)}(m)}{6!} - \int_m^n f^{(6)}(x)\frac{P_6(x)}{6!}\,dx

:

= \frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!} + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n) - f^{(5)}(m)}{6!} + \int_m^n f^{(7)}(x)\frac{P_7(x)}{7!}\,dx.

3. 응용

오일러-매클로린 공식은 다양한 분야에서 활용된다.

정적분 근사: 정적분을 근사하는 데 사용된다. 적분 구간의 양 끝점을 $a$, $b$라 하고, 사용할 점의 수를 $N$으로 고정하면, 단계 크기 $h = \frac{b-a}{N-1}$가 된다. 이때, $x_i = a + (i-1)h$로 두면, $x_1 = a$ 및 $x_N = b$이다. 이를 통해 수정 항을 포함하여 사다리꼴 공식을 확장한 형태로 적분을 근사할 수 있다.^[12]^[4]
합의 점근적 확장: 합과 급수의 점근 전개를 계산하는 데 유용하게 사용된다.^[13] 특히, 폴리감마 함수와 감마 함수와 관련된 점근적 확장을 유도하는 데 사용된다.
바젤 문제: 오일러는 1735년에 이 공식의 몇몇 항만을 사용하여 바젤 문제의 합을 소수점 20자리까지 계산했다. 이는 그가 이 합이 $\pi^2/6$ 과 같다는 것을 확신하게 했으며, 같은 해에 이를 증명했다.^[11]
다항식 포함 합: ''f''가 다항식이고 ''p''가 충분히 크면 나머지 항은 사라진다. 예를 들어 ''f''(''x'') = ''x''³이면, ''p'' = 2를 선택하여 파울하버 공식과 관련된 식을 얻을 수 있다.
수치 직교 오차 분석: 완만한 주기 함수에 대한 사다리꼴 규칙의 우수한 성능을 설명하고, 특정한 외삽법에 사용된다.

3. 1. 바젤 문제

바젤 문제는 아래 합을 구하는 것이다.

1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.

오일러는 1735년에 오일러-매클로린 공식의 몇몇 항만을 사용하여 이 합을 소수점 20자리까지 계산했다. 이는 그가 이 합이

\pi^2/6

과 같다는 것을 확신하게 했을 것이며, 그는 같은 해에 이를 증명했다.^[11]

3. 2. 다항식을 포함하는 합

만일 ''f''가 다항식이고 ''p''가 충분히 크면 나머지 항은 사라진다. 예를 들어 ''f''(''x'') = ''x''³이면 ''p'' = 2를 선택하여 단순화하면 다음을 얻을 수 있다.

:

\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2.

이는 파울하버 공식과 관련이 있다.

3. 3. 적분의 근사

오일러-매클로린 공식은 정적분을 근사하는 데 사용된다. 적분 구간의 양 끝점을 $a$, $b$라 하고, 근사에 사용할 점의 수를 $N$으로 고정하면, 단계 크기 $h = \frac{b-a}{N-1}$가 된다. 이때, $x_i = a + (i-1)h$로 두면, $x_1 = a$ 및 $x_N = b$이다. 그러면 다음과 같은 식으로 적분을 근사할 수 있다.^[12]^[4]

:

\begin{align}I & = \int_a^b f(x)\,dx \\&\sim h\left(\frac{f(x_1)}{2} + f(x_2) + \cdots + f(x_{N-1}) + \frac{f(x_N)}{2}\right) + \frac{h^2}{12}\bigl[f'(x_1) - f'(x_N)\bigr] - \frac{h^4}{720}\bigl[f'''(x_1) - f'''(x_N)\bigr] + \cdots\end{align}

이 식은 수정 항을 포함하여 사다리꼴 공식을 확장한 것으로 볼 수 있다. 이 점근적 확장은 일반적으로 수렴하지 않는다. 즉, $f$와 $h$에 따라 어떤 $p$가 존재하여, $p$ 차수를 넘는 항이 빠르게 증가한다. 따라서 나머지 항은 일반적으로 세심한 주의가 필요하다.^[12]^[4]

오일러-매클로린 공식은 수치 직교에서 상세한 오차 분석에도 사용된다. 이 식은 완만한 주기 함수에 대한 사다리꼴 규칙의 우수한 성능을 설명하고, 특정한 외삽법에 사용된다. 클렌쇼-커티스 적분은 본질적으로 임의의 적분을 오일러-매클로린 접근법이 매우 정확한 주기 함수의 적분으로 변환하는 변수 변환이다(이 경우 오일러-매클로린 공식은 이산 코사인 변환의 형태를 취한다). 이 기법은 주기화 변환으로 알려져 있다.

3. 4. 합의 점근적 확장

오일러-매클로린 공식은 합과 급수의 점근 전개를 계산하는 데 유용하게 사용된다.^[13] 특히, 폴리감마 함수와 감마 함수와 관련된 점근적 확장을 유도하는 데 사용된다.

예를 들어, 1차 폴리감마 함수 *ψ*⁽¹⁾(*z*)는 다음과 같이 정의된다.

: *ψ*⁽¹⁾(*z*) = *d*²/*dz*²log Γ(*z*)

여기서 감마 함수 Γ(*z*)는 *z*가 양의 정수일 때 (*z* − 1)!와 같다. 이를 통해 *ψ*⁽¹⁾(*z*)에 대한 점근 전개를 얻을 수 있다. 이 전개는 팩토리얼 함수의 스털링 근사에 대한 정확한 오차 추정을 유도하는 데 사용된다.

만약 *s*가 1보다 큰 정수라면, 다음 식이 성립한다.

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s} \approx \frac 1{s-1}+\frac 12-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^s}+\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\left[\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!}-\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}\right].$$

상수를 리만 제타 함수의 값으로 묶으면 다음과 같은 점근 급수를 얻을 수 있다.

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s} \sim\zeta(s)-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^s}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}.$$

s* = 2일 때, 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \sim \frac{\pi^2}{6} -\frac{1}{n} +\frac{1}{2n^2} -\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{30n^5}-\frac{1}{42n^7} + \cdots.$$

s* = 1일 때는 조화수에 대한 점근적 확장을 얻을 수 있다.

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim \gamma + \log n + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}}.$$

여기서 *γ* ≈ 0.5772...는 오일러-마스케로니 상수이다.^[5]

4. 증명

오일러-매클로린 공식은 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다. 증명 과정은 다음과 같이 요약될 수 있다.^[8]^[6]

1. 베르누이 다항식과 주기적 베르누이 함수 정의:

베르누이 다항식 ()은 에 대해 정의된다.
주기적 베르누이 함수 ()는 구간 [0, 1]에서 베르누이 다항식과 일치하며, 주기 1을 갖는 주기 함수이다.
인 경우를 제외하고 ()는 연속이다.

처음 몇 개의 베르누이 다항식은 다음과 같다.

n	B_n(x)
0	1
1
2
3
4

2. 부분 적분:

''k''를 정수로 두고, 적분 를 부분 적분을 이용하여 변형한다.
, , , 로 설정하고 부분 적분을 적용하면,

를 얻는다.

3. 합산:

위 식을 부터 까지 더하고, , 를 이용하여 정리하면,

를 얻는다. 이는 오일러-매클로린 공식의 인 경우이다.

4. 귀납적 단계:

오차 항 에 대해 부분 적분을 반복적으로 적용한다.
, , , 로 설정하고 부분 적분을 적용하면, 오차 항은 더 높은 차수의 도함수와 베르누이 다항식을 포함하는 형태로 변환된다.
이 과정을 반복하면, 오일러-매클로린 공식의 일반적인 형태를 얻을 수 있다.

5. 베르누이 다항식의 성질 이용 (일본어 위키백과 문서):베르누이 다항식의 성질을 이용하여 부분 적분을 반복하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\int_{0}^1f(x)dx=\int_{0}^1B_0(x)f(x)dx=\sum_{k=1}^{m}\left[(-1)^{k-1}\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k-1)}(x)\right]_0^1+(-1)^{m}\int_{0}^1\frac{B_{m}(x)}{m!}f^{(m)}(x)dx

이 식에서

f(x)

를

f(j+x)

로 치환하여 적용하고, 에 대해 0부터 n-1까지 더하면 오일러-매클로린 공식을 유도할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences http://dlmf.nist.gov[...] National Institute of Standards and Technology
_[2] 논문 On the maxima and minima of Bernoulli polynomials 1940
_[3] 서적 Euler at 300 Mathematical Association of America
_[4] 서적 A first course in computational physics. Jones and Bartlett Publishers
_[5] 서적 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables Dover Publications
_[6] 논문 An Elementary View of Euler's Summation Formula Mathematical Association of America 1999-05-01
_[7] 간행물 Springer Online Reference Works: Euler–MacLaurin formula http://eom.springer.[...]
_[8] 저널 An Elementary View of Euler's Summation Formula https://archive.org/[...] Mathematical Association of America
_[9] 웹인용 Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences http://dlmf.nist.gov[...] National Institute of Standards and Technology
_[10] 저널 On the maxima and minima of Bernoulli polynomials
_[11] 서적 Euler at 300 Mathematical Association of America
_[12] 서적 A first course in computational physics. Jones and Bartlett Publishers
_[13] 서적 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables Dover Publications

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