피카르-린델뢰프 정리

1. 개요

피카르-린델뢰프 정리는 초기값 문제의 해가 존재하고 유일하기 위한 충분 조건을 제시하는 정리이다. 미분 방정식이 립시츠 조건을 만족하면, 해당 초기값 문제에 대해 유일한 해가 존재한다. 이 정리는 미분 방정식을 적분 방정식으로 변환하고 바나흐 고정점 정리를 적용하여 증명된다. 해의 유일성은 그론월 부등식을 통해 증명되며, 피카르 반복법을 사용하여 해를 근사할 수 있다. 립시츠 조건보다 약한 조건을 가정하는 오스굿 유일성 정리, 페아노 존재 정리, 카라테오도리 존재 정리 등과 관련이 있으며, 샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프에 의해 증명되었다.

2. 정의

초깃값 문제는 다음과 같이 정의된다.

:$y\text{'}(t)=f(t,y(t))$
:$y(t\_0)=y\_0$

여기서 $(t\_0,\; y\_0)\; \backslash in\; \backslash operatorname\{int\}\; D$인 닫힌 직사각형 $D\; \backslash subseteq\; \backslash R\; \backslash times\; \backslash R^n$에 대해, $f:\; D\; \backslash to\; \backslash R^n$는 $t$에 대해 연속 함수이고 $y$에 대해 립시츠 연속인 함수이다. (립시츠 상수는 $t$에 무관하다.)

이러한 초기값 문제에 대해, 어떤 $\backslash epsilon\; >\; 0$가 존재하여 구간 $[t\_0-\backslash varepsilon,\; t\_0+\backslash varepsilon]$에서 유일한 해 $y(t)$를 갖는다.

2.1. 립시츠 조건

연속 함수 $f\backslash colon[t\_0,t\_0+a]\backslash times\; U\backslash to\backslash mathbb\; R^n$ ($U\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$는 열린집합)가 $y$에 대하여 립시츠 연속 함수라는 것은 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 $L\backslash ge\; 0$가 존재한다는 것을 의미한다. (립시츠 조건, Lipschitz condition^영어).

:$|f(t,y)-f(t,z)|\backslash le\; L|y-z|\backslash qquad\backslash forall(t,y),(t,z)\backslash in[t\_0,t\_0+a]\backslash times\; U$

이러한 립시츠 조건은 피카르-린델뢰프 정리에서 초기값 문제의 유일한 국소적 해의 존재를 보장하는 데 사용된다.

2.2. 국소 립시츠 조건

열린집합 $U\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$ 및 연속 함수 $f\backslash colon[t\_0,t\_0+a]\backslash times\; U\backslash to\backslash mathbb\; R^n$가 주어졌고, $f$가 $y$에 대하여 국소 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 임의의 $y\_0\backslash in\; U$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $y\_0$의 근방 $\backslash widetilde\; U\backslash subseteq\; U$ 및 음이 아닌 실수 $L\backslash ge\; 0$가 존재한다고 하자 (국소 립시츠 조건, local Lipschitz condition^영어).
:$|f(t,y)-f(t,z)|\backslash le\; L|y-z|\backslash qquad\backslash forall(t,y),(t,z)\backslash in[t\_0,t\_0+a]\backslash times\backslash widetilde\; U$
피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 $y\_0\backslash in\; U$에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 에 대하여 유일한 국소적 해 $\backslash phi\backslash colon[t\_0,t\_0+\backslash delta]\backslash to\; U$를 갖는다. 특히, 만약 $y$에 대한 편미분 $\backslash partial\; f/\backslash partial\; y$이 연속 함수라면, $f$는 국소 립시츠 조건을 만족시키므로, 유일한 국소적 해가 존재한다.

3. 증명

피카르-린델뢰프 정리의 증명은 바나흐 고정점 정리를 이용하거나, 그뢴발 부등식을 이용하여 이루어진다.

표준적인 증명 방법은 주어진 미분 방정식을 적분 방정식으로 변환한 후, 바나흐 고정점 정리를 적용하여 해의 존재성을 증명하고, 그뢴발 부등식을 적용하여 해의 유일성을 증명하는 것이다.

미분 방정식 $y\text{'}(t)=f(t,y(t))$의 양변을 적분하면, 이 미분 방정식을 만족하는 모든 해는 다음의 적분 방정식을 만족한다.

:$y(t)\; -\; y(t\_0)\; =\; \backslash int\_\{t\_0\}^t\; f(s,y(s))\; \backslash ,\; ds.$

해의 존재성과 유일성은 피카르 반복법을 통해 증명할 수 있다. 이 방법은 다음과 같이 함수열 $\{\backslash varphi\_k\}$를 정의한다.

:$\backslash varphi\_0(t)=y\_0,$
:$\backslash varphi\_\{k+1\}(t)=y\_0+\backslash int\_\{t\_0\}^t\; f(s,\backslash varphi\_k(s))\backslash ,ds$

바나흐 고정점 정리를 이용하면, 함수열 $\{\backslash varphi\_k\}$가 균등 수렴하고, 그 극한 함수가 초기값 문제의 해임을 보일 수 있다. 그론월의 보조 정리를 $|\backslash varphi(t)\; -\; \backslash psi(t)|$ ($\backslash varphi$와 $\backslash psi$는 두 개의 해)에 적용하면 $\backslash varphi(t)\; =\; \backslash psi(t)$가 되어, 대역적인 유일성이 증명된다.

3.1. 바나흐 고정점 정리를 통한 증명

미분 방정식을 적분 방정식으로 변환한 후, 적분 연산자가 축약 사상임을 보여 바나흐 고정점 정리를 적용한다.

미분 방정식 $y\text{'}(t)=f(t,y(t))$의 양변을 적분하면, 이 미분 방정식을 만족하는 모든 해는 다음의 적분 방정식을 만족한다.

:$y(t)\; -\; y(t\_0)\; =\; \backslash int\_\{t\_0\}^t\; f(s,y(s))\; \backslash ,\; ds.$

$f$가 $t$에 대해 연속이고 $y$에 대해 립시츠 연속 함수라는 가정 하에, 이 적분 연산자는 축소 사상이 된다. 따라서 바나흐 고정점 정리에 의해 해는 연속 근사의 고정점 반복을 통해 얻을 수 있다. 이 방법은 피카르 반복법으로 알려져 있다.

다음과 같이 정의한다.

:$\backslash varphi\_0(t)=y\_0$
:$\backslash varphi\_\{k+1\}(t)=y\_0+\backslash int\_\{t\_0\}^t\; f(s,\backslash varphi\_k(s))\backslash ,ds.$

바나흐 고정점 정리에 따라 "피카르 반복" 수열 $\backslash varphi\_k$는 수렴하고, 그 극한은 초기값 문제의 해가 된다.

두 해 $\backslash varphi$와 $\backslash psi$에 대해 $|\backslash varphi(t)\; -\; \backslash psi(t)|$에 그론월 부등식을 적용하면 $\backslash varphi(t)\; =\; \backslash psi(t)$가 되어 해가 유일함을 알 수 있다. 이는 정리의 가정이 성립하는 영역 $D$에서 해의 전역적 유일성을 의미한다.

다음과 같이 설정한다.

:$C\_\{a,b\}=\backslash overline\{I\_a(t\_0)\}\backslash times\backslash overline\{B\_b(y\_0)\}$

여기서:

:$\backslash begin\{align\}$
\overline{I_a(t_0)}&=[t_0-a,t_0+a] \\
\overline{B_b(y_0)}&=[y_0-b,y_0+b].
\end{align}

이는 $f$가 정의된 콤팩트 실린더이다.

$L$을 두 번째 변수에 대한 $f$의 립시츠 상수라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

:$M\; =\; \backslash sup\_\{C\_\{a,b\}\}\backslash |f\backslash |,$

이는 함수 기울기의 상한 (의 절댓값)이다.

이 최댓값은 $f(t,y)$가 두 변수의 연속 함수이기 때문에 존재한다. $f$가 $t$의 연속 함수이므로, 임의의 점 $(t\_0,\; y\_0)$과 $\backslash epsilon>0$에 대해 $\backslash delta>0$이 존재하여 일 때 가 성립한다. 따라서,

:

만약 이고 이라면, 이는 $f$가 $(t\_0,y\_0)$에서 연속임을 보여준다.

바나흐 고정점 정리를 적용하기 위해 $\backslash mathcal\{C\}(I\_\{a\}(t\_0),B\_b(y\_0))$에 대한 거리를 사용하고, 이 거리는 균등 노름에 의해 유도된다.

:$\backslash |\; \backslash varphi\; \backslash |\_\backslash infty\; =\; \backslash sup\_\{t\; \backslash in\; I\_a\}\; |\; \backslash varphi(t)|.$

다음과 같이 연속 함수들의 두 함수 공간 사이의 연산자인 피카르 연산자를 정의한다.

:$\backslash Gamma:\backslash mathcal\{C\}(I\_\{a\}(t\_0),B\_b(y\_0))\; \backslash longrightarrow\; \backslash mathcal\{C\}(I\_\{a\}(t\_0),B\_b(y\_0))$

:$\backslash Gamma\; \backslash varphi(t)\; =\; y\_0\; +\; \backslash int\_\{t\_0\}^\{t\}\; f(s,\backslash varphi(s))\; \backslash ,\; ds.$

이 연산자가 완전하고 공집합이 아닌 거리 공간 X를 자신에게 매핑하고 또한 축소 사상임을 보여야 한다.

먼저 $a$에 특정 제약이 주어지면, $\backslash Gamma$가 균등 노름을 가진 연속 함수 공간에서 $\backslash overline\{B\_b(y\_0)\}$를 자신에게 매핑한다는 것을 보인다. 여기서 $\backslash overline\{B\_b(y\_0)\}$는 상수 함수 $y\_0$에 "중심이 있는" 연속 (및 유계) 함수 공간에서의 닫힌 공이다. 즉, 다음을 보여야 한다.

:$\backslash |\; \backslash varphi\; -y\_0\; \backslash |\_\backslash infty\; \backslash le\; b$
는 다음을 의미한다.
:$\backslash left\backslash |\; \backslash Gamma\backslash varphi(t)-y\_0\; \backslash right\backslash |\; =\; \backslash left\backslash |\backslash int\_\{t\_0\}^t\; f(s,\backslash varphi(s))\backslash ,\; ds\; \backslash right\backslash |\; \backslash leq\; \backslash int\_\{t\_0\}^\{t\text{'}\}\; \backslash left\backslash |f(s,\backslash varphi(s))\backslash right\backslash |\; ds\; \backslash leq\; \backslash int\_\{t\_0\}^\{t\text{'}\}\; M\backslash ,\; ds\; =\; M\; \backslash left|t\text{'}-t\_0\; \backslash right|\; \backslash leq\; M\; a\; \backslash leq\; b$

여기서 $t\text{'}$는 최댓값이 달성되는 $[t\_0-a,\; t\_0\; +a]$의 어떤 숫자이다. 마지막 부등식은 를 만족하면 성립한다.

이제 이 연산자가 축소 사상임을 보이자.

두 함수 $\backslash varphi\_1,\backslash varphi\_2\backslash in\backslash mathcal\{C\}(I\_\{a\}(t\_0),B\_b(y\_0))$가 주어지면, 바나흐 고정점 정리를 적용하기 위해 다음이 필요하다.

:$\backslash left\; \backslash |\; \backslash Gamma\; \backslash varphi\_1\; -\; \backslash Gamma\; \backslash varphi\_2\; \backslash right\backslash |\_\backslash infty\; \backslash le\; q\; \backslash left\backslash |\; \backslash varphi\_1\; -\; \backslash varphi\_2\; \backslash right\backslash |\_\backslash infty,$

어떤 에 대해. 그러면 다음을 만족하는 $t$를 설정하자.

:$\backslash |\; \backslash Gamma\; \backslash varphi\_1\; -\; \backslash Gamma\; \backslash varphi\_2\; \backslash |\_\backslash infty\; =\; \backslash left\backslash |\; \backslash left(\backslash Gamma\backslash varphi\_1\; -\; \backslash Gamma\backslash varphi\_2\; \backslash right)(t)\; \backslash right\backslash |.$

$\backslash Gamma$의 정의를 사용하여,

:$\backslash begin\{align\}$
\left\|\left(\Gamma\varphi_1 - \Gamma\varphi_2 \right)(t) \right\| &= \left\|\int_{t_0}^t \left( f(s,\varphi_1(s))-f(s,\varphi_2(s)) \right)ds \right\|\\
&\leq \int_{t_0}^t \left\|f \left(s,\varphi_1(s)\right)-f\left(s,\varphi_2(s) \right) \right\| ds \\
&\leq L \int_{t_0}^t \left\|\varphi_1(s)-\varphi_2(s) \right\|ds && \text{since } f \text{ is Lipschitz-continuous} \\
&\leq L \int_{t_0}^t \left\|\varphi_1-\varphi_2 \right\|_\infty \,ds \\
&\leq La \left\|\varphi_1-\varphi_2 \right\|_\infty
\end{align}

이것은 인 경우 축소 사상이다.

피카르 연산자가 균등 노름에 의해 유도된 거리를 가진 바나흐 공간에서 축소 사상임을 보였다. 따라서 바나흐 고정점 정리에 의해 이 연산자는 유일한 고정점을 갖는다. 즉, 유일한 함수

:$\backslash varphi\backslash in\; \backslash mathcal\{C\}(I\_a\; (t\_0),B\_b(y\_0))$

가 존재하여 $\backslash Gamma\backslash varphi\; =\; \backslash varphi$를 만족한다. 이 함수는 초기값 문제의 유일한 해이며, $a$가 다음 조건을 만족하는 구간 I_a에서 유효하다.

:

해의 정의 구간이 립시츠 상수 L에 의존하지 않도록, 바나흐 고정점 정리에 대한 따름정리를 사용한다. 연산자 Tⁿ이 어떤 n에 대해 축소 사상이면 T는 유일한 고정점을 갖는다. 피카르 연산자에 이 정리를 적용하기 위해 다음 보조 정리를 사용한다.

보조 정리:

$\backslash left\backslash |\; \backslash Gamma^m\; \backslash varphi\_1(t)\; -\; \backslash Gamma^m\backslash varphi\_2(t)\; \backslash right\backslash |\; \backslash leq\; \backslash frac\{L^m|t-t\_0|^m\}\{m!\}\backslash left\backslash |\backslash varphi\_1-\backslash varphi\_2\backslash right\backslash |$ (모든 $t\; \backslash in\; [t\_0\; -\; \backslash alpha,\; t\_0\; +\; \backslash alpha]$에 대해)

증명. m에 대한 수학적 귀납법을 사용한다. $m=1$인 경우는 이미 확인했다. 부등식이 $m-1$에 대해 성립한다고 가정하면,

$$\backslash begin\{align\}$$
\left \| \Gamma^m \varphi_1(t) - \Gamma^m\varphi_2(t) \right \| &= \left \|\Gamma\Gamma^{m-1} \varphi_1(t) - \Gamma\Gamma^{m-1}\varphi_2(t) \right \| \\
&\leq \left| \int_{t_0}^t \left \| f \left (s,\Gamma^{m-1}\varphi_1(s) \right )-f \left (s,\Gamma^{m-1}\varphi_2(s) \right )\right \| ds \right| \\
&\leq L \left| \int_{t_0}^t \left \|\Gamma^{m-1}\varphi_1(s)-\Gamma^{m-1}\varphi_2(s)\right \| ds\right| \\
&\leq L \left| \int_{t_0}^t \frac{L^{m-1}|s-t_0|^{m-1}}{(m-1)!} \left \| \varphi_1-\varphi_2\right \| ds\right| \\
&\leq \frac{L^m |t-t_0|^m }{m!} \left \|\varphi_1 - \varphi_2 \right \|.
\end{align}

$t\; \backslash in\; [t\_0\; -\; \backslash alpha,\; t\_0\; +\; \backslash alpha]$에 대해 상한을 취하면 $\backslash left\; \backslash |\; \backslash Gamma^m\; \backslash varphi\_1\; -\; \backslash Gamma^m\backslash varphi\_2\; \backslash right\; \backslash |\; \backslash leq\; \backslash frac\{L^m\backslash alpha^m\}\{m!\}\backslash left\; \backslash |\backslash varphi\_1-\backslash varphi\_2\backslash right\; \backslash |$임을 알 수 있다.

이 부등식은 충분히 큰 m에 대해



이 성립하게 하여 Γ^m이 축소 사상이 되도록 한다. 따라서 앞선 따름정리에 의해 Γ는 고유한 고정점을 갖게 된다. 마지막으로, $\backslash alpha\; =\; \backslash min\; \backslash left\backslash \{\; a,\; \backslash frac\{b\}\{M\}\; \backslash right\backslash \}$를 취함으로써 해의 구간을 최적화할 수 있다.

결론적으로, 해의 정의 구간은 장의 립시츠 상수에는 의존하지 않고, 장의 정의 구간과 그 최댓값 절댓값에만 의존한다.

3.2. 그뢴발 부등식을 통한 증명

페아노 존재 정리의 특수한 경우로, 국소적 해의 존재를 증명할 수 있다. 그뢴발 부등식을 이용하면 국소적 해의 유일성을 다음과 같이 보일 수 있다. $\backslash phi$와 $\backslash psi$를 초깃값 문제의 두 해라고 하고, $h\; =\; |\backslash phi\; -\; \backslash psi|$라고 하자. 그러면 임의의 $t$에 대하여,

:$h(t)\; \backslash le\; \backslash int\_\{t\_0\}^t\; |f(s,\; \backslash phi(s))\; -\; f(s,\; \backslash psi(s))|\; ds\; \backslash le\; L\; \backslash int\_\{t\_0\}^t\; |\backslash phi(s)\; -\; \backslash psi(s)|\; ds\; =\; L\; \backslash int\_\{t\_0\}^t\; h(s)\; ds$

가 성립한다. 그뢴발 부등식에 따라 $h\; =\; 0$이므로, $\backslash phi\; =\; \backslash psi$이다.

4. 해의 근사

반복법(피카르 반복법)을 사용하여 초기값 문제의 해로 균등 수렴하는 함수열을 구성할 수 있다. 피카르 반복법은 초기값 문제의 해를 구하는 방법 중 하나이다.

표준적인 증명 방법은 미분 방정식을 적분 방정식으로 변환하고, 바나흐 고정점 정리를 적용하여 해의 존재성을 증명하며, 그론월 부등식을 적용하여 해의 유일성을 증명한다.

미분 방정식 $y\text{'}(t)=f(t,y(t))$의 양변을 적분하면, 모든 해가 다음의 적분 방정식을 만족해야 함을 알 수 있다.

:$y(t)\; -\; y(t\_0)\; =\; \backslash int\_\{t\_0\}^t\; f(s,y(s))\; \backslash ,\; ds.$

4.1. 피카르 반복법

반복법을 사용하여 위 초깃값 문제의 해로 균등 수렴하는 함수열 $\backslash phi\_n$을 다음과 같이 구성할 수 있다.

:$\backslash phi\_0\backslash colon\; t\backslash mapsto\; y\_0$
:$\backslash phi\_\{n+1\}\backslash colon\; t\backslash mapsto\; y\_0+\backslash int\_\{t\_0\}^tf(s,\backslash phi\_n(s))\backslash mathrm\; ds$

이 경우 실제 해 $\backslash phi$와의 오차는 다음과 같다.

:$|\backslash phi\_n(t)-\backslash phi(t)|\backslash le\backslash frac\{L^n\}\{(n+1)!\}|t-t\_0|^\{n+1\}\backslash sup\_\{[t\_0,t\_0+a]\backslash times\backslash operatorname\{cl\}\backslash operatorname\{ball\}(y\_0,b)\}|f|$

$f$가 $t$에 대해 연속이고 $y$에 대해 립시츠 연속이라는 가설이 주어지면, 이 적분 연산자는 수축이고, 따라서 바나흐 고정점 정리는 해가 연속 근사의 고정점 반복을 통해 얻을 수 있음을 증명한다. 이 맥락에서, 이 고정점 반복 방법은 피카르 반복법으로 알려져 있다.

다음과 같이 설정한다.
:$\backslash varphi\_0(t)=y\_0$
:$\backslash varphi\_\{k+1\}(t)=y\_0+\backslash int\_\{t\_0\}^t\; f(s,\backslash varphi\_k(s))\backslash ,ds.$

바나흐 고정점 정리로부터 "피카르 반복" 수열 $\backslash varphi\_k$가 수렴하고, 그 극한이 원래 초기값 문제의 해임을 알 수 있다.

해로 $y(t)=\backslash tan(t)$를 갖는 초기값 문제

:$y\text{'}(t)=1+y(t)^2,\; \backslash qquad\; y(0)=0$

에 관해 실제로 피카르 반복을 계산해 보면, $\backslash varphi\_n(t)\; \backslash to\; y(t)$가 되도록 $\backslash varphi\_0(t)=0$에서 시작하여,

:$\backslash varphi\_\{k+1\}(t)=\backslash int\_0^t\; (1+(\backslash varphi\_k(s))^2)\backslash ,ds$

로 반복하면, 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\varphi_1(t) &= \int_0^t (1+0^2)\,ds = t \\
\varphi_2(t) &= \int_0^t (1+s^2)\,ds = t + \frac{t^3}{3} \\
\varphi_3(t) &= \int_0^t \left(1+\left(s + \frac{s^3}{3}\right)^2\right)\,ds = t + \frac{t^3}{3} + \frac{2t^5}{15} + \frac{t^7}{63}
\end{align}

분명히, 이것은 알려진 해 $y(t)=\backslash tan(t)$의 테일러 급수 전개를 계산하고 있다.

4.2. 피카르 반복의 예시

초기 조건 $y(0)=0$을 갖는 미분 방정식 $y\text{'}(t)=1+y(t)^2$의 해는 $y(t)=\backslash tan(t)$이다. $\backslash varphi\_0(t)=0$에서 시작하여 피카르 반복을 적용하면 다음과 같다.

:$\backslash varphi\_\{k+1\}(t)=\backslash int\_0^t\; (1+(\backslash varphi\_k(s))^2)\backslash ,ds$

따라서 $\backslash varphi\_n(t)\; \backslash to\; y(t)$가 된다. 구체적인 반복 과정은 다음과 같다.

:$\backslash varphi\_1(t)=\backslash int\_0^t\; (1+0^2)\backslash ,ds\; =\; t$

:$\backslash varphi\_2(t)=\backslash int\_0^t\; (1+s^2)\backslash ,ds\; =\; t\; +\; \backslash frac\{t^3\}\{3\}$

:$\backslash varphi\_3(t)=\backslash int\_0^t\; \backslash left(1+\backslash left(s\; +\; \backslash frac\{s^3\}\{3\}\backslash right)^2\backslash right)\backslash ,ds\; =\; t\; +\; \backslash frac\{t^3\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{2t^5\}\{15\}\; +\; \backslash frac\{t^7\}\{63\}$

이 결과는 $y=\backslash tan(t)$의 테일러 급수 전개와 일치한다. $\backslash tan$ 함수는 $\backslash pm\backslash tfrac\{\backslash pi\}\{2\}$에서 극점을 가지므로, 이 근방에서는 립시츠 연속 조건을 만족하지 않는다. 따라서 피카르 반복은 범위에서만 국소 해로 수렴하며, $\backslash R$ 전체에서는 유효하지 않다.

5. 해의 유일성

립시츠 조건은 해의 유일성을 보장하는 충분 조건이지만, 필요 조건은 아니다. 피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 주어진 초깃값 문제는 유일한 해를 갖는다.

립시츠 조건( Lipschitz condition^영어 )은 다음과 같다.

:$|f(t,y)-f(t,z)|\backslash le\; L|y-z|\backslash qquad\backslash forall(t,y),(t,z)\backslash in[t\_0,t\_0+a]\backslash times\; U$

5.1. 유일성이 성립하지 않는 예시

해의 유일성이 성립하지 않는 경우를 이해하기 위해, $y\text{'}(t)$에 대한 두 가지 1계 상미분 방정식의 예를 비교해 보자.

* 동차 선형 방정식 $\backslash frac\{dy\}\{dt\}\; =\; ay$ ()에서, 정지해는 $y(t)\; =\; 0$이며, 초기 조건 $y(0)\; =\; 0$에 의해 얻어진다. 다른 초기 조건 $y(0)\; =\; y\_0\; \backslash neq\; 0$에서 시작하면, 해 $y(t)\; =\; y\_0\; e^\{at\}$는 정지점 $y\; =\; 0$에 접근하지만, 무한 시간의 극한에서만 접근하므로, 모든 유한 시간에 걸쳐 해의 유일성은 보장된다.

* 정지점에 유한 시간 후에 도달할 수 있는 방정식의 경우, 해의 유일성은 성립하지 않는다. 동차 비선형 방정식 $\backslash frac\{dy\}\{dt\}\; =\; ay^\{\backslash frac\{2\}\{3\}\}$을 고려해 보면, 이 방정식은 초기 조건 $y(0)\; =\; 0$에 해당하는 다음 두 해를 적어도 가진다: $y(t)\; =\; 0$와

:

따라서, 시스템의 이전 상태는 t = 0 이후의 상태에 의해 유일하게 결정되지 않는다. 유일성 정리는 함수 $f(y)\; =\; y^\{\backslash frac\{2\}\{3\}\}$의 도함수가 $y\; =\; 0$의 근방에서 유계가 아니고, 따라서 립시츠 연속이 아니므로, 정리의 가설을 위반하기 때문에 적용되지 않는다.

6. 다른 정리와의 관계

피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건(립시츠 조건)을 제시한다. 오스굿 유일성 정리는 이 충분 조건을 약화하여 얻는 정리이다. 페아노 존재 정리는 립시츠 조건 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리(Carathéodory's existence theorem)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(weak solution)의 존재만을 결론내린다.

예를 들어, 초기 조건 을 갖는 방정식 의 우변은 연속이지만 립시츠 연속은 아니다. 실제로 이 방정식은 유일하지 않고, 적어도 세 개의 해를 갖는다.

:$y(t)\; =\; 0,\; \backslash qquad\; y(t)\; =\; \backslash pm\backslash left\; (\backslash tfrac23\; t\backslash right)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}$.

7. 역사

샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프(Ernst Leonard Lindelöf^스웨덴어)가 증명하였다.