경계값 문제

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1. 개요
2. 경계 조건의 종류
3. 경계값 문제의 유형
- 3.1. 타원형 경계값 문제
- 3.2. 쌍곡형 경계값 문제
4. 응용 분야
- 4.1. 전자기학
- 4.2. 기타
참조

1. 개요

경계값 문제는 미분 방정식의 해를 구하기 위해 경계 조건과 함께 사용되는 수학적 문제입니다. 경계 조건에는 디리클레, 노이만, 로빈, 코시, 혼합, 조머펠트 복사 조건 등이 있으며, 함수 값이나 미분 값 등을 경계에서 지정한다. 경계값 문제는 미분 연산자의 형태에 따라 타원형, 쌍곡형 경계값 문제로 분류되며, 전자기학 등 다양한 분야에 응용된다.

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경계값 문제
개요
유형	미분 방정식
관련 분야	수학, 물리학, 공학
풀이 방법	해석적 방법, 수치적 방법
정의
설명	미분 방정식의 해를 구하는 문제로, 해가 만족해야 하는 경계 조건이 주어진다.
경계 조건	해의 특정 점에서의 값 또는 도함수 값
예시	현의 진동 문제 열전도 문제 전자기학 문제
수학적 표현
일반적인 형태	미분 방정식과 경계 조건의 결합
미분 방정식	F(x, y, y', y) = 0 (여기서 F는 함수, y는 미지 함수, y'와 y는 y의 도함수)
경계 조건	y(a) = A, y(b) = B (디리클레 조건) y'(a) = A, y'(b) = B (노이만 조건) 혼합 조건 (디리클레 조건과 노이만 조건의 조합)
예제
1차 경계값 문제	y'' + y = 0, y(0) = 0, y(L) = 0
해	y(x) = A sin(x) (단, L = nπ, n은 정수)
응용
물리	양자역학 열역학 유체역학 전자기학
공학	구조 공학 전기 공학 화학 공학
기타 분야	경제학 생물학

2. 경계 조건의 종류

흔히 쓰이는 경계 조건에는 다음과 같은 것들이 있다.

노이만 경계 조건
디리클레 경계 조건
로빈 경계 조건
코시 경계 조건
혼합 경계 조건
조머펠트 복사 조건

디리클레 경계 조건은 함수 자체의 값을, 노이만 경계 조건은 함수의 법선 미분 값을 지정한다. 로빈 경계 조건은 이 둘의 선형 결합을, 코시 경계 조건은 경계에서 법선 미분과 문제 자체의 값을 모두 지정하는 방식이다. 혼합 경계 조건은 한쪽 경계에는 디리클레 경계 조건을, 다른 쪽 경계에는 로빈 경계 조건을 사용한다.

2. 1. 디리클레 경계 조건

함수 자체의 값을 지정하는 경계 조건을 디리클레 경계 조건 또는 제1종 경계 조건이라고 한다. 예를 들어, 철 막대의 한쪽 끝이 절대 영도에서 유지된다면 해당 지점에서 문제의 값은 알려지게 된다.^[2]

쇠막대의 한쪽 끝이 절대 영도에 고정되어 있는 경우와 같은 경우가 디리클레 경계 조건에 해당한다.

알 수 없는 함수

y

에 대한 경계 조건 요약, 경계 조건에 의해 지정된 상수

c_0

및

c_1

, 그리고 경계 조건에 의해 지정된 알려진 스칼라 함수

f

및

g

를 표로 나타내면 다음과 같다.

이름	경계의 첫 번째 부분에서의 형태	경계의 두 번째 부분에서의 형태
디리클레	$y=f$
노이만	${\partial y \over \partial n}=f$
로빈	$c_0 y + c_1 {\partial y \over \partial n}=f$
혼합	$y=f$	$c_0 y + c_1 {\partial y \over \partial n}=g$
코시	$y=f$ 와 ${\partial y \over \partial n}=g$ 둘 다

2. 2. 노이만 경계 조건

함수의 법선 미분 값을 지정하는 경계 조건을 노이만 경계 조건 또는 제2종 경계 조건이라고 한다.^[2] 예를 들어, 철 막대의 한쪽 끝에 히터가 있다면 에너지가 일정한 속도로 추가되지만 실제 온도는 알려지지 않을 것이다.

알 수 없는 함수

y

에 대한 경계 조건 요약에서, 경계 조건에 의해 지정된 상수

c_0

및

c_1

, 그리고 경계 조건에 의해 지정된 알려진 스칼라 함수

f

및

g

에 대해, 노이만 경계 조건은 다음의 형태를 취한다.

경계의 첫 번째 부분에서의 형태	경계의 두 번째 부분에서의 형태
${\partial y \over \partial n}=f$	${\partial y \over \partial n}=f$

쇠막대 한쪽에 열원이 놓여 실제 온도는 불분명하지만 일정 비율로 열이 계속 가해지는 경우가 그 예시가 될 수 있다.

2. 3. 로빈 경계 조건

로빈 경계 조건은 디리클레 경계 조건과 노이만 경계 조건의 조합이다. 경계에서 함수 자체의 값과 법선 미분 값의 선형 결합으로 정의된다.^[2]

로빈 경계 조건의 형태는 다음과 같다.

:

c_0 y + c_1 {\partial y \over \partial n}=f

여기서

c_0

와

c_1

는 경계 조건에 의해 지정된 상수이고,

f

는 경계 조건에 의해 지정된 알려진 스칼라 함수이다.

2. 4. 코시 경계 조건

경계가 곡선이나 곡면이고, 그 법선 미분과 문제 자체의 값이 그 경계에서 정해진다면, 그러한 경계 조건은 코시 경계 조건이라고 한다.

알 수 없는 함수

y

에 대한 경계 조건 요약, 경계 조건에 의해 지정된 상수

c_0

및

c_1

, 그리고 경계 조건에 의해 지정된 알려진 스칼라 함수

f

및

g

는 다음과 같다.

이름	경계의 첫 번째 부분에서의 형태	경계의 두 번째 부분에서의 형태
코시	$y=f$ 와 ${\partial y \over \partial n}=g$ 둘 다

2. 5. 혼합 경계 조건

혼합 경계 조건은 한쪽 경계에서는 함수 자체의 값을 지정하는 디리클레 경계 조건을, 다른 쪽 경계에서는 법선 미분과 변수 자체의 조합에 대한 값을 지정하는 로빈 경계 조건을 사용하는 방식이다.^[2]

알 수 없는 함수

y

에 대한 혼합 경계 조건은 다음과 같이 요약할 수 있다.^[2]

경계의 첫 번째 부분: $y=f$
경계의 두 번째 부분: $c_0 y + c_1 {\partial y \over \partial n}=g$

여기서

c_0

와

c_1

은 경계 조건에 의해 지정된 상수이고,

f

와

g

는 경계 조건에 의해 지정된 알려진 스칼라 함수이다.

2. 6. 조머펠트 복사 조건

조머펠트가 도입한 경계 조건이다.

3. 경계값 문제의 유형

흔히 쓰이는 경계 조건에는 다음이 있다.

노이만 경계 조건
디리클레 경계 조건
로빈 경계 조건
코시 경계 조건
혼합 경계 조건
조머펠트 복사 조건

경계 조건이 초기 조건(시간 t=0^영어인 경우의 함수값 및 도함수값 등)인 경우는 초기값 문제라고 한다.

경계값 문제는 초깃값 문제와 유사하다. 경계값 문제는 방정식의 독립 변수의 양 끝점(경계)에 조건이 지정되는 반면, 초깃값 문제는 독립 변수의 한 지점(주로 하한 경계)에 모든 조건이 지정된다. '''경계값'''은 시스템 또는 구성 요소에 대해 지정된 최소 또는 최대 입력, 내부 또는 출력 값에 해당하는 데이터 값이다.^[2]

예를 들어 독립 변수가 [0,1] 구간에서 시간인 경우, 경계값 문제는 t=0^영어과 t=1^영어 모두에서 y(t)^영어의 값을 지정하는 반면, 초깃값 문제는 시간 t=0^영어에서 y(t)^영어와 y'(t)^영어의 값을 지정한다.

한쪽 끝은 절대 영도로 유지하고 다른 쪽 끝은 물의 어는점으로 유지하는 철 막대의 모든 지점에서 온도를 찾는 것은 경계값 문제가 된다.

문제가 공간과 시간에 모두 종속적인 경우, 모든 시간의 주어진 지점에서 또는 모든 공간의 주어진 시간에 문제의 값을 지정할 수 있다.

경계 조건 외에도 경계값 문제는 관련된 미분 연산자의 유형에 따라 분류되기도 한다.

문제의 법선 미분에 대한 값이 경계에서 정해지면, 그러한 경계 조건은 노이만 경계 조건이라고 한다. 예를 들어, 쇠막대 한쪽에 열원이 놓여 실제 온도는 불분명하지만 일정한 비율로 열이 계속 가해지는 경우를 생각할 수 있다.

문제의 값 자체가 경계에서 정해지면, 그러한 경계 조건은 디리클레 경계 조건이라고 한다. 예를 들어, 쇠막대의 한쪽 끝이 절대 영도에 고정되어 있는 경우 등을 생각할 수 있다.

만약 경계가 곡선이나 곡면이고, 그 법선 미분과 문제 자체의 값이 그 경계에서 정해진다면, 그러한 경계 조건은 코시 경계 조건이라고 한다.

3. 1. 타원형 경계값 문제

타원형 연산자에 대한 경계값 문제를 타원형 경계값 문제라고 부른다. 경계값 문제는 관련된 미분 연산자의 유형에 따라 분류되기도 하는데, 쌍곡형 연산자의 경우에는 쌍곡형 경계값 문제라고 부른다. 이러한 범주는 더 나아가 선형 미분 방정식과 다양한 비선형 유형으로 세분된다.^[2]

경계 조건과는 별개로, 경계값 문제는 그 미분 연산자의 형태에 의해서도 분류된다. 타원형 연산자에 대해서는 elliptic boundary value problem^영어라고 하고, hyperbolic operator^영어에 대해서는 쌍곡형 경계값 문제라고 부른다. 이러한 분류는 더 나아가 연산자의 선형, 비선형 여부에 따라 세분화된다.

3. 2. 쌍곡형 경계값 문제

쌍곡형 연산자에 대한 경계값 문제는 쌍곡형 경계값 문제라고 불린다. 이러한 분류는 연산자의 선형, 비선형 여부에 따라 더 세분화된다.^[2]

4. 응용 분야

경계값 문제는 여러 분야에서 활용된다. 정전기학에서는 주어진 영역의 전위를 구하는 문제에 적용되는데, 이때 전위는 라플라스 방정식의 해가 되며 경계 조건은 전자기장 인터페이스 조건으로 주어진다.^[2] 이 외에도 한쪽 끝은 절대 영도로, 다른 쪽 끝은 물의 응고점으로 유지되는 쇠막대의 온도 분포를 구하는 문제 등도 경계값 문제에 해당한다.

4. 1. 전자기학

정전기학에서 흔히 다루는 문제는 주어진 영역의 전위를 설명하는 함수를 찾는 것이다. 이 영역에 전하가 없으면, 전위는 라플라스 방정식(조화 함수)의 해여야 한다. 이 경우 경계 조건은 전자기장 인터페이스 조건이다.^[2] 영역에 전류 밀도가 없으면 유사한 절차를 사용하여 자성 스칼라 전위를 정의하는 것도 가능하다.

4. 2. 기타

흔히 쓰이는 경계 조건은 다음과 같다.

노이만 경계 조건
디리클레 경계 조건
로빈 경계 조건
코시 경계 조건
혼합 경계 조건
조머펠트 복사 조건

경계 조건이 초기 조건 (시간 t=0인 경우의 함수값 및 도함수값 따위)인 경우는 초기값 문제라고 한다. 경계값 문제는 초깃값 문제와 유사하다. 경계값 문제는 방정식의 독립 변수의 모든 단점(경계)에서의 조건이 주어진 반면, 초깃값 문제는 독립 변수의 어떤 점(그리고 그것은 영역 내에서 가장 작은 경계점, 즉 초기점)에서의 조건이 주어진 것이다.

예를 들어, 독립 변수로서 영역 [0,1]에 포함되는 "시간"을 생각했을 경우, 경계값 문제는 y(t)에 대해 t=0 및 t=1의 양쪽 끝점에서의 조건을 부과한다. 한편, 초깃값 문제는 y(t) (또는 y'(t))의 t=0에서의 조건을 부과한다.

한쪽 끝이 절대 영도, 다른 한쪽 끝이 물의 응고점으로 유지되는 쇠막대에서 그 막대의 모든 지점의 온도를 구하는 문제는 경계값 문제로 기술될 것으로 예상된다.

경계값 문제의 구체적인 예 (공간에 관한 1차원 문제)로,

:y''(x)+y(x)=0

에 경계 조건

:y(0)=0, y(π/2)=2

가 주어졌을 경우의 미지 함수 y(x)를 구하는 것이 있다.

경계 조건이 없는 경우, 그러한 방정식의 일반해는

:y(x) = A sin(x) + B cos(x)

로 주어진다. 경계 조건 y(0)=0에서

:0 = A · 0 + B · 1

을 얻을 수 있는데, 이것은 B=0을 의미한다. 경계 조건 y(π/2)=2에서

:2 = A · 1

을 얻을 수 있으므로, A=2가 된다. 따라서, 주어진 경계 조건에 의해 유일해

:y(x)=2sin(x)

를 얻을 수 있게 된다.

참조

_[1] 서적 Handbook of Differential Equations https://books.google[...] Elsevier Science 2014-05-12
_[2] 서적 ISO/IEC/IEEE International Standard - Systems and software engineering ISO/IEC/IEEE 24765:2010(E)

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