측지선 완비 준 리만 다양체

1. 개요

측지선 완비 준 리만 다양체는 임의의 점과 속도 벡터에 대해 모든 실수에 대해 정의된 측지선이 존재하는 준 리만 다양체를 의미한다. 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 리만 다양체의 예시이며, 지수 사상이 전체 접공간에 정의될 수 있다는 것을 의미한다. 측지선 완비는 확장 불가능성을 함의하며, 콤팩트 다양체는 항상 확장 불가능하다. 리만 다양체의 경우, 측지선 완비, 완비 거리 공간, 유계 닫힌 집합의 콤팩트성은 서로 동치이며, 이를 호프-리노프 정리라고 한다. 그러나 준 리만 다양체에서는 호프-리노프 정리가 성립하지 않으며, 클리프턴-폴 원환면이 그 반례이다. 클리프턴-폴 원환면은 콤팩트 로렌츠 다양체이지만 측지선 완비가 아니다. 호프-리노프 정리는 1931년에 하인츠 호프와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프에 의해 증명되었고, 클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클리프턴과 윌리엄 폴에 의해 발견되었다.

2. 정의

준 리만 다양체 $(M,g)$가 다음 조건을 만족한다면, $(M,g)$를 측지선 완비 준 리만 다양체라고 한다.

* 임의의 $x\backslash in\; M$ 및 $v\backslash in\; T\_xM$에 대하여, $\backslash gamma(0)=x$이며 $\backslash dot\backslash gamma(0)=\backslash dot\; x$이며 모든 $t\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여 $\backslash sqrt\{g(\backslash dot\backslash gamma(t),\backslash dot\backslash gamma(t))\}=1$인 측지선 $\backslash gamma\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash to\; M$이 존재한다.

즉, 측지선 완비 준 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 준 리만 다양체이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 리만 다양체이지만, 유클리드 공간의 (전체 공간이 아닌) 열린집합은 측지선 완비 리만 다양체가 아니다.

준 리만 다양체 $(M,g)$ 및 임의의 점 $x\backslash in\; X$가 주어졌을 때, 초기 속도에 측지선을 대응시키는 지수 사상
:$\backslash exp\_x\backslash colon\backslash operatorname\{dom\}\backslash exp\_x\backslash to\; M$
:$\backslash operatorname\{dom\}\backslash exp\_x\backslash subseteq\; \backslash operatorname\; T\_xM$
을 정의할 수 있다. 정의역 $\backslash operatorname\{dom\}\backslash exp\_x$는 $0$의 근방을 포함한다. 측지선 완비성은 위 지수 사상이 $\backslash operatorname\; T\_xM$ 전체에 정의될 수 있음을 뜻한다.

2.1. 확장 불가능성

준 리만 다양체 $(M,g)$가 다음 조건을 만족시킨다면, 확장 불가능 준 리만 다양체라고 한다.

* 임의의 연결 성분 $(M\_i,g\backslash restriction\; M\_i)$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 연결 준 리만 다양체 $(\backslash tilde\; M,\backslash tilde\; g)$ 및 등거리 매장 $\backslash iota\backslash colon(M\_i,g\backslash restriction\; M\_i)\backslash hookrightarrow(\backslash tilde\; M,\backslash tilde\; g)$이 존재하지 않는다.
* $\backslash iota(M\_i)$는 $\backslash tilde\; M$의 열린집합이다.
* $\backslash tilde\; M\backslash setminus\backslash iota(M)\backslash ne\backslash varnothing$이다.

임의의 준 리만 다양체에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

* 측지선 완비 ⇒ 확장 불가능 ⇐ 모든 연결 성분이 콤팩트 ⇐ 콤팩트

3. 성질

준 리만 다양체에서는 측지선 완비성이 확장 불가능성을 함의하며, 콤팩트 다양체는 항상 확장 불가능하다. 리만 다양체에서는 호프-리노프 정리에 의해 측지선 완비성, 완비 거리 공간, 유계 닫힌 집합의 콤팩트성이 동치이다. 준 리만 다양체에서는 호프-리노프 정리가 성립하지 않는다. (예: 클리프턴-폴 원환면)

4. 예

리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체에서 호프-리노프 정리가 성립하지 않는 예로 클리프턴-폴 원환면(Clifton-Pohl圓環面, Clifton–Pohl torus^영어)이 있다. 이는 콤팩트 공간이지만 확장 불가능 다양체가 아니다.

원점을 제거한 평면 $\backslash tilde\; M=\backslash mathbb\; R^2\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}=\backslash \{(x,y)\backslash in\backslash mathbb\; R^2\backslash colon\; (x,y)\backslash ne(0,0)$ 위에 다음과 같은 로런츠 계량을 준다.
:$\backslash mathrm\; ds^2=\backslash frac\{2\backslash mathrm\; dx\backslash ,\backslash mathrm\; y\}\{x^2+y^2\}$
이를 클리프턴-폴 평면(Clifton-Pohl平面, Clifton–Pohl plane^영어)이라고 한다.

다음 변환들은 $\backslash tilde\; M$ 위의 등거리 변환이다.
:$S\_\backslash lambda\backslash colon\; (x,y)\backslash mapsto\; (\backslash lambda\; x,\backslash lambda\; y)\backslash qquad\backslash forall\; \backslash lambda\backslash in\backslash mathbb\; R^+$

$S\_2$로 생성되는 이산 부분군을 생각하여 몫공간을 구성한다.
:$M=\backslash frac\{\backslash tilde\; M\}\{(x,y)\backslash sim(2x,2y)\}$
이는 원환면 $\backslash mathbb\; S^1\backslash times\backslash mathbb\; S^1$과 미분 동형이며, 콤팩트 공간이다. 이 $(M,g)$을 클리프턴-폴 원환면이라고 한다.

$(M,g)$은 콤팩트 로런츠 다양체이지만, 측지선 완비 다양체가 아니다. 예를 들어, 다음 측지선들은 특정 점에서 정의되지 않는다.
* $\backslash gamma(t)=\backslash left((1-t)^\{-1\},0\backslash right)$ ($t=1$에서 정의되지 않음)
* $\backslash gamma(t)=(\backslash tan\; t,1)$ ($t\backslash pm\backslash pi/2$에서 정의되지 않음)

좌표 변환을 통해 클리프턴-폴 평면의 계량을 표현하면 다음과 같다.
:$(u,v)=(\backslash arctan\; x,\backslash arctan\; y)$
:$\backslash mathrm\; ds^2=\backslash frac\{2\backslash mathrm\; du\backslash ,\backslash mathrm\; dv\}\{\backslash sin^2u\backslash cos^2v+\backslash sin^2v\backslash cos^2u\}$
이는 자연스럽게 확장된 공간 $N$ 위에 정의된다.
:$N=\backslash mathbb\; R^2\backslash setminus\backslash left\backslash \{(\backslash pi\; m/2,\backslash pi\; n/2)\backslash in$
\colon (m,n)\in\mathbb Z^2,\;m\equiv n\pmod 2
\right\}

단사 등거리 변환 $\backslash iota\backslash colon\backslash tilde\; M\backslash hookrightarrow\; N$이 존재하며, 그 상은 다음과 같다.
:

$N$을 확장 클리프턴-폴 평면(擴張Clifton-Pohl平面, extended Clifton–Pohl plane^영어)이라고 하며, 이는 $M$과 달리 측지선 완비 다양체이다. 그러나 $N$에는 $M$을 정의하는 데 사용되었던 자기 등거리 변환이 존재하지 않는다.

5. 역사

하인츠 호프와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프(1907~1979)가 1931년에 호프-리노프 정리를 증명하였다.

클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클리프턴(Yeaton H. Clifton)과 윌리엄 폴(William Pohl)이 발견하였으나, 출판하지 않았다.