등각 사상

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1. 개요
2. 2차원 등각 사상
3. 3차원 이상에서의 등각 사상
- 3.1. 리만 기하학에서의 등각 사상
- 3.2. 유클리드 공간에서의 등각 사상
4. 등각 사상의 응용
참조

1. 개요

등각 사상은 각도를 보존하는 변환으로, 2차원 복소 평면에서의 정칙 함수와 밀접한 관련이 있다. 등각 사상은 정칙 함수이거나, 각도는 보존하지만 방향을 반대로 바꾸는 반정칙 함수로 정의될 수 있으며, 일대일 정칙 함수로 정의되기도 한다. 복소해석학의 리만 사상 정리는 단일 연결된 열린 집합을 단위 원판으로 등각 사상할 수 있다는 것을 보여준다. 등각 사상은 리만 구면, 3차원 이상의 유클리드 공간, 리만 기하학 등 다양한 공간에서 정의되며, 맥스웰 방정식, 일반 상대성 이론, 지도 투영법, 물리학 및 공학 등 다양한 분야에서 응용된다.

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등각 사상
지도 정보
개요
정의	각을 보존하는 변환 또는 함수이다.
다른 이름	등각 변환 또는 등각 함수라고도 한다.
특징
각도 보존	두 곡선이 만나는 각도를 보존한다.
국소적 성질	국소적으로 원을 원으로, 작은 삼각형을 비슷한 작은 삼각형으로 변환한다.
변환 유형	회전, 확대·축소, 평행이동, 반전 변환을 포함한다.
응용
응용 분야	유체 역학 전기장 자기장 일반 상대성 이론 지리학 (지도 제작) 컴퓨터 그래픽스 재료 과학
특정 응용	날개 주위의 흐름 연구 전기 전도체 주위의 전기장 연구 자기장 연구
수학적 배경
복소수 함수	등각 사상은 주로 복소수 함수를 이용하여 연구한다.
해석 함수	복소평면의 열린집합에서 정의된 해석 함수가 등각 사상이다.
미분 가능성	미분 가능한 함수가 등각 사상이 되기 위한 필요충분조건은 미분 값이 0이 되지 않는 것이다.
리만 사상 정리	단순 연결된 복소 평면의 모든 열린 부분 집합은 복소 평면의 단위 원판으로 등각적으로 사상할 수 있다는 정리이다.
예시
함수 예시	일차 변환 지수 함수 역수 함수 제곱 함수
비 등각 사상 예시	복소 공액 함수
역사
연구 시기	19세기부터 미적분학 및 복소 해석에서 활발히 연구되었다.
관련 링크
관련 링크	conformal map (영문 위키백과) Conformal Mapping (MathWorld) Conformal mapping (Encyclopedia of Mathematics)

2. 2차원 등각 사상

복소 평면에서의 등각 사상은 정칙 함수와 밀접하게 연관되어 있다.

$U$ 가 복소 평면 $\mathbb{C}$ 의 열린 부분 집합이면, 함수 $f:U\to\mathbb{C}$ 가 정칙이고 그 도함수가 $U$ 의 모든 곳에서 0이 아님과 $f$ 가 등각 사상임은 동치이다.^[32]^[2] 만약에 $f$ 가 반정칙(정칙 함수에 켤레)이면, 각도는 유지하지만 방향을 반대로 바꾼다.

문헌에는 등각에 대한 또 다른 정의가 있는데, 함수 $f$ 가 평면의 열린 집합에서 일대일이고 정칙인 경우가 그것이다. 열린 사상 정리는 역함수( $f$ 의 이미지에 정의됨)가 정칙임을 보장한다. 따라서, 이 정의에 따르면 사상이 쌍정칙임과 등각임이 동치다. 등각 사상에 대한 위의 두 가지 정의는 동일하지 않다. 일대일이고 정칙이라는 것은 0이 아닌 도함수를 갖는 것을 의미한다. 그러나 지수 함수는 0이 아닌 도함수를 가지는 정칙함수이지만 주기적이기 때문에 일대일이 아니다.^[32]^[2]

복소해석학의 심오한 결과 중 하나인 리만 사상 정리는 다음과 같다: $\mathbb{C}$ 의 모든 비어 있지 않은 단일 연결 열린 진부분 집합에서 $\mathbb{C}$ 의 열린 단위 원판으로 가는 전단사 등각 사상이 존재한다.^[32]^[2]

복소평면 *z*에서 복소평면 *w*로의 사상인 함수 *w* = *f*(*z*)에 대해, 정칙함수는 등각사상이다. 역도 성립한다.^[25]

함수 *f*에 의해 점 *z*₀와 그 근방에 있는 2점 *z*₁, *z*₂가 점 *w*₀와 그 근방에 있는 2점 *w*₁, *w*₂로 사상될 때, *f*가 정칙이라면 점의 접근 방식에 관계없이 미분값이 일정해지므로 미소한 각을 보존한다. 또한, 미소 선분의 확대율은 그 방향에 의존하지 않는다.

2. 1. 복소해석학에서의 등각 사상

U

가 복소 평면

\mathbb{C}

의 열린 부분 집합이면, 함수

f:U\to\mathbb{C}

가 정칙이고 그 도함수가

U

의 모든 곳에서 0이 아님과

f

가 등각 사상임은 동치이다.^[32]^[2] 만약에

f

가 반정칙(정칙 함수에 켤레)이면, 각도는 유지하지만 방향을 반대로 바꾼다.

문헌에는 등각에 대한 또 다른 정의가 있는데, 함수

f

가 평면의 열린 집합에서 일대일이고 정칙인 경우가 그것이다. 열린 사상 정리는 역함수(

f

의 이미지에 정의됨)가 정칙임을 보장한다. 따라서, 이 정의에 따르면 사상이 쌍정칙임과 등각임이 동치다. 등각 사상에 대한 위의 두 가지 정의는 동일하지 않다. 일대일이고 정칙이라는 것은 0이 아닌 도함수를 갖는 것을 의미한다. 그러나 지수 함수는 0이 아닌 도함수를 가지는 정칙함수이지만 주기적이기 때문에 일대일이 아니다.^[32]^[2]

복소해석학의 심오한 결과 중 하나인 리만 사상 정리는 다음과 같다:

\mathbb{C}

의 모든 비어 있지 않은 단일 연결 열린 진부분 집합에서

\mathbb{C}

의 열린 단위 원판으로 가는 전단사 등각 사상이 존재한다.^[32]^[2]

복소평면 *z*에서 복소평면 *w*로의 사상인 함수 *w* = *f*(*z*)에 대해, 정칙함수는 등각사상이다. 역도 성립한다.^[25]

함수 *f*에 의해 점 *z*₀와 그 근방에 있는 2점 *z*₁, *z*₂가 점 *w*₀와 그 근방에 있는 2점 *w*₁, *w*₂로 사상될 때, *f*가 정칙이라면 점의 접근 방식에 관계없이 미분값이 일정해지므로 미소한 각을 보존한다. 또한, 미소 선분의 확대율은 그 방향에 의존하지 않는다.

2. 2. 리만 구면 위의 대역적 등각 사상

리만 구 전체에서 정의된 전사 함수가 등각 사상일 필요충분조건은 뫼비우스 변환이다. 뫼비우스 변환의 켤레 복소수는 각을 보존하지만 방향을 반전시킨다. 예를 들어 원 반전이 있다.

2. 3. 세 가지 유형의 각과 등각성

평면 기하학에서 각도를 보존하는 등각 사상에는 세 가지 유형의 각이 존재한다.^[3] 각 유형은 고유한 실수 대수, 즉 보통의 복소수, 분할복소수, 그리고 이중수에 의해 나타난다.^[4] 각 경우에 등각 사상은 일차분수변환으로 기술된다.

3. 3차원 이상에서의 등각 사상

3. 1. 리만 기하학에서의 등각 사상

리만 기하학에서 매끄러운 다양체

M

에 주어진 두 개의 리만 계량

g

와

h

는

M

에서 정의된 어떤 양함수

u

에 대해

g = u h

인 경우 '''등각적 등치'''라고 한다. 이때 함수

u

를 '''등각 인자'''라고 한다.

두 리만 다양체 사이의 미분동형사상은 당겨진 계량이 원래 계량과 등각적으로 동치일 때 '''등각 사상'''이라고 한다. 예를 들어, 구를 무한대의 점이 추가된 평면에 사영하는 입체 사영은 등각 사상이다.

매끄러운 다양체에서 '''등각 구조'''를 등각적으로 동치인 리만 계량들의 동치류로 정의할 수도 있다.

3. 2. 유클리드 공간에서의 등각 사상

조제프 리우빌의 고전적 정리에 따르면, 2차원에서보다 고차원에서 등각 사상은 훨씬 적다. 유클리드 공간의 열린 부분집합에서 3차원 이상의 동일한 유클리드 공간으로 가는 모든 등각 사상은 세 가지 유형의 변환인 중심 닮음 변환, 등장 변환 및 특수 등각 변환으로 구성될 수 있다. 선형 변환의 경우, 등각 사상은 상사 변환과 등거리 변환으로만 구성될 수 있으며, 등각 선형 변환이라고 한다.

4. 등각 사상의 응용

등각 사상은 항공우주 공학,^[5] 생의학 과학^[6](뇌 지도 작성^[7] 및 유전자 지도 작성 포함^[8]^[9]^[10]), 응용 수학(측지선^[11] 및 기하학^[12]에서), 지구 과학(지구물리학,^[13] 지리학,^[14] 지도 제작 포함)^[15], 공학^[16]^[17], 전자 공학^[18] 등 다양한 분야에서 응용되고 있다.

'''맥스웰 방정식'''

에베네저 커닝햄 (1908)과 해리 배트먼 (1910)은 맥스웰 방정식의 관련 해에 대한 많은 등각 사상들을 규명했다. 케임브리지 대학에서의 교육을 통해 영상법과 구체 및 반전에 대한 관련 영상법을 쉽게 익힐 수 있었다.^[33] 맥스웰 방정식은 로렌츠 변환에 의해 보존되는데, 이 변환들은 원형 및 쌍곡선 회전을 포함하는 군을 형성한다. 쌍곡선 회전은 쌍곡각(속도라고도 함)을 보존하고 다른 회전은 원형 각도를 보존하기 때문에 이러한 모든 변환은 등각적이다. 푸앵카레 군에서 병진을 도입하면 다시 각도가 보존된다.

에베네저 커닝햄과 해리 배트먼은 맥스웰 방정식의 해를 관련짓는 더 큰 등각 사상 군을 확인했다. 앤드류 워릭(2003)의 ''이론의 거장들''에 따르면, 각 4차원 해는 의사반지름

K

의 4차원 초구에서 반전되어 새로운 해를 생성할 수 있다.^[22] 워릭은 이 "상대성 이론의 새로운 정리"를 아인슈타인에 대한 캠브리지의 반응으로, 제임스 홉우드 진스의 교과서 ''전기 및 자기의 수학적 이론''에서와 같이 반전 방법을 사용하는 연습에 기초한 것으로 강조한다.

'''일반 상대성이론'''

일반 상대성이론에서 등각 사상은 가장 단순하고 일반적인 유형의 인과적 변환이다. 이들은 모든 동일한 사건과 상호 작용이 여전히 (인과적으로) 가능하지만, 이에 영향을 미치기 위해서는 새로운 힘이 필요한 다른 우주를 설명한다. 즉, 모든 동일한 궤적의 복제는 측지선 운동에서 벗어나야 하는데, 이는 메트릭 텐서가 다르기 때문이다. 등각 사상은 빅뱅 이전의 우주에 대한 설명을 허용하기 위해 모델을 중력 특이점을 넘어 확장할 수 있도록 만드는 데 자주 사용된다.

'''지도 투영법'''

지도 제작에서 메르카토르 도법과 투영도법을 포함한 여러 가지 명명된 지도 투영법이 각형이며, 나침반 방향을 보존하기 때문에 해상 항해에 유용하다.^[27] 지도 투영법 중에서 등각 사상인 것을 정각도법이라고 부른다.

'''구면에서의 정각 도법'''

지도 제작에서 메르카토르 도법과 투영도법을 포함한 여러 가지 명명된 지도 투영법이 각형이며, 나침반 방향을 보존하기 때문에 해상 항해에 유용하다.

구면으로부터의 투영법은 일반적으로 구면 좌표에서 지도상의 좌표로의 사상 m: (φ, λ) → (x, y) 로서 기술된다. 이 경우에는 함수 행렬 대신에

:

\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial\varphi} &\frac{1}{\cos\varphi}\frac{\partial x}{\partial\lambda} \\\frac{\partial y}{\partial\varphi} &\frac{1}{\cos\varphi}\frac{\partial y}{\partial\lambda} \\\end{pmatrix}

가 회전 행렬의 스칼라 배가 되는 것이 등각 사상이다.

구면에 임의의 점에서 접하는 접평면에 직교좌표계 (ξ, η) 를 취하면, 등각성을 판단하기 위한 사상은 f: (ξ, η) → (x, y) 이며, 이것은 g: (ξ, η) → (φ, λ) 와 m 의 합성이므로

:

J_f = J_m J_g= \begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial\lambda} & \frac{\partial x}{\partial\varphi} \\\frac{\partial y}{\partial\lambda} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial\lambda}{\partial\xi} & \frac{\partial\lambda}{\partial\eta} \\\frac{\partial\varphi}{\partial\xi} & \frac{\partial\varphi}{\partial\eta} \\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial\lambda} & \frac{\partial x}{\partial\varphi} \\\frac{\partial y}{\partial\lambda} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{a\cos\varphi} & 0 \\0 & \frac{1}{a} \\\end{pmatrix}

로서 얻어진다.

'''회전타원체에서 구면으로의 등각 사상'''

지도 제작에서 메르카토르 도법과 투영도법을 포함한 여러 가지 명명된 지도 투영법이 각형입니다. 나침반 방향을 보존하기 때문에 해상 항해에 유용합니다.

회전타원체(편구)에서의 투영법에 대해서도 마찬가지로 등각사상을 정의할 수 있지만, 투영법의 식에 타원적분이 포함되어 해석적으로 구하기 어려운 경우가 있으므로, 과거에는 이미 알려진 회전타원체에서 구면으로의 등각사상에 의해 회전타원체상의 지물을 구면에 사상한 후, 구면에서의 정각도법으로 지도에 투영하는 방법(이중투영)이 사용되었다.

가장 간단한 방법은 경도를 변화시키지 않는 방법이며, 지구타원체의 이심률을

e\,\!

라 할 때, 지구타원체상의 지리위도

\varphi\,\!

에서 구면상의 위도(정각위도)

\chi\,\!

는 다음과 같이 주어진다:

:

\chi=\operatorname{gd}\left(\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)\right)

여기서,

\operatorname{gd}(x)

는 구델만 함수이며,

\operatorname{gd}^{-1}(x)

는 그 역함수를 나타낸다.

또 다른 방법은 경도 방향으로 확대를 수행(즉, 전 지구를 사상하면 겹침이 발생)하는 대신 위도 방향의 축척 변화를 억제하려는 것이다. 투영하려는 범위의 중심점의 지리위도를

\varphi_0\,\!

, 경도를

\lambda_0\,\!

라 하면, 이 중심점에서의 축척 계수의 투영 대상 구면 위도에 대한 2계까지의 미분계수를 0으로 하는 조건을 부여할 때, 지구타원체상의 점

P(\varphi, \lambda)\,\!

는 구면상의 점

P'(\Phi, \Lambda)\,\!

에 다음과 같이 투영된다.^[26]：

:

\begin{align}\Phi & = \operatorname{gd}\left(\alpha\left\{\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-\operatorname{gd}^{-1}(\varphi_0)

e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)+e\tanh^{-1}(e\sin\varphi_0)\right\}

+\tanh^{-1}\left(\frac{\sin\varphi_0}{\alpha}\right)\right) \\\Lambda & = \alpha(\lambda-\lambda_0) \\\alpha & = \sqrt{1+\frac{e^2\cos^4\varphi_0}{1-e^2}} \\\end{align}

이 투영법은 가우스 정각 이중 투영(Gauss conformal double projection)이라고 불리며, 전전 일본에서도 이 방법에 의해 평면직각좌표계(구좌표계)가 형성되었다.

'''회전타원체에서 평면으로의 등각 사상'''

지도 제작에서 메르카토르 도법과 투영도법을 포함한 여러 가지 명명된 지도 투영법이 각형이며, 대표적인 것으로 가우스 크뤼거 도법이 있다.^[27] 가우스-크뤼거 도법은 투영하려는 범위의 중심점을 지나는 자오선(중앙 자오선)의 자오선호 길이를 보존하는 것으로, 현재 한국의 평면직각좌표계 설정에 사용된다.

과거 일본에서 일반적으로 사용되었던 방법은 중앙 자오선으로부터의 경도차가 작은 범위에 한정하여 해당 차에 대해 멱급수 전개한 것^[26]이었지만, 현재는 실용적인 범위 내에서는 특별히 제한을 두지 않고 지구 타원체의 제3편평률만을 계수에 포함하는 멱급수 전개로 표현되는 것^[28]이 사용된다.

지구 표면 전체를 완전히 투영하려면, 야코비의 타원함수를 이용한 표식^[29]^[30]을 사용하게 된다.

'''물리학 및 공학'''

복소 변수 함수로 표현될 수 있는 등각 사상은, 공학 및 물리학에서 복잡한 기하학적 형태를 갖는 문제를 단순화하여 해결하는 데 유용하게 활용된다.^[19] 예를 들어, 특정 각도로 분리된 두 도체 평면 모서리 근처 점전하에 의해 발생하는 전기장(

E(z)

) 계산 문제는, 등각 사상을 통해 각도를

\pi

라디안으로 변환하여 쉽게 해결할 수 있다. 이 변환된 영역에서 해를 구하고, 원래 영역으로 다시 사상하면

E(w)

를

E(w(z))

로, 즉 원래 좌표계

z

의 함수로 표현할 수 있다. 이는 등각 사상이 영역 내부의 점에 대해서만 각도를 보존하고 경계에서는 그렇지 않다는 점을 이용한 것이다. 또 다른 예로는 탱크 내 액체 슬로싱의 경계값 문제를 푸는 데 등각 사상 기법을 적용하는 것을 들 수 있다.^[19]

평면 영역에서 조화 함수(라플라스 방정식

\nabla^2 f=0

을 만족)는 등각 사상을 통해 다른 평면 영역으로 변환되어도 여전히 조화 함수이다. 따라서 퍼텐셜에 의해 정의된 함수는 등각 사상으로 변환되어도 여전히 퍼텐셜의 지배를 받는다. 물리학에서 이러한 예로는 전자기장, 중력장, 유체 역학에서 밀도가 일정하고 점성이 0이며 비회전 유동인 퍼텐셜 유동 등이 있다. 주코프스키 변환은 유체 역학에서 주코프스키 에어포일 주변의 유동장을 분석하는 데 사용되는 등각 사상의 한 예시이다.

등각 사상은 특정 기하학적 형태에서 비선형 편미분 방정식을 푸는 데에도 유용하며, 해석적 해는 수치적 시뮬레이션의 정확도를 확인하는 데 사용된다. 예를 들어, 반무한 벽 주변의 매우 점성이 큰 자유 표면 유동의 경우, 해가 1차원이고 계산이 간단한 반평면으로 영역을 사상할 수 있다.^[20]

이산 시스템의 경우, Noury와 Yang은 반전 사상을 통해 이산 시스템의 근궤적을 연속 근궤적으로 변환하는 방법을 제시했다.^[21]

4. 1. 맥스웰 방정식

에베네저 커닝햄(1908)과 해리 배이트먼(1910)은 맥스웰 방정식의 관련 해에 대한 많은 등각 사상들을 규명했다. 케임브리지 대학에서의 교육을 통해 영상법과 구체 및 반전에 대한 관련 영상법을 쉽게 익힐 수 있었다.^[33] 맥스웰 방정식은 로렌츠 변환에 의해 보존되는데, 이 변환들은 원형 및 쌍곡선 회전을 포함하는 군을 형성한다. 쌍곡선 회전은 쌍곡각(속도라고도 함)을 보존하고 다른 회전은 원형 각도를 보존하기 때문에 이러한 모든 변환은 등각적이다. 푸앵카레 군에서 병진을 도입하면 다시 각도가 보존된다.

에베네저 커닝햄과 해리 배트먼은 맥스웰 방정식의 해를 관련짓는 더 큰 등각 사상 군을 확인했다. 앤드류 워릭(2003)의 ''이론의 거장들''에 따르면, 각 4차원 해는 의사반지름

K

의 4차원 초구에서 반전되어 새로운 해를 생성할 수 있다.^[22] 워릭은 이 "상대성 이론의 새로운 정리"를 아인슈타인에 대한 캠브리지의 반응으로, 제임스 홉우드 진스의 교과서 ''전기 및 자기의 수학적 이론''에서와 같이 반전 방법을 사용하는 연습에 기초한 것으로 강조한다.

4. 2. 일반 상대성 이론

일반 상대성이론에서 등각 사상은 가장 단순하고 일반적인 유형의 인과적 변환이다. 이들은 모든 동일한 사건과 상호 작용이 여전히 (인과적으로) 가능하지만, 이에 영향을 미치기 위해서는 새로운 힘이 필요한 다른 우주를 설명한다. 즉, 모든 동일한 궤적의 복제는 측지선 운동에서 벗어나야 하는데, 이는 메트릭 텐서가 다르기 때문이다. 등각 사상은 빅뱅 이전의 우주에 대한 설명을 허용하기 위해 모델을 중력 특이점을 넘어 확장할 수 있도록 만드는 데 자주 사용된다.

4. 3. 지도 투영법

지도 제작에서 메르카토르 도법과 투영도법을 포함한 여러 가지 명명된 지도 투영법이 각형이며, 나침반 방향을 보존하기 때문에 해상 항해에 유용하다.^[27] 지도 투영법 중에서 등각 사상인 것을 정각도법이라고 부른다.

4. 3. 1. 구면에서의 정각 도법

지도 제작에서 메르카토르 도법과 투영도법을 포함한 여러 가지 명명된 지도 투영법이 각형이며, 나침반 방향을 보존하기 때문에 해상 항해에 유용하다.

구면으로부터의 투영법은 일반적으로 구면 좌표에서 지도상의 좌표로의 사상 m: (φ, λ) → (x, y) 로서 기술된다. 이 경우에는 함수 행렬 대신에

:

\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial\varphi} &\frac{1}{\cos\varphi}\frac{\partial x}{\partial\lambda} \\\frac{\partial y}{\partial\varphi} &\frac{1}{\cos\varphi}\frac{\partial y}{\partial\lambda} \\\end{pmatrix}

가 회전 행렬의 스칼라 배가 되는 것이 등각 사상이다.

구면에 임의의 점에서 접하는 접평면에 직교좌표계 (ξ, η) 를 취하면, 등각성을 판단하기 위한 사상은 f: (ξ, η) → (x, y) 이며, 이것은 g: (ξ, η) → (φ, λ) 와 m 의 합성이므로

:

J_f = J_m J_g= \begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial\lambda} & \frac{\partial x}{\partial\varphi} \\\frac{\partial y}{\partial\lambda} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial\lambda}{\partial\xi} & \frac{\partial\lambda}{\partial\eta} \\\frac{\partial\varphi}{\partial\xi} & \frac{\partial\varphi}{\partial\eta} \\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial\lambda} & \frac{\partial x}{\partial\varphi} \\\frac{\partial y}{\partial\lambda} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{a\cos\varphi} & 0 \\0 & \frac{1}{a} \\\end{pmatrix}

로서 얻어진다.

4. 3. 2. 회전타원체에서 구면으로의 등각 사상

지도 제작에서 메르카토르 도법과 투영도법을 포함한 여러 가지 명명된 지도 투영법이 각형입니다. 나침반 방향을 보존하기 때문에 해상 항해에 유용합니다.

회전타원체(편구)에서의 투영법에 대해서도 마찬가지로 등각사상을 정의할 수 있지만, 투영법의 식에 타원적분이 포함되어 해석적으로 구하기 어려운 경우가 있으므로, 과거에는 이미 알려진 회전타원체에서 구면으로의 등각사상에 의해 회전타원체상의 지물을 구면에 사상한 후, 구면에서의 정각도법으로 지도에 투영하는 방법(이중투영)이 사용되었다.

가장 간단한 방법은 경도를 변화시키지 않는 방법이며, 지구타원체의 이심률을

e\,\!

라 할 때, 지구타원체상의 지리위도

\varphi\,\!

에서 구면상의 위도(정각위도)

\chi\,\!

는 다음과 같이 주어진다:

:

\chi=\operatorname{gd}\left(\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)\right)

여기서,

\operatorname{gd}(x)

는 구델만 함수이며,

\operatorname{gd}^{-1}(x)

는 그 역함수를 나타낸다.

또 다른 방법은 경도 방향으로 확대를 수행(즉, 전 지구를 사상하면 겹침이 발생)하는 대신 위도 방향의 축척 변화를 억제하려는 것이다. 투영하려는 범위의 중심점의 지리위도를

\varphi_0\,\!

, 경도를

\lambda_0\,\!

라 하면, 이 중심점에서의 축척 계수의 투영 대상 구면 위도에 대한 2계까지의 미분계수를 0으로 하는 조건을 부여할 때, 지구타원체상의 점

P(\varphi, \lambda)\,\!

는 구면상의 점

P'(\Phi, \Lambda)\,\!

에 다음과 같이 투영된다.^[26]：

:

\begin{align}\Phi & = \operatorname{gd}\left(\alpha\left\{\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-\operatorname{gd}^{-1}(\varphi_0)

e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)+e\tanh^{-1}(e\sin\varphi_0)\right\}

+\tanh^{-1}\left(\frac{\sin\varphi_0}{\alpha}\right)\right) \\\Lambda & = \alpha(\lambda-\lambda_0) \\\alpha & = \sqrt{1+\frac{e^2\cos^4\varphi_0}{1-e^2}} \\\end{align}

이 투영법은 가우스 정각 이중 투영(Gauss conformal double projection)이라고 불리며, 전전 일본에서도 이 방법에 의해 평면직각좌표계(구좌표계)가 형성되었다.

4. 3. 3. 회전타원체에서 평면으로의 등각 사상

지도 제작에서 메르카토르 도법과 투영도법을 포함한 여러 가지 명명된 지도 투영법이 각형이며, 대표적인 것으로 가우스 크뤼거 도법이 있다.^[27] 가우스-크뤼거 도법은 투영하려는 범위의 중심점을 지나는 자오선(중앙 자오선)의 자오선호 길이를 보존하는 것으로, 현재 한국의 평면직각좌표계 설정에 사용된다.

과거 일본에서 일반적으로 사용되었던 방법은 중앙 자오선으로부터의 경도차가 작은 범위에 한정하여 해당 차에 대해 멱급수 전개한 것^[26]이었지만, 현재는 실용적인 범위 내에서는 특별히 제한을 두지 않고 지구 타원체의 제3편평률만을 계수에 포함하는 멱급수 전개로 표현되는 것^[28]이 사용된다.

지구 표면 전체를 완전히 투영하려면, 야코비의 타원함수를 이용한 표식^[29]^[30]을 사용하게 된다.

4. 4. 물리학 및 공학

복소 변수 함수로 표현될 수 있는 등각 사상은, 공학 및 물리학에서 복잡한 기하학적 형태를 갖는 문제를 단순화하여 해결하는 데 유용하게 활용된다.^[19] 예를 들어, 특정 각도로 분리된 두 도체 평면 모서리 근처 점전하에 의해 발생하는 전기장(

E(z)

) 계산 문제는, 등각 사상을 통해 각도를

\pi

라디안으로 변환하여 쉽게 해결할 수 있다. 이 변환된 영역에서 해를 구하고, 원래 영역으로 다시 사상하면

E(w)

를

E(w(z))

로, 즉 원래 좌표계

z

의 함수로 표현할 수 있다. 이는 등각 사상이 영역 내부의 점에 대해서만 각도를 보존하고 경계에서는 그렇지 않다는 점을 이용한 것이다. 또 다른 예로는 탱크 내 액체 슬로싱의 경계값 문제를 푸는 데 등각 사상 기법을 적용하는 것을 들 수 있다.^[19]

평면 영역에서 조화 함수(라플라스 방정식

\nabla^2 f=0

을 만족)는 등각 사상을 통해 다른 평면 영역으로 변환되어도 여전히 조화 함수이다. 따라서 퍼텐셜에 의해 정의된 함수는 등각 사상으로 변환되어도 여전히 퍼텐셜의 지배를 받는다. 물리학에서 이러한 예로는 전자기장, 중력장, 유체 역학에서 밀도가 일정하고 점성이 0이며 비회전 유동인 퍼텐셜 유동 등이 있다. 주코프스키 변환은 유체 역학에서 주코프스키 에어포일 주변의 유동장을 분석하는 데 사용되는 등각 사상의 한 예시이다.

등각 사상은 특정 기하학적 형태에서 비선형 편미분 방정식을 푸는 데에도 유용하며, 해석적 해는 수치적 시뮬레이션의 정확도를 확인하는 데 사용된다. 예를 들어, 반무한 벽 주변의 매우 점성이 큰 자유 표면 유동의 경우, 해가 1차원이고 계산이 간단한 반평면으로 영역을 사상할 수 있다.^[20]

이산 시스템의 경우, Noury와 Yang은 반전 사상을 통해 이산 시스템의 근궤적을 연속 근궤적으로 변환하는 방법을 제시했다.^[21]

참조

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_[31] 서적 Inversion Theory and Conformal Mapping American Mathematical Society 2000-08-17
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