카르탕 부분 대수

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1. 개요

카르탕 부분 대수는 리 대수의 리 부분 대수로서, 특정 조건을 만족한다. 체가 무한체일 때 유한 차원 리 대수에 대해 존재하며, 체가 표수 0의 대수 닫힌체일 경우 모든 카르탕 부분환은 자기 동형 아래에서 켤레이고, 그 차원은 리 대수의 계수라고 불린다. 카르탕 부분 대수는 카츠-무디 리 대수 및 일반 카츠-무디 리 대수에서도 찾을 수 있다. 반단순 리 대수의 경우 카르탕 부분 대수는 아벨 리 대수이며, 수반 표현의 이미지는 반단순 연산자로 구성된다. 또한, 리 대수를 카르탕 부분 대수로 분해하는 것과 관련된 분해가 존재하며, 대수적으로 닫혀 있지 않은 체 위에서는 모든 카르탕 부분 대수가 켤레 관계에 있지는 않다. 분할 카르탕 부분 대수는 대수적으로 닫히지 않은 체에서 중요한 역할을 하며, 리 군의 카르탕 부분군은 그 리 대수가 카르탕 부분 대수인 부분군이다.

카르탕 부분 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수
4. 예시
5. 분할 카르탕 부분 대수
6. 카르탕 부분군

2. 정의

$\mathfrak g$ 가 리 대수라고 할 때, $\mathfrak g$ 의 카르탕 부분 대수는 다음 두 성질을 만족하는 리 부분 대수 $\mathfrak h\subset\mathfrak g$ 이다.

* 만약 $X\in\mathfrak g$ 이고, $[X,\mathfrak h]\subset\mathfrak h$ 라면 $X\in\mathfrak h$ 이다.
* $\underbrace{[\mathfrak g,[\mathfrak g,[\dotsb,[\mathfrak g,\mathfrak g}_n]\dotsb]]]=0$ 인 정수 $n$ 이 존재한다.

3. 성질

체가 무한체일 때 유한 차원 리 대수에는 카르탕 부분 대수가 존재한다. 정규 원소를 이용하여 카르탕 부분 대수를 구성할 수 있다. 표수가 0이고 대수적으로 닫혀 있는 체 위에서, 유한 차원 리 대수의 모든 카르탕 부분 대수들은 리 대수의 자기 동형에 의하여 서로 동형이다. 카르탕 부분 대수의 공통 차원은 해당 대수의 계수(rank)라고 한다.

$\mathfrak{g}$ 가 대수적으로 닫힌 체 위의 선형 리 대수인 경우, $\mathfrak{g}$ 의 모든 카르탕 부분 대수는 $\mathfrak{g}$ 의 최대 토르 리 대수의 중심화 리 대수이다. 반단순 리 대수는 수반 표현을 통해 선형 리 대수로 나타낼 수 있으며, 이때 부분 대수가 카르탕 부분 대수인 것과 최대 토러스 부분 대수인 것은 동치이다.

카츠-무디 리 대수 및 일반 카츠-무디 리 대수도 카르탕 부분환을 갖는다.

3.1. 반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 에 대해, 카르탕 부분 대수 $\mathfrak h$ 는 다음 성질을 갖는다.

* $\mathfrak h$ 는 아벨 리 대수이다.
* 수반 표현 $\operatorname{ad} : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ 에 대해, 이미지 $\operatorname{ad}(\mathfrak h)$ 는 반단순 연산자(즉, 대각화 가능한 행렬)로 구성된다.

이 두 가지 성질은 $\operatorname{ad}(\mathfrak h)$ 의 연산자가 동시에 대각화 가능하며, $\mathfrak{g}$ 를 다음처럼 직합으로 분해할 수 있음을 말해준다.
: $\mathfrak{g} = \bigoplus_{\lambda \in \mathfrak{h}^*} \mathfrak{g}_\lambda$
여기서
: $\mathfrak{g}_\lambda = \{ x \in \mathfrak{g} : \text{ad}(h)x = \lambda(h)x, \text{ for } h \in \mathfrak{h}\}$ 이다.

$\Phi = \{ \lambda \in \mathfrak{h}^* \setminus \{0\} | \mathfrak{g}_\lambda \ne \{0\} \}$ 라고 하자. 그러면 $\Phi$ 는 근계이며, $\mathfrak{g}_0 = \mathfrak h$ 이다. 즉, $\mathfrak{h}$ 의 중심화자는 $\mathfrak{h}$ 와 일치한다. 위의 분해는 다음과 같이 쓸 수 있다.
: $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \left(\bigoplus_{\lambda \in \Phi} \mathfrak{g}_\lambda\right)$
결과적으로, 각 $\lambda \in \Phi$ 에 대해, $\mathfrak{g}_{\lambda}$ 는 차원이 1이므로 다음과 같다.
: $\dim \mathfrak{g} = \dim \mathfrak{h} + \# \Phi$ .

4. 예시

* 임의의 멱영 리 대수는 자기 자신의 카르탕 부분 대수이다.
* 정사각 행렬의 리 대수인 $\mathfrak{gl}_{n}$ 의 카르탕 부분 대수는 모든 대각 행렬의 대수이다.
* 대각합이 0인 $n \times n$ 행렬의 특수 리 대수 $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ 의 카르탕 부분 대수는 대각합이 0인 대각 행렬들로 구성된다.
* 대각합이 0인 $2 \times 2$ 행렬의 리 대수 $\mathfrak{sl}_{2}(\mathbb{R})$ 는 두 개의 비-공액 카르탕 부분 대수를 가진다.
* 카르탕 부분 대수의 차원은 일반적으로 복소 단순 리 대수에서도 아벨 부분 대수의 최대 차원이 아니다. 예를 들어, 대각합이 0인 $2n \times 2n$ 행렬의 리 대수 $\mathfrak{sl}_{2n}(\mathbb{C})$ 는 랭크 $2n-1$ 인 카르탕 부분 대수를 가지지만, 차원이 $n^{2}$ 인 최대 아벨 부분 대수를 갖는다. 이 아벨 부분 대수는 멱영 대수에 포함되므로 카르탕 부분 대수가 아니다.

5. 분할 카르탕 부분 대수

대수적으로 닫혀 있지 않은 체 위에서는 모든 카르탕 부분 대수가 켤레 관계에 있지는 않다. 중요한 부류는 분할 카르탕 부분 대수이다. 만약 리 대수가 분할 카르탕 부분 대수 $\mathfrak{h}$ 를 갖는다면, 이를 "분할 가능"이라고 하며, 쌍 $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 는 분할 리 대수라고 한다. 대수적으로 닫힌 체 위에서는 모든 반단순 리 대수가 분할 가능하다. 두 분할 카르탕 대수는 모두 켤레 관계에 있으며, 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수에서 카르탕 대수와 유사한 역할을 수행하므로, 분할 반단순 리 대수(사실, 분할 환원 리 대수)는 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수와 많은 성질을 공유한다.

그러나 대수적으로 닫혀 있지 않은 체 위에서는 모든 반단순 리 대수가 분할 가능한 것은 아니다.

6. 카르탕 부분군

리 군–리 대수 대응에서, 리 군의 카르탕 부분군은 그 리 대수가 카르탕 부분 대수인 부분군이다. 콤팩트 연결 리 군의 경우, 카르탕 부분군은 극대 연결 아벨 군(극대 토러스)이다.

연결되지 않은 콤팩트 리 군의 경우, 카르탕 부분군의 정의는 여러 가지가 있을 수 있다. 데이비드 보간이 제안한 일반적인 접근 방식은 고정된 극대 토러스를 정규화하면서 기본 바일 영을 보존하는 원소의 군으로 정의한다. 이 버전은 때때로 '큰 카르탕 부분군'이라고 불린다. 또한, 극대 토러스의 중심화자로 정의되는 '작은 카르탕 부분군'이 존재한다. 이러한 카르탕 부분군은 일반적으로 아벨 군이 아닐 수 있다는 점에 유의해야 한다.