분할 리 대수

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1. 개요

분할 리 대수는 체 K 위의 리 대수와 관련된 개념으로, 특정 조건을 만족하는 카르탕 부분 대수를 갖는 리 대수를 의미한다. 분할 리 대수는 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 반단순 리 대수가 가질 수 있는 구조이며, 준분할 리 대수와 밀접한 관련을 가진다. 실수 리 대수의 경우, 분할 가능성은 사타케 다이어그램의 특성과 관련이 있으며, 모든 복소수 단순 리 대수는 고유한 분할 실수 형식을 갖는다.

분할 리 대수

기본 정보

유형	리 대수
분야	수학, 특히 리 이론
정의	분할 가능 대수를 포함하는 리 대수

역사

창시자	빌헬름 킬링

관련 개념	킬링 형식, 카르탕 부분대수, 루트 시스템, 바일 군

2. 정의

분할 카르탕 부분 대수를 갖는 리 대수를 분할 리 대수라고 한다.

2.1. 분할 카르탕 부분 대수

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 $\mathfrak g$ 의 카르탕 부분 대수 $\mathfrak h$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 분할 카르탕 부분 대수라고 한다.
* 임의의 $x\in\mathfrak h$ 에 대하여, 선형 사상 $\operatorname{ad}_{\mathfrak g}x = [x,-] \colon \mathfrak g\to\mathfrak g$ 가 삼각 행렬이 되는 $\mathfrak g$ 의 $K$ -기저가 존재한다.
분할 카르탕 부분 대수를 갖는 리 대수를 분할 리 대수라고 한다.

3. 성질

대수적으로 닫힌 체 위의 모든 반단순 리 대수는 분할 리 대수의 구조를 가질 수 있다. 그러나 이는 대수적으로 닫힌 체가 아닌 체에 대하여 성립하지 않을 수 있다.

3.1. 켤레 관계

대수적으로 닫힌 체 위에서는 모든 카르탕 부분 대수는 켤레 관계에 있다. 그러나 대수적으로 닫히지 않은 체 위에서는 일반적으로 모든 카르탕 부분 대수가 켤레 관계에 있는 것은 아니다. 다만, 가분 단순 리 대수에서는 모든 분할 카르탕 대수가 켤레 관계에 있다. 가분 리 대수에는 분할되지 않은 카르탕 부분 대수가 존재할 수도 있다.

3.2. 분할 가능성

대수적으로 닫힌 체 위에서는 모든 반단순 리 대수가 분할 리 대수의 구조를 가질 수 있다. 즉, 복소수체와 같이 대수적으로 닫힌 체 위에서는 모든 반단순 리 대수가 가분(split)이다.

그러나 대수적으로 닫힌 체가 아닌 체, 예를 들어 실수체 $\mathbb R$ 위에서는 가분되지 않는 반단순 리 대수가 존재한다.

표수 0의 체 $K$ 위에서, 보렐 부분 리 대수(즉, 극대 가해 부분 리 대수)를 갖는 리 대수를 준분할 리 대수(quasisplit Lie algebra^영어)라고 한다. 분할 리 대수는 항상 준분할 리 대수이다. 만약 $K$ 가 대수적으로 닫힌 체라면, 반단순 리 대수, 준분할 리 대수, 분할 리 대수의 개념은 모두 일치한다.

카르탕 부분 대수와의 관계는 다음과 같다.
* 대수적으로 닫힌 체 위에서는 모든 카르탕 부분 대수가 켤레 관계에 있다.
* 대수적으로 닫히지 않은 체 위에서는 일반적으로 모든 카르탕 부분 대수가 켤레 관계에 있는 것은 아니지만, 가분 단순 리 대수에서는 모든 분할 카르탕 대수가 켤레 관계에 있다.
* 가분 리 대수에도 분할되지 않은 카르탕 부분 대수가 존재할 수 있다.

또한, 가분 리 대수의 직합 및 가분 리 대수의 아이디얼은 가분이다.

3.3. 연산

유한 개의 분할 리 대수 $(\mathfrak g_i,\mathfrak h_i)_{i\in I}$ 가 주어졌을 때, 그 직합
: $(\mathfrak g,\mathfrak h)$
: $\mathfrak g=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak g_i$
: $\mathfrak h=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak h_i$
역시 분할 리 대수를 이룬다.

또한, 가분 리 대수의 직합 및 가분 리 대수의 아이디얼은 가분이다.

3.4. 준분할 리 대수

표수 0의 체 $K$ 위에서, 보렐 부분 리 대수(즉, 극대 가해 부분 리 대수)를 갖는 리 대수를 준분할 리 대수(quasisplit Lie algebra^영어)라고 한다. 이 경우, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
: 분할 리 대수 ∪ $\bar K$ -반단순 리 대수 ⊆ 준분할 리 대수 ⊆ 반단순 리 대수
여기서 $\bar K$ 는 $K$ 의 대수적 폐포이다. 만약 $K$ 가 대수적으로 닫힌 체(예를 들어, 복소수체)라면, 위 포함 관계들은 모두 등호가 된다. 그러나 만약 $K=\mathbb R$ (실수체)일 때, 이는 모두 등호가 아니다.

3.5. 실수 분할 리 대수

실수 리 대수의 경우, 분할 가능성은 다음 조건 중 하나와 동등하다.
* 실수 계수가 복소수 계수와 같다.
* 사타케 다이어그램에 검은 꼭짓점이나 화살표가 없다.

모든 복소수 반단순 리 대수는 동형 사상을 제외하고 유일한 분할 가능 실수 리 대수를 가지며, 이 실수 리 대수는 반단순이고, 원래 복소수 리 대수가 단순할 경우에만 단순하다.

실수 반단순 리 대수의 경우, 분할 리 대수는 콤팩트 리 대수와는 반대되는 성질을 가진다. 즉, 분할 리 대수에 대응하는 리 군은 콤팩트성과는 거리가 멀다고 할 수 있다.

4. 예시

각 복소수 단순 리 대수는 정확히 하나의 분할 실수 형식을 갖는다.

4.1. 복소수 단순 리 대수의 실수 형식

각 복소수 단순 리 대수는 정확히 하나의 분할 실수 형식을 갖는다. 그러나 이들은 하나 이상의 준분할 실수 형식을 가질 수 있다.

복소수 단순 리 대수들 가운데, 분할이 아닌 준분할 실수 형식을 갖는 것들은 다음과 같다.

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좌우로 밀어서 보기

복소수 단순 리 대수	분할 실수 형식	분할이 아닌 준분할 실수 형식
$\mathfrak{sl}(n;\mathbb C)$	$\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)$	$\mathfrak{su}(\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil)$
$\mathfrak o(2n;\mathbb C)$	$\mathfrak o(n,n)$	$\mathfrak o(n-1,n+1)$
$\mathfrak e_6$	$\mathfrak e_{6(6)}$	$\mathfrak e_{6(2)}$

4.2. 분할 실수 형식을 갖는 복소 반단순 리 대수

복소 반단순 리 대수의 분할 실수 형태는 다음과 같다.
* $A_n, \mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbf{C}): \mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbf{R})$
* $B_n, \mathfrak{so}_{2n+1}(\mathbf{C}): \mathfrak{so}_{n,n+1}(\mathbf{R})$
* $C_n, \mathfrak{sp}_n(\mathbf{C}): \mathfrak{sp}_n(\mathbf{R})$
* $D_n, \mathfrak{so}_{2n}(\mathbf{C}): \mathfrak{so}_{n,n}(\mathbf{R})$
* 예외 리 대수: $E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$ 는 분할 실수 형태 EI, EV, EVIII, FI, G를 갖는다.
이는 복소 리 군의 분할 실수 군의 리 대수이다.

$\mathfrak{sl}$ 과 $\mathfrak{sp}$ 의 경우, 실수 형태는 동일한 대수적 군의 실수 점(리 대수)인 반면, $\mathfrak{so}$ 의 경우, 군 SO가 콤팩트하기 때문에, 분할 형태를 사용해야 한다.

4.3. 분할이 아닌 준분할 실수 형식

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복소수 단순 리 대수	분할 실수 형식	분할이 아닌 준분할 실수 형식
$\mathfrak{sl}(n;\mathbb C)$	$\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)$	$\mathfrak{su}(\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil)$
$\mathfrak o(2n;\mathbb C)$	$\mathfrak o(n,n)$	$\mathfrak o(n-1,n+1)$
$\mathfrak e_6$	$\mathfrak e_{6(6)}$	$\mathfrak e_{6(2)}$