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직합

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목차

1. 개요

직합은 두 개 이상의 수학적 구조를 결합하여 새로운 구조를 만드는 방법으로, 벡터 공간, 아벨 군, 가군, 그리고 노름이나 내적과 같은 추가 구조를 갖는 공간 등 다양한 수학적 대상에 적용된다. 직합은 각 구조의 원소를 묶어 새로운 구조를 형성하며, 그 차원, 랭크, 또는 노름 등을 정의한다. 특히, 힐베르트 공간의 직합은 내적 공간의 완비를 통해 얻어지며, 텐서 곱과 같은 다른 수학적 연산과의 관계를 갖는다.

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직합
정의
한국어가군의 직합
영어Direct sum of modules
일본어加群の直和 (かぐんのちょくわ)
설명대수학에서 가군의 직합은 여러 가군을 결합하여 더 큰 가군을 만드는 연산이다.
구성 요소
가군여러 개의 가군 (예: A, B, C, ...)
연산각 가군의 원소를 더하여 새로운 가군의 원소를 생성
결과원래 가군들의 "직합"이라고 불리는 더 큰 가군 생성
표기법
일반적인 표기A ⊕ B ⊕ C ⊕ ...
설명⊕ 기호는 직합을 나타내며, 각 가군은 직합의 구성 요소가 된다.
특징
원소직합의 원소는 각 가군에서 선택된 원소들의 순서쌍으로 표현된다.
연산각 가군의 연산을 보존하며, 각 구성 요소별로 연산이 수행된다.
영원각 가군의 영원을 포함한다.
예시
예시 1두 개의 R-가군 A와 B의 직합은 A ⊕ B로 표기된다. 이 가군의 원소는 (a, b) 형태이며, 여기서 a는 A의 원소이고 b는 B의 원소이다.
예시 2유한 개의 가군의 직합은 각 가군의 원소들을 순서대로 나열하여 표현할 수 있다. 무한 개의 가군의 직합은 각 가군에서 유한 개의 원소만 0이 아닌 경우에만 정의된다.
활용
대수학가군의 구조를 연구하고 분류하는 데 사용된다.
표현론군의 표현을 분석하고 구성하는 데 사용된다.
호몰로지 대수학사슬 복합체의 구조를 연구하는 데 사용된다.
참고 사항
직적과의 차이직적은 각 가군의 모든 원소를 포함하는 반면, 직합은 유한 개의 가군에서만 0이 아닌 원소를 포함한다.
일반화직합은 범주론에서 쌍대곱의 특수한 경우로 일반화될 수 있다.

2. 벡터 공간 및 아벨 군의 직합

벡터 공간과 아벨 군은 직합 연산이 가장 기본적으로 정의되는 구조이다.

두 벡터 공간 및 두 아벨 군의 직합을 정의하는 더 일반적인 경우는 아래에서 다룬다. 일반적인 구성의 핵심 요소는 이 두 가지 경우를 심층적으로 고려하여 더욱 명확하게 식별할 수 있다.[1]

2. 1. 벡터 공간의 직합

체 K 위의 벡터 공간 V와 W가 주어졌을 때, 두 공간의 곱집합 V × W에 다음과 같이 연산을 정의하여 K 위의 벡터 공간으로 만들 수 있다.

임의의 V의 원소 v, v1, v2와 W의 원소 w, w1, w2 및 K의 원소 α에 대해,

  • (v1, w1) + (v2, w2) = (v1 + v2, w1 + w2)
  • α(v, w) = (αv, αw)


이렇게 정의된 벡터 공간을 V와 W의 '''직합'''이라 하고, 기호로는 V \oplus W로 나타낸다.

V ⊕ W의 부분공간 V × {0}은 V와 동형이며, 많은 경우 V와 동일하게 취급한다. ({0} × W와 W의 경우도 마찬가지이다.) 이렇게 하면 V ⊕ W의 모든 원소는 V의 원소 하나와 W의 원소 하나의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. V ⊕ W의 차원은 V의 차원과 W의 차원을 합한 것과 같다.

이 정의는 유한 개의 벡터 공간들의 직합으로 쉽게 일반화할 수 있다. 예를 들어, 임의의 부분 공간 W와 그 직교 여공간으로부터 유한 벡터 공간을 재구성할 수 있다.

:\mathbb{R}^n = W \oplus W^{\perp}

2. 2. 아벨 군의 직합

가환군 ''G''와 ''H''가 덧셈 기호(+)를 사용하여 표기될 때, ''G''와 ''H''의 직접곱은 직합이라고도 불린다.[1] 따라서 데카르트 곱 ''G'' × ''H''는 다음과 같이 성분별 연산을 통해 가환군의 구조를 갖는다.

: (''g''1, ''h''1) + (''g''2, ''h''2) = (''g''1 + ''g''2, ''h''1 + ''h''2)

여기서 ''g''1, ''g''2는 ''G''의 원소이고, ''h''1, ''h''2는 ''H''의 원소이다.

정수 곱셈 역시 성분별로 정의된다.

: ''n''(''g'', ''h'') = (''ng'', ''nh'')

여기서 ''g''는 ''G''의 원소, ''h''는 ''H''의 원소, ''n''은 정수이다. 이는 벡터 공간의 스칼라 곱을 직합으로 확장하는 것과 유사하다.

결과적으로 얻어지는 가환군은 ''G''와 ''H''의 ''직합''이라 불리며, 보통 G \oplus H와 같이 원 안에 덧셈 기호를 넣어 표시한다. 순서쌍 (''g'', ''h'') 대신 순서합의 원소를 ''g'' + ''h''로 표기하는 것이 일반적이다.

''G'' ⊕ ''H''의 부분군 ''G'' × {0}은 ''G''와 동형이며, 종종 ''G''와 동일시된다. {0} × ''H''와 ''H''도 마찬가지이다. 이러한 동일시를 통해, ''G'' ⊕ ''H''의 모든 원소는 ''G''의 원소와 ''H''의 원소의 합으로 유일하게 표현될 수 있다. ''G'' ⊕ ''H''의 계수(랭크)는 ''G''의 랭크와 ''H''의 랭크의 합과 같다.

이 구성은 임의의 유한 개수의 가환군으로 쉽게 일반화된다.

3. 가군의 직합

벡터 공간과 아벨 군의 직합은 가군의 직합으로 일반화될 수 있다.

환 ''R'' 위의 가군들의 족 {''M''''i'' : ''i'' ∈ ''I''}이 주어졌을 때, 이들의 직합은 유한 개를 제외한 모든 인덱스 ''i''에 대해 α''i'' = 0인 모든 수열 (α''i'')의 집합이다. 여기서 α''i''는 각 가군 ''M''''i''의 원소이다.

이 집합은 성분별 덧셈과 스칼라 곱셈을 통해 가군 구조를 가진다. 두 수열 α = (α''i'')와 β = (β''i'')의 덧셈은 (α + β)''i'' = α''i'' + β''i''로, 스칼라 곱셈은 ''R''의 원소 ''r''에 대해 (''r''α)''i'' = ''r''α''i''로 정의된다.

가군의 직합에 대한 더 자세한 내용은 가군의 직합 정의 및 가군의 직합의 성질 문단을 참조하라.

3. 1. 가군의 직합 정의

환 ''R'' 위의 가군들의 족 {''M''''i'' : ''i'' ∈ ''I''}이 주어졌을 때, 이들의 직합은 유한 개의 ''i''를 제외하고 α''i'' = 0인 모든 수열 (α''i'')의 집합이다. 여기서 α''i''는 각 가군 ''M''''i''의 원소이다.

이 집합은 성분별 덧셈과 스칼라 곱셈을 통해 가군 구조를 가진다. 즉, 두 수열 α = (α''i'')와 β = (β''i'')의 덧셈은 (α + β)''i'' = α''i'' + β''i''로 정의되고, 스칼라 곱셈은 ''R''의 원소 ''r''에 대해 (''r''α)''i'' = ''r''α''i''로 정의된다.

이러한 방식으로 정의된 직합은 다음과 같이 표기한다.

:\bigoplus_{i \in I} M_i.

수열 (α''i'')는 종종 합 \sum \alpha_i로 표현되기도 하며, 유한 개의 항을 제외하고 모두 0임을 강조하기 위해 \sum' \alpha_i와 같이 표현하기도 한다.

3. 2. 가군의 직합의 성질


  • 직합은 모듈 ''M''''i''의 직접곱의 부분 가군이다. 직접곱은 ''I''에서 모듈 ''M''''i''의 서로소 합집합으로 가는 모든 함수 ''α''의 집합으로, ''α''(''i'')∈''M''''i''를 만족한다. 단, 모든 ''i''에 대해 유한 개를 제외하고는 0이 될 필요는 없다. 인덱스 집합 ''I''가 유한하다면, 직합과 직접곱은 같다.
  • 각 모듈 ''M''''i''는 ''i''와 다른 모든 인덱스에서 0이 되는 함수로 구성된 직합의 부분 가군과 동일시될 수 있다. 이러한 동일시를 통해, 직합의 모든 원소 ''x''는 모듈 ''M''''i''의 유한 개 원소의 합으로 유일하게 표현될 수 있다.
  • ''M''''i''가 벡터 공간이라면, 직합의 차원은 ''M''''i''의 차원의 합과 같다. 이는 아벨 군의 계수와 가군의 길이에도 적용된다.
  • 텐서 곱은 직합에 대해 다음과 같은 의미로 분배된다. ''N''이 어떤 오른쪽 ''R''-가군이라면, ''N''과 ''M''''i''의 텐서 곱 (아벨 군)의 직합은 ''N''과 ''M''''i''의 직합의 텐서 곱과 자연스럽게 동형이다.
  • 직합에서 어떤 왼쪽 ''R''-가군 ''L''로 가는 ''R''-선형 사상의 아벨 군은 ''M''''i''에서 ''L''로 가는 ''R''-선형 사상의 아벨 군의 직접곱과 자연스럽게 동형이다: \operatorname{Hom}_R\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operatorname{Hom}_R\left(M_i,L\right).
  • 가군의 ''유한'' 직합은 쌍대곱이다.

4. 내부 직합

''M''이 ''R''-가군이고, 각 ''i'' ∈ ''I''에 대해 ''M''''i''가 ''M''의 부분 가군이라고 가정하자. ''M''의 모든 원소 ''x''가 유한 개의 ''M''''i'' 원소들의 합으로 유일하게 표현될 수 있다면, ''M''은 부분 가군 ''M''''i''의 '''내부 직합'''이라고 한다. 이 경우, ''M''은 ''M''''i''의 (외부) 직합과 자연스럽게 동형이다.

4. 1. 직합 인자

''M''의 부분 가군 ''N''이 ''M''의 '''직합 인자'''라는 것은, ''M''의 또 다른 부분 가군 ''N′''이 존재하여 ''M''이 ''N''과 ''N′''의 '''내부''' 직합이 될 때를 말한다. 이때, ''N''과 ''N′''은 '''서로 보'''(영어: complementary submodule, '''상보 부분 가군''', 벡터 공간의 경우 상보 부분 공간)라고 한다.

5. 보편 성질

범주론에서 직합은 쌍대곱이며, 왼쪽 ''R''-가군 범주에서의 쌍대극한이다. 이는 다음과 같은 보편 성질로 특징지어진다. ''I''의 모든 ''i''에 대해, 다음 ''자연스러운 매립''을 고려한다.

:j_i : M_i \rightarrow \bigoplus_{i \in I} M_i

이는 ''M''''i''의 원소를 ''i''를 제외한 모든 인수에 대해 0인 함수로 보낸다. ''M''을 임의의 ''R''-가군이라 하고, 모든 ''i''에 대해 ''f''''i'' : ''M''''i'' → ''M''을 임의의 ''R''-선형 사상이라 하면, 다음을 만족하는 유일한 ''R''-선형 사상

:f : \bigoplus_{i \in I} M_i \rightarrow M

이 존재한다. 즉, 모든 ''i''에 대해 ''f'' o ''ji'' = ''f''''i''이다.

6. 그로텐디크 군

직합은 대상들의 모음에 가환 모노이드 구조를 부여하는데, 이는 대상들의 덧셈은 정의되지만 뺄셈은 정의되지 않기 때문이다. 모든 가환 모노이드는 아벨 군으로 확장될 수 있다. 이 확장은 그로텐디크 군으로 알려져 있다. 이 확장은 대상들의 쌍에 대한 동치류를 정의함으로써 이루어지며, 이를 통해 특정 쌍을 역원으로 취급할 수 있다. 그로텐디크 군은 보편성을 가지는 구성으로, 유일하며 가환 모노이드의 아벨 군으로의 다른 임베딩에 준동형이다.

7. 추가 구조를 갖는 가군의 직합

노름이나 내적과 같은 부가적인 구조를 갖는 가군을 고려할 때, 가군의 직합에도 이러한 구조를 부여할 수 있다. 이 경우, 부가적인 구조를 갖는 모든 대상의 적절한 범주에서 쌍대곱을 얻게 된다. 대표적인 예시로 바나흐 공간과 힐베르트 공간이 있다.

7. 1. 대수의 직합

체 위의 대수 *X*와 *Y*의 직합은 벡터 공간으로서의 직합에 다음과 같이 곱셈을 정의한다.

:(x₁ + y₁) (x₂ + y₂) = (x₁x₂ + y₁y₂)

다음은 고전적인 예시이다.

  • 실수 ⊕ 실수 = 분할 복소수는 환 동형이며, 구간 해석에서도 사용된다.
  • 복소수 ⊕ 복소수 = 테사린은 제임스 코클이 1848년에 도입하였다.
  • 사원수 ⊕ 사원수 = 분할 쌍사원수는 1873년 윌리엄 킹던 클리포드가 도입하였다.


조셉 웨더번은 초복소수의 분류에서 대수의 직합 개념을 활용했다. 웨더번은 대수의 직합과 직적의 차이점을 명확히 했다. 직합의 경우, 스칼라 필드는 두 부분 모두에 공동으로 작용한다.

:λ (x ⊕ y) = λx ⊕ λy

반면, 직적의 경우, 스칼라 인자는 부분과 교대로 묶일 수 있지만, 둘 다 묶일 수는 없다.

:λ (x,y) = (λx, y) = (x, λy)

이안 R. 포티어스는 위의 세 가지 직합을 ^2R,\ ^2C,\ ^2H로 표기하며, 그의 저서 '클리포드 대수와 고전군'(1995)에서 스칼라의 환으로 사용한다.

7. 2. 바나흐 공간의 직합

바나흐 공간 X와 Y의 직합은 벡터 공간으로 간주되는 X와 Y의 직합이며, 모든 x \in X와 y \in Y에 대해 노름은 \|(x, y)\| = \|x\|_X + \|y\|_Y이다.[1]

일반적으로, X_i가 색인 집합 I를 따르는 바나흐 공간의 모음이면, 직합 \bigoplus_{i \in I} X_i는 모든 i \in I에 대해 x(i) \in X_i이고, 다음 조건을 만족하는 함수 x로 구성된 모듈이다.

\sum_{i \in I} \|x(i)\|_{X_i} < \infty.

함수 x는 I 위에서 정의된다.[1]

노름은 위의 합으로 주어지며, 이 노름을 가진 직합은 다시 바나흐 공간이 된다.[1]

예를 들어, 색인 집합 I = \N와 X_i = \R을 취하면, 직합 \bigoplus_{i \in \N} X_i는 유한 노름 \|a\| = \sum_i \left|a_i\right|.을 갖는 실수 수열 \left(a_i\right)로 구성된 공간 \ell_1이다.[1]

바나흐 공간 X의 닫힌 부분 공간 A가 X가 내부 직합 A \oplus B와 같도록 하는 또 다른 닫힌 부분 공간 B가 있는 경우, A는 '''보충된다'''고 한다.[1] 예를 들어, 모든 닫힌 부분 공간이 보충되는 것은 아니다. c_0는 \ell^\infty에서 보충되지 않는다.[1]

7. 3. 쌍선형 형식을 갖는 가군의 직합 (직교 직합)

쌍선형 형식을 갖춘 가군들의 족 \left\{ \left(M_i, b_i\right) : i \in I \right\} (orthogonal direct sum영어)에 대하여, 직교 직합은 다음과 같이 정의된 쌍선형 형식 B를 갖는 가군의 직합이다.[1]

:B\left({\left({x_i}\right),\left({y_i}\right)}\right) = \sum_{i\in I} b_i\left({x_i,y_i}\right)

여기서 합은 무한 지표 집합 I에 대해서도 의미가 있는데, 그 이유는 유한 개의 항들만 0이 아니기 때문이다.

복소 계수의 경우에는 쌍선형을 반쌍선형으로 대체하여 유사하게 할 수 있다.[2]

7. 4. 힐베르트 공간의 직합

힐베르트 공간의 직합은 내적 공간으로서의 직합을 완비화하여 얻어진다. 유한 개의 힐베르트 공간 $H_1, \dots, H_n$이 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 내적을 갖는 직교 직합을 구성할 수 있다.

:\langle (x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n) \rangle = \langle x_1,y_1 \rangle +...+ \langle x_n,y_n \rangle

이 직합은 주어진 힐베르트 공간들을 서로 직교하는 부분 공간으로 포함하는 힐베르트 공간이 된다.

무한 개의 힐베르트 공간 $H_i$ ($i \in I$)의 경우에도 같은 구성을 할 수 있다. 이때 내적은 비영 성분이 유한 개이므로 유한 합이 된다. 하지만 이 결과는 내적 공간이지만 완비가 아닐 수 있다. 따라서 이 내적 공간의 완비화를 힐베르트 공간 $H_i$의 힐베르트 공간으로서의 직합으로 정의한다.

다른 방법으로, $I$ 위에서 정의된 함수 $\alpha$ 중 다음 조건을 만족하는 것들로 이루어진 공간을 생각할 수 있다.

:\alpha_i := \alpha(i) \in H_i\quad (\forall i\in I)\quad\text{ and }\quad

\sum_i \left\| \alpha_i \right\|^2 < \infty

이 공간에서 함수 $\alpha$와 $\beta$의 내적은 다음과 같이 정의된다.

:\langle\alpha,\beta\rangle=\sum_i \langle \alpha_i,\beta_i \rangle

이 공간은 완비이며 힐베르트 공간이 된다.

예를 들어, 첨자 집합 $I = \mathbb{N}$과 $X_i = \mathbb{R}$을 선택하면, 직합 $\textstyle\bigoplus_{i\in\mathbf{N}} X_i$는 노름 $\|a\| := \sqrt{\sum_i |a_i|^2}$이 유한한 실수열 $(a_i)$ 전체로 이루어진 공간 $l_2$이다. 유한 개의 성분만 있다면 바나흐 공간의 직합은 힐베르트 공간의 직합과 동형이지만, 무한 개의 성분이 있다면 노름이 달라질 수 있다.

모든 힐베르트 공간은 기초체($\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$)의 충분히 많은 복사본의 직합과 동형이다. 이는 모든 힐베르트 공간이 정규 직교 기저를 가진다는 것과 동치이다.

참조

[1] 서적 Symmetric Bilinear Forms Springer-Verlag
[2] 서적 Symmetric Bilinear Forms Springer-Verlag


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