칸토어 역설

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1. 개요
2. 정의 및 증명
3. 논의 및 결과
4. 역사적 배경
참조

1. 개요

칸토어 역설은 기수의 모임이 집합이 아니라는 것을 증명하는 역설이다. 칸토어 정리에 의해 가장 큰 기수는 존재하지 않으며, 기수들은 진 클래스를 구성한다. 이 역설은 게오르크 칸토어가 1890년대에 발견했으며, 집합의 멱집합의 기수에 대한 칸토어 정리의 직접적인 결과이다.

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칸토어 역설
칸토어 역설
개요
분야	집합론, 수학
제안자	게오르크 칸토어
발표년도	1899년
관련 개념	멱집합, 모든 집합의 집합
설명
내용	집합의 멱집합의 크기는 원래 집합의 크기보다 항상 크므로, "모든 집합의 집합"의 멱집합은 "모든 집합의 집합"보다 크기가 더 크다. 이는 모순이다.
같이 보기
관련 항목	역설 집합론의 역설 러셀의 역설 부랄리-포르티 역설 튀르팽의 역설

2. 정의 및 증명

기수들의 모임 $\operatorname{Card}$ 가 집합이라고 가정하자. 그렇다면, 다음 모임 역시 집합이다.

: $\{\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha<\kappa\}\colon\kappa\in\operatorname{Card}\}$

그 합집합의 크기를 나타내는 기수

: $\kappa=\left|\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\exist\lambda\in\operatorname{Card}\colon\alpha<\lambda\}\right|$

를 생각하자. 그렇다면, 칸토어 정리에 따라

: $2^\kappa>\kappa$

이다. 그러나

: $\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha<2^\kappa\}\subsetneq\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\exist\lambda\in\operatorname{Card}\colon\alpha<\lambda\}$

이므로,

: $2^\kappa\le\kappa$

이다. 이는 기수의 전순서와 모순된다. 따라서, 기수의 모임 $\operatorname{Card}$ 는 고유 모임이다.

칸토어 역설을 진술하기 위해서는 기수가 전순서를 이루어, 하나가 다른 것보다 크거나 작다고 말할 수 있다는 것을 이해해야 한다. 칸토어 정리에 따르면, 어떤 집합의 멱집합의 기수는 원래 집합의 기수보다 항상 크다.

이를 통해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

가장 큰 기수는 존재하지 않는다.
기수들의 모임은 집합이 아니라 고유 모임이다.

2. 1. 칸토어 정리의 활용

칸토어 정리에 따르면, 어떤 집합의 멱집합의 기수는 원래 집합의 기수보다 항상 크다. 이를 통해 기수들의 모임은 집합이 아니라 고유 모임이라는 것을 알 수 있다.

가장 큰 기수 ''C''를 가정하면, ''C''는 집합이므로 멱집합 2^''C''를 가진다. 칸토어 정리에 의해 2^''C''의 기수는 ''C''보다 크다. 이는 ''C''가 가장 큰 기수라는 가정에 모순되므로, 가장 큰 기수는 존재하지 않는다.

칸토어의 정리에 의하여, 기수는 모두 단일 집합의 원소로 함께 수집될 수 없고 진 클래스를 구성한다. 어떤 집합 ''S''가 있을때, ''S''는 모든 기수의 원소를 포함할 수 없다. ''S''의 원소의 기수에 대한 엄격한 상한이 존재한다. ''S''를 집합이라고 하고, ''T''를 ''S''의 원소의 합집합이라고 하자. 그러면 ''S''의 모든 원소는 ''T''의 부분집합이므로, 기수가 ''T''의 기수보다 작거나 같다. 칸토어 정리에 따르면 ''S''의 모든 원소는 2^''T''의 기수보다 엄격하게 작은 기수를 갖는다.

2. 2. 증명

기수들의 모임

\operatorname{Card}

가 집합이라고 가정하자. 그렇다면, 다음 모임 역시 집합이다.

:

\{\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha<\kappa\}\colon\kappa\in\operatorname{Card}\}

그 합집합의 크기를 나타내는 기수

:

\kappa=\left|\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\exist\lambda\in\operatorname{Card}\colon\alpha<\lambda\}\right|

를 생각하자. 그렇다면, 칸토어 정리에 따라

:

2^\kappa>\kappa

이다. 그러나

:

\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha<2^\kappa\}\subsetneq\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\exist\lambda\in\operatorname{Card}\colon\alpha<\lambda\}

이므로,

:

2^\kappa\le\kappa

이다. 이는 기수의 전순서와 모순된다. 따라서, 기수의 모임

\operatorname{Card}

는 고유 모임이다.

칸토어 역설을 진술하기 위해서는 기수가 전순서를 이루어, 하나가 다른 것보다 크거나 작다고 말할 수 있다는 것을 이해해야 한다. 그러면 칸토어 역설은 다음과 같다.

:''정리:'' 가장 큰 기수는 존재하지 않는다.

이 사실은 집합의 멱집합의 기수에 대한 칸토어의 정리의 직접적인 결과이다.

:''증명:'' 반대로 가정하고, ''C''를 가장 큰 기수라고 하자. 그러면 (기수의 폰 노이만 공식에서) ''C''는 집합이므로 멱집합 2^''C''를 가지며, 칸토어의 정리에 의해 기수는 ''C''보다 엄격하게 크다. 가장 큰 기수로 가정된 ''C''보다 큰 기수(즉, 2^''C''의 기수)를 증명하면 C의 정의가 거짓이 된다. 이 모순은 그러한 기수가 존재할 수 없다는 것을 입증한다.

칸토어의 정리의 또 다른 결과는 기수가 진 클래스를 구성한다는 것이다. 즉, 기수는 모두 단일 집합의 원소로 함께 수집될 수 없다. 다음은 다소 더 일반적인 결과이다.

:''정리:'' ''S''가 어떤 집합이든 ''S''는 모든 기수의 원소를 포함할 수 없다. 실제로, ''S''의 원소의 기수에 대한 엄격한 상한이 존재한다.

:''증명:'' ''S''를 집합이라고 하고, ''T''를 ''S''의 원소의 합집합이라고 하자. 그러면 ''S''의 모든 원소는 ''T''의 부분집합이므로, 기수가 ''T''의 기수보다 작거나 같다. 칸토어의 정리에 따르면 ''S''의 모든 원소는 2^''T''의 기수보다 엄격하게 작은 기수를 갖는다.

2. 3. 추가 결과

칸토어의 정리의 또 다른 결과는 기수가 진 클래스를 구성한다는 것이다. 즉, 기수는 모두 단일 집합의 원소로 함께 수집될 수 없다. 다음은 다소 더 일반적인 결과이다.

: '''''S''가 어떤 집합이든 ''S''는 모든 기수의 원소를 포함할 수 없다. 실제로, ''S''의 원소의 기수에 대한 엄격한 상한이 존재한다.''\

: ''증명:'' ''S''를 집합이라고 하고, ''T''를 ''S''의 원소의 합집합이라고 하자. 그러면 ''S''의 모든 원소는 ''T''의 부분집합이므로, 기수가 ''T''의 기수보다 작거나 같다. 칸토어의 정리에 따르면 ''S''의 모든 원소는 2^''T''의 기수보다 엄격하게 작은 기수를 갖는다.

3. 논의 및 결과

기수들의 모임 $\operatorname{Card}$ 가 집합이라고 가정하자. 그렇다면, 다음 모임 역시 집합이다.

: $\{\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha<\kappa\}\colon\kappa\in\operatorname{Card}\}$

그 합집합의 크기를 나타내는 기수

: $\kappa=\left|\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\exist\lambda\in\operatorname{Card}\colon\alpha<\lambda\}\right|$

를 생각하자. 그렇다면, 칸토어 정리에 따라

: $2^\kappa>\kappa$

이다. 그러나

: $\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha<2^\kappa\}\subsetneq\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\exist\lambda\in\operatorname{Card}\colon\alpha<\lambda\}$

이므로,

: $2^\kappa\le\kappa$

이다. 이는 기수의 전순서와 모순된다. 따라서, 기수의 모임 $\operatorname{Card}$ 는 고유 모임이다.

기수들은 서수로 색인화하여 잘 정렬되므로 (기수, 형식적 정의 참조) 이는 또한 가장 큰 서수는 없다는 것을 확립한다. 반대로 후자의 진술은 칸토어의 역설을 함축한다. 이 색인화를 부랄리-포르티 역설에 적용하여 기수들이 집합이 아닌 진정한 모임임을 증명할 수 있으며, (적어도 ZFC 또는 폰 노이만-괴델 집합론에서) 이는 기수의 모임과 모든 집합의 모임 사이에 전단사 함수가 존재한다는 것을 따른다. 모든 집합은 이 마지막 모임의 부분 집합이고, 모든 기수는 (정의에 의해!) 집합의 기수이므로, 이는 직관적으로 기수의 "기수"는 어떤 집합의 기수보다 크다는 것을 의미한다. 즉, 어떤 진정한 무한대보다 더 무한하다. 이것이 칸토어의 "역설"의 역설적인 본질이다.

4. 역사적 배경

게오르크 칸토어가 1890년대에 발견하였다. 칸토어가 일반적으로 집합의 기수에 대한 이러한 속성을 처음으로 확인한 것으로 알려져 있지만, 일부 수학자들은 1899년 또는 1901년에 유사한 정리를 정의한 버트런드 러셀에게 그 공로를 돌리기도 한다.

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