합집합

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1. 개요

합집합은 두 개 이상의 집합 중 어느 하나에 속하는 모든 원소들의 집합을 의미한다. 집합 A와 B의 합집합은 A ∪ B로 표기하며, A에 속하거나 B에 속하거나, 또는 A와 B 모두에 속하는 원소들로 구성된다. 합집합은 결합 법칙과 교환 법칙을 만족하며, 공집합은 합집합 연산의 항등원이고, 교집합에 대해 분배된다. 유한 합집합은 여러 집합을 동시에 합하는 것을 의미하며, 무한 합집합과 집합족의 합집합으로 확장될 수 있다.

합집합

집합론

정의	어떤 집합들의 모든 원소를 포함하는 집합 주어진 집합들의 원소를 모두 모아 만든 새로운 집합

표기법

기본 표기	A ∪ B
일반화된 표기	⋃ᵢₐ ∈ ᵢ Aᵢ ⋃ A
설명	'A ∪ B'는 집합 A와 B의 합집합을 나타냄 '⋃ᵢₐ ∈ ᵢ Aᵢ'는 인덱스 집합 I에 의해 인덱스된 집합족 (Aᵢ)의 합집합을 나타냄 '⋃ A'는 집합 A의 모든 원소의 합집합을 나타냄

성질

교환 법칙	A ∪ B = B ∪ A
결합 법칙	(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
항등원	A ∪ ∅ = A (여기서 ∅는 공집합)
멱등성	A ∪ A = A
포함 관계	A ⊆ (A ∪ B) B ⊆ (A ∪ B)
분배 법칙	A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

일반화

일반화된 합집합	여러 집합의 합집합을 일반화한 개념 ⋃ᵢₐ ∈ ᵢ Aᵢ = {x \| ∃i ∈ I, x ∈ Aᵢ}
쌍대성	합집합은 교집합과 쌍대적인 개념 드 모르간의 법칙에 의해 연결됨

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 비가산 집합의 합집합
- 2.2. 집합족의 합집합
3. 성질
4. 예시
5. 유한 합집합
6. 표기법

2. 정의

두 집합 A, B의 합집합 A ∪ B는 A에 속하거나 B에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 또는을 뜻하는 '∨'를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $A\cup B = \{x : x\in A\, \vee\, x\in B\}$

즉, x가 A ∪ B에 속할 필요충분조건은 "x ∈ A 또는 x ∈ B"이다.

예를 들어:

* {ㄱ, ㄴ, ㄷ} ∪ {ㄴ, ㄹ} = {ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ}
* 소수의 집합 {2, 3, 5, 7, ...} ∪ 합성수의 집합 {4, 6, 8, ...} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} (1이 아닌 양의 정수의 집합)
* A = {1, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 4, 6, 7}이면, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
* A = , B = 이면, $A \cup B = \{2,3,4,5,6, \dots\}$

소수도 짝수도 아닌 9는 소수 집합과 짝수 집합의 합집합에 포함되지 않는다.

집합은 중복된 원소를 가질 수 없으므로, {1, 2, 3}과 {2, 3, 4}의 합집합은 {1, 2, 3, 4}이다. 동일한 원소가 여러 번 나타나더라도 집합의 기수나 내용에는 영향을 미치지 않는다.

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집합 A와 집합 B의 합집합은 A나 B 어느 한쪽에라도 포함되는 원소 x 전체(x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 또는 x ∈ B)로 정의한다. 또는 같은 표현으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $A \cup B := \{x \mid x \in A \mbox{ or } x \in B\}$

A와 B가 교집합을 갖지 않을 때의 합집합 A ∪ B는 A와 B의 (집합론적) 직합 (set theoric, direct sum) 또는 비교집합 (disjoint union)이라고 부르며, A ∪ B (disjoint) 또는 명시적으로 기호를 다르게 하여 $A \sqcup B$ 등으로 표기하기도 한다.

집합족 $\mathfrak{M} = \{ M_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}$ 에 대해, 집합족에 속하는 어느 집합에라도 속하는 원소 $x \in M_\lambda \mbox{ for some } \lambda \in \Lambda$ 전체로 집합족의 합을 다음과 같이 정의한다.

: $\bigcup \mathfrak{M} \equiv \bigcup_{\lambda \in \Lambda} M_{\lambda}:=\{x\ |\ {}^{\exists}\lambda \in \Lambda : x \in M_{\lambda}\}$

유한 개의 원소로 이루어진 집합족 A₁, A₂, ..., A_k의 합집합은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k, \quad \bigcup_{n=1}^k A_n$

자연수 등으로 첨자가 붙은 집합의 합에 대해서도 다음과 같이 나타내는 경우가 있다.

: $A_1 \cup A_2 \cup \cdots, \quad \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$

집합족에 속하는 집합에서 서로 다른 두 집합을 선택했을 때, 그 두 집합이 교집합을 갖지 않으면, 즉 $M, N \in \mathfrak{M},\ M \ne N \Rightarrow M \cap N = \emptyset$ 가 될 때, 그 집합족의 합집합을 직합 또는 비교집합이라고 하며, $\coprod \mathfrak{M}, \quad \bigsqcup\, \mathfrak{M}, \quad\sum \mathfrak{M}, \quad \sum{}^{\cup}\, \mathfrak{M}$ 등의 기호를 사용하기도 한다.

2.1. 비가산 집합의 합집합

알맞은 첨수 i ∈ I를 부여받은 집합 A_i들의 합집합은, 적어도 한 집합의 원소인 대상들의 집합이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

: $\bigcup_{i\in I} A_i := \{x : \exists i\in I, x\in A_i\}$

2.2. 집합족의 합집합

집합족 $\mathcal{M}$ 의 합집합은 그에 속하는 집합들의 모든 원소를 한 군데 합쳐놓은 집합이다. 수식으로는 다음과 같이 정의된다.

: $\bigcup\mathcal{M} = \bigcup_{A\in\mathcal{M}} A := \{x : \exists A \in \mathcal{M}, x \in A\}$

이는 가장 일반적인 합집합이며, 앞서 서술한 모든 정의를 포괄한다. 예를 들어, A ∪ B는 집합족 {A, B}의 합집합이다.

3. 성질

합집합은 결합 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 집합 A, B, C에 대해, 다음이 성립한다.

: `A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C`

따라서 괄호는 생략할 수 있으며, 위의 식은 `A ∪ B ∪ C`로 쓸 수 있다. 또한, 합집합은 교환 법칙을 만족하므로 집합의 순서는 자유롭게 쓸 수 있다.

공집합은 합집합 연산의 항등원이다. 즉, 임의의 집합 A에 대해 `A ∪ ∅ = A`이다. 또한, 합집합 연산은 멱등원이다. 즉, `A ∪ A = A`이다.

교집합은 합집합에 대해 분배된다.

: `A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)`

그리고 합집합은 교집합에 대해 분배된다.

: `A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)`

드 모르간의 법칙이 성립한다.

: `(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ`

4. 예시

* 두 집합 {ㄱ, ㄴ, ㄷ}, {ㄴ, ㄹ}의 합집합은 {ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ}이다.
* 소수의 집합 {2, 3, 5, 7, ...}과 합성수의 집합 {4, 6, 8, ...}의 합집합은 1이 아닌 양의 정수의 집합 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}이다.
* A = {1, 3, 5, 7}이고 B = {1, 2, 4, 6, 7}이면, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}이다.
* A = {x는 1보다 큰 짝수 정수}, B = {x는 1보다 큰 홀수 정수} 이면, $A \cup B = \{2,3,4,5,6, \dots\}$ 이다.
* 숫자 9는 소수 집합 {2, 3, 5, 7, 11, ...}과 짝수 집합 {2, 4, 6, 8, 10, ...}의 합집합에 포함되지 않는다. 9는 소수도 짝수도 아니기 때문이다.
* 집합 {1, 2, 3}과 집합 {2, 3, 4}의 합집합은 {1, 2, 3, 4}이다.
* P = {1, 3, 5, 7, 9} (10 이하의 홀수 집합), Q = {2, 3, 5, 7} (10 이하의 소수 집합)이면, P ∪ Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9} 이다.
* 실수로 이루어진 반개구간족 $\mathbf{M} = \{(0, 1 - 1/n] |$ n은 0이 아닌 자연수}의 합집합은 열린구간 (0, 1) 이다.
:: $\bigcup \mathbf{M} =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(0,\,1-\frac{1}{n}\right]= (0, 1).$
* 실수 전체 구간(수직선) $\mathbb{R} = (-\infty, \infty)$ 은 길이가 1인 반개구간족 {(m, m + 1] | m은 정수}의 직합으로 분할할 수 있다.
:: $\mathbb{R} = \coprod_{m=-\infty}^{\infty} (m, m+1]$

5. 유한 합집합

포함배제의 원리에 따르면, 두 유한집합의 합집합과 두 집합의 원소 개수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

:n(A ∪ B)^영어 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

여러 집합의 합집합을 동시에 취할 수 있다. 예를 들어 세 집합 A, B, C의 합집합은 A의 모든 원소, B의 모든 원소, C의 모든 원소를 포함하며, 그 외의 다른 원소는 포함하지 않는다. 따라서 x가 A ∪ B ∪ C의 원소인 것은 x가 A, B, C 중 적어도 하나에 속할 때와 같다.

유한 합집합은 유한 개의 집합의 합집합을 의미하며, 이 구절은 합집합이 유한 집합임을 암시하지 않는다.

6. 표기법

유한 합집합은 `S₁ ∪ S₂ ∪ S₃ ∪ ... ∪ Sₙ` 또는 `⋃_{i=1}ⁿ Sᵢ`로 표기한다. 임의의 합집합은 `⋃M`, `⋃_{A∈M} A`, `⋃_{i∈I} Aᵢ` 등으로 표기한다. 여기서 `I`는 지수 집합을 나타낸다. 자연수 집합을 첨수 집합으로 사용하는 경우에는 `⋃_{i=1}^∞ Aᵢ`와 같이 표기한다.