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합집합

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목차

1. 개요

합집합은 두 개 이상의 집합 중 어느 하나에 속하는 모든 원소들의 집합을 의미한다. 집합 A와 B의 합집합은 A ∪ B로 표기하며, A에 속하거나 B에 속하거나, 또는 A와 B 모두에 속하는 원소들로 구성된다. 합집합은 결합 법칙과 교환 법칙을 만족하며, 공집합은 합집합 연산의 항등원이고, 교집합에 대해 분배된다. 유한 합집합은 여러 집합을 동시에 합하는 것을 의미하며, 무한 합집합과 집합족의 합집합으로 확장될 수 있다.

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2. 정의

두 집합 ''A'', ''B''의 합집합 ''A'' ∪ ''B''는 ''A''에 속하거나 ''B''에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 또는을 뜻하는 '∨'를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:A\cup B = \{x : x\in A\, \vee\, x\in B\}

즉, ''x''가 ''A'' ∪ ''B''에 속할 필요충분조건은 "''x'' ∈ ''A'' 또는 ''x'' ∈ ''B''"이다.

예를 들어:


  • {ㄱ, ㄴ, ㄷ} ∪ {ㄴ, ㄹ} = {ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ}
  • 소수의 집합 {2, 3, 5, 7, ...} ∪ 합성수의 집합 {4, 6, 8, ...} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} (1이 아닌 양의 정수의 집합)
  • ''A'' = {1, 3, 5, 7}, ''B'' = {1, 2, 4, 6, 7}이면, ''A'' ∪ ''B'' = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
  • ''A'' = , ''B'' = 이면, A \cup B = \{2,3,4,5,6, \dots\}


소수도 짝수도 아닌 9는 소수 집합과 짝수 집합의 합집합에 포함되지 않는다.

집합은 중복된 원소를 가질 수 없으므로, {1, 2, 3}과 {2, 3, 4}의 합집합은 {1, 2, 3, 4}이다. 동일한 원소가 여러 번 나타나더라도 집합의 기수나 내용에는 영향을 미치지 않는다.

집합 ''A''와 집합 ''B''의 합집합은 ''A''나 ''B'' 어느 한쪽에라도 포함되는 원소 ''x'' 전체(''x'' ∈ ''A'' ∪ ''B'' ⇔ ''x'' ∈ ''A'' 또는 ''x'' ∈ ''B'')로 정의한다. 또는 같은 표현으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

:A \cup B := \{x \mid x \in A \mbox{ or } x \in B\}

''A''와 ''B''가 교집합을 갖지 않을 때의 합집합 ''A'' ∪ ''B''는 ''A''와 ''B''의 (집합론적) 직합 (set theoric, direct sum) 또는 '''비교집합''' (disjoint union)이라고 부르며, ''A'' ∪ ''B'' (disjoint) 또는 명시적으로 기호를 다르게 하여 A \sqcup B 등으로 표기하기도 한다.

집합족 \mathfrak{M} = \{ M_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}에 대해, 집합족에 속하는 어느 집합에라도 속하는 원소 x \in M_\lambda \mbox{ for some } \lambda \in \Lambda 전체로 집합족의 합을 다음과 같이 정의한다.

:\bigcup \mathfrak{M} \equiv \bigcup_{\lambda \in \Lambda} M_{\lambda}:=\{x\ |\ {}^{\exists}\lambda \in \Lambda : x \in M_{\lambda}\}

유한 개의 원소로 이루어진 집합족 ''A''1, ''A''2, ..., ''A''''k''의 합집합은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k, \quad \bigcup_{n=1}^k A_n

자연수 등으로 첨자가 붙은 집합의 합에 대해서도 다음과 같이 나타내는 경우가 있다.

:A_1 \cup A_2 \cup \cdots, \quad \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n

집합족에 속하는 집합에서 서로 다른 두 집합을 선택했을 때, 그 두 집합이 교집합을 갖지 않으면, 즉 M, N \in \mathfrak{M},\ M \ne N \Rightarrow M \cap N = \emptyset 가 될 때, 그 집합족의 합집합을 직합 또는 비교집합이라고 하며,

\coprod \mathfrak{M}, \quad \bigsqcup\, \mathfrak{M}, \quad

\sum \mathfrak{M}, \quad \sum{}^{\cup}\, \mathfrak{M}

등의 기호를 사용하기도 한다.

2. 1. 비가산 집합의 합집합

알맞은 첨수 ''i'' ∈ ''I''를 부여받은 집합 ''Ai''들의 합집합은, 적어도 한 집합의 원소인 대상들의 집합이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.[11]

:\bigcup_{i\in I} A_i := \{x : \exists i\in I, x\in A_i\}

2. 2. 집합족의 합집합

집합족 \mathcal{M}의 합집합은 그에 속하는 집합들의 모든 원소를 한 군데 합쳐놓은 집합이다. 수식으로는 다음과 같이 정의된다.[11]

:\bigcup\mathcal{M} = \bigcup_{A\in\mathcal{M}} A := \{x : \exists A \in \mathcal{M}, x \in A\}

이는 가장 일반적인 합집합이며, 앞서 서술한 모든 정의를 포괄한다. 예를 들어, ''A'' ∪ ''B''는 집합족 {''A'', ''B''}의 합집합이다.

3. 성질

합집합은 결합 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 집합 A, B, C에 대해, 다음이 성립한다.

: `A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C`

따라서 괄호는 생략할 수 있으며, 위의 식은 `A ∪ B ∪ C`로 쓸 수 있다. 또한, 합집합은 교환 법칙을 만족하므로 집합의 순서는 자유롭게 쓸 수 있다.[5]

공집합은 합집합 연산의 항등원이다. 즉, 임의의 집합 A에 대해 `A ∪ ∅ = A`이다. 또한, 합집합 연산은 멱등원이다. 즉, `A ∪ A = A`이다.

교집합은 합집합에 대해 분배된다.

: `A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)`

그리고 합집합은 교집합에 대해 분배된다.[2]

: `A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)`

드 모르간의 법칙이 성립한다.

: `(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ`[6][7][8]

4. 예시


  • 두 집합 {ㄱ, ㄴ, ㄷ}, {ㄴ, ㄹ}의 합집합은 {ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ}이다.
  • 소수의 집합 {2, 3, 5, 7, ...}과 합성수의 집합 {4, 6, 8, ...}의 합집합은 1이 아닌 양의 정수의 집합 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}이다.
  • ''A'' = {1, 3, 5, 7}이고 ''B'' = {1, 2, 4, 6, 7}이면, ''A'' ∪ ''B'' = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}이다.
  • ''A'' = {''x''는 1보다 큰 짝수 정수}, ''B'' = {''x''는 1보다 큰 홀수 정수} 이면, A \cup B = \{2,3,4,5,6, \dots\}이다.
  • 숫자 9는 소수 집합 {2, 3, 5, 7, 11, ...}과 짝수 집합 {2, 4, 6, 8, 10, ...}의 합집합에 포함되지 않는다. 9는 소수도 짝수도 아니기 때문이다.
  • 집합 {1, 2, 3}과 집합 {2, 3, 4}의 합집합은 {1, 2, 3, 4}이다.
  • ''P'' = {1, 3, 5, 7, 9} (10 이하의 홀수 집합), ''Q'' = {2, 3, 5, 7} (10 이하의 소수 집합)이면, ''P'' ∪ ''Q'' = {1, 2, 3, 5, 7, 9} 이다.
  • 실수로 이루어진 반개구간족 \mathbf{M} = \{(0, 1 - 1/n] | ''n''은 0이 아닌 자연수}의 합집합은 열린구간 (0, 1) 이다.

::

\bigcup \mathbf{M} =

\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(0,\,1-\frac{1}{n}\right]

= (0, 1).


  • 실수 전체 구간(수직선) \mathbb{R} = (-\infty, \infty)은 길이가 1인 반개구간족 {(''m'', ''m'' + 1] | ''m''은 정수}의 직합으로 분할할 수 있다.

::\mathbb{R} = \coprod_{m=-\infty}^{\infty} (m, m+1]

5. 유한 합집합

포함배제의 원리에 따르면, 두 유한집합의 합집합과 두 집합의 원소 개수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

:n(A ∪ B)|n(A ∪ B)영어 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

여러 집합의 합집합을 동시에 취할 수 있다. 예를 들어 세 집합 ''A'', ''B'', ''C''의 합집합은 ''A''의 모든 원소, ''B''의 모든 원소, ''C''의 모든 원소를 포함하며, 그 외의 다른 원소는 포함하지 않는다. 따라서 ''x''가 ''A'' ∪ ''B'' ∪ ''C''의 원소인 것은 ''x''가 ''A'', ''B'', ''C'' 중 적어도 하나에 속할 때와 같다.

'''유한 합집합'''은 유한 개의 집합의 합집합을 의미하며, 이 구절은 합집합이 유한 집합임을 암시하지 않는다.


6. 표기법

유한 합집합은 `S₁ ∪ S₂ ∪ S₃ ∪ ... ∪ Sₙ` 또는 `⋃_{i=1}ⁿ Sᵢ`로 표기한다. 임의의 합집합은 `⋃M`, `⋃_{A∈M} A`, `⋃_{i∈I} Aᵢ` 등으로 표기한다. 여기서 `I`는 지수 집합을 나타낸다. 자연수 집합을 첨수 집합으로 사용하는 경우에는 `⋃_{i=1}^∞ Aᵢ`와 같이 표기한다.[11]

참조

[1] 웹사이트 Union http://mathworld.wol[...] Wolfram Mathworld 2009-07-14
[2] 웹사이트 Set Operations {{!}} Union {{!}} Intersection {{!}} Complement {{!}} Difference {{!}} Mutually Exclusive {{!}} Partitions {{!}} De Morgan's Law {{!}} Distributive Law {{!}} Cartesian Product https://www.probabil[...] 2020-09-05
[3] 서적 Basic Set Theory https://books.google[...] American Mathematical Soc. 2002-01-01
[4] 서적 Applied Mathematics for Database Professionals https://books.google[...] Apress 2007-10-25
[5] 서적 Naive Set Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013-11-27
[6] 웹사이트 MathCS.org - Real Analysis: Theorem 1.1.4: De Morgan's Laws https://mathcs.org/a[...] 2024-10-22
[7] 서적 ADS Laws of Set Theory https://faculty.uml.[...]
[8] 웹사이트 The algebra of sets - Wikipedia, the free encyclopedia https://www.umsl.edu[...] 2024-10-22
[9] 서적 Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013-12-11
[10] 웹사이트 Finite Union of Finite Sets is Finite https://proofwiki.or[...] 2018-04-29
[11] 서적 A Transition to Advanced Mathematics https://archive.org/[...] Cengage Learning 2014-08-01
[12] 웹사이트 The Unicode Standard, Version 15.0 – Mathematical Operators – Range: 2200–22FF https://www.unicode.[...]
[13] 문서 그럴 수 없을만큼 많은 집합도 존재한다.


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