커-뉴먼 계량

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

커-뉴먼 계량은 1965년 에즈라 테드 뉴먼이 발견한, 회전하고 전하를 띤 블랙홀의 시공간 기하학을 설명하는 아인슈타인 방정식의 정확한 해이다. 이 계량은 질량(M), 각운동량(J), 전하(Q) 세 가지 물리량으로 특징지어지며, 전하가 0인 경우 커 계량, 각운동량이 0인 경우 라이스너-노르드스트룀 계량, 전하와 각운동량이 모두 0인 경우 슈바르츠실트 계량으로 축소된다. 커-뉴먼 계량은 보이-린드퀴스트 좌표계와 커-실트 좌표계 등 다양한 형태로 표현될 수 있으며, 사건의 지평선, 에르고스피어, 전자기장 등 블랙홀의 다양한 특징을 설명하는 데 사용된다.

커-뉴먼 계량

개요

유형	블랙홀 해
발견	에즈라 뉴먼

수학적 속성

종류	대칭
계량 부호수	(+, −, −, −)
킬링 벡터	4
아이소메트리군 차원	2
시공간	4차원
특이점	링 모양
사건 지평선	2
유형	엄밀해

해 정보

관련 개념	라이스너-노르드스트룀 해, 커 해, 커-뉴먼-드 시터르 해

📚 더 읽어볼만한 페이지

블랙홀 - 초대질량 블랙홀
초대질량 블랙홀은 10만 태양 질량 이상으로 은하 중심에 위치하며 활동은하핵과 퀘이사의 에너지원으로 여겨지는 천체로, 사건 지평선 망원경을 통해 이미지가 최초로 포착되었고 형성 과정과 질량 한계에 대한 연구가 진행 중이다.
블랙홀 - 중력붕괴
중력 붕괴는 천문학에서는 항성이, 지질학에서는 산체나 사면 등이 자신의 중력을 이기지 못하고 붕괴하는 현상을 의미한다.

1. 개요
2. 역사
- 2.1. 관련 해
3. 정의
- 3.1. 극한의 경우
4. 주요 특징
5. 커-실드 좌표계
6. 운동 방정식
7. 추가 논의
- 7.1. 비가역 질량
8. 참고 문헌

2. 역사

미국의 에즈라 테드 뉴먼(Ezra Ted Newman^영어)은 1965년에 커-뉴먼 계량을 발견하였다. 1963년에 뉴질랜드의 수학자 로이 커는 회전하지만 대전되지 않는 물체의 중력장을 나타내는 커 계량을 발견하였고, 뉴먼은 2년 뒤 이를 대전된 경우로 일반화하였다.

1963년 12월, 로이 커와 알프레드 실드는 아인슈타인 다양체가 민코프스키 공간의 정확한 선형 섭동인 모든 아인슈타인 공간을 제공하는 커-실드 계량을 발견했다. 1964년 초, 커는 이와 동일한 속성을 가진 모든 아인슈타인-맥스웰 공간을 찾았다. 1964년 2월까지, 커-실드 공간이 전하를 띤 특수한 경우(커-뉴먼 해 포함)가 알려졌지만, 특수한 방향이 기본 민코프스키 공간의 측지선이 아닌 일반적인 경우는 매우 풀기 어려웠다. 이 문제는 조지 데브니에게 해결하도록 주어졌지만 1964년 3월경 포기되었다. 이 무렵 에즈라 T. 뉴먼은 추측을 통해 전하를 띤 커의 해를 찾았다.

2.1. 관련 해

1965년, 에즈라 "테드" 뉴먼은 회전하고 전하를 띤 블랙홀에 대한 아인슈타인 방정식의 회전 대칭 해를 찾았다. 계량 텐서 $g_{\mu \nu} \!$ 에 대한 이 공식은 커-뉴먼 계량이라고 불린다. 이 계량은 2년 전에 로이 커가 발견한 전하가 없는 회전하는 점질량에 대한 커 계량의 일반화이다.

관련된 네 가지 해는 다음과 같이 요약할 수 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

	비회전 (J = 0)	회전 (J ∈ $\mathbb{R}$ )
비전하 (Q = 0)	슈바르츠실트	커
전하 (Q ∈ $\mathbb{R}$ )	라이스너-노르드스트룀	커-뉴먼

여기서 Q는 물체의 전하를 나타내고, J는 물체의 회전 각운동량을 나타낸다.

3. 정의

커-뉴먼 계량은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $ds^{2}=-\frac{\Delta}{\rho^{2}}\left(dt-a\sin^{2}\theta d\phi\right)^{2}+\frac{\sin^{2}\theta}{\rho^{2}}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi-{a}dt\right]^{2}+\frac{\rho^{2}}{\Delta}dr^{2}+\rho^{2}d\theta^{2}$

여기서

: $\Delta\equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}$
: $\rho^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta$
: $a\equiv\frac{J}{M}$

이고,

: $M\,$ 은 블랙홀의 질량
: $J\,$ 은 블랙홀의 각운동량
: $Q\,$ 은 블랙홀의 전하

이다. 여기에서는 광속과 중력상수를 1로 하는 기하학 단위계를 채택하고 있다.

이 계량이 블랙홀로 이해될 경우는 $a^2 + Q^2 \leq M^2\,$ 일 때이다. 털없음 정리에 따라, 일반적인 블랙홀은 질량과 각운동량, 전하 세 개의 물리량만으로 나타낼 수 있다. 커-뉴먼 계량은 질량 M, 전하 Q, 각운동량 J를 가진 회전하는 대전된 블랙홀의 시공간 기하학을 설명한다.

3.1. 극한의 경우

커-뉴먼 계량은 극한의 경우 다른 일반 상대성 이론의 정확한 해로 축소될 수 있다. 다음의 경우로 축소된다.

* 전하 Q가 0으로 갈 때 커 계량
* 각운동량 J (또는 a = J/M)가 0으로 갈 때 라이스너-노르드스트룀 계량
* 전하 Q와 각운동량 J (또는 a)가 모두 0으로 갈 때 슈바르츠실트 계량
* 질량 M, 전하 Q, 회전 매개변수 a가 모두 0일 때 민코프스키 공간

또는 중력을 제거하려는 경우, 질량과 전하를 0으로 만들지 않고 중력 상수 G가 0이면 민코프스키 공간이 발생한다. 이 경우, 전기장 및 자기장은 단순히 전하를 띤 자기 쌍극자의 장보다 더 복잡하다.

4. 주요 특징

커-뉴먼 계량은 블랙홀의 질량( $M$ ), 각운동량( $J$ ), 전하( $Q$ )를 사용하여 시공간의 기하학적 구조를 나타낸다. 광속과 중력상수를 1로 하는 기하학 단위계를 사용하면, 커-뉴먼 계량은 다음과 같이 표현된다.

: $ds^{2}=-\frac{\Delta}{\rho^{2}}\left(dt-a\sin^{2}\theta d\phi\right)^{2}+\frac{\sin^{2}\theta}{\rho^{2}}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi-{a}dt\right]^{2}+\frac{\rho^{2}}{\Delta}dr^{2}+\rho^{2}d\theta^{2}$

여기서 사용된 변수들은 다음과 같다.

: $\Delta\equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}$
: $\rho^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta$
: $a\equiv\frac{J}{M}$

이 계량은 전하가 0이면 커 계량이 되고, 각운동량이 0이면 라이스너-노르드스트룀 계량이 되며, 전하와 각운동량이 모두 0이면 슈바르츠실트 계량이 된다. 커-뉴먼 계량이 블랙홀을 나타내는 조건은 $a^2 + Q^2 \leq M^2\,$ 이다.

뉴먼의 결과는 4차원에서 전자기장이 있는 상황에서 아인슈타인 방정식의 가장 단순한 해 중 하나이다. 이는 정상 시공간, 축 대칭, 점근적으로 평평한 특징을 가지며, "전기 진공" 해라고도 불린다.

커-뉴먼 근원은 회전축과 자기축이 정렬되어 있는데, 이는 일반적인 천체와는 다른 특징이다. 태양이나 태양계 행성들은 회전축과 자기 쌍극자 모멘트 사이에 상당한 각도를 가지고 있기 때문이다.

커-뉴먼 전위를 고전적 전자의 모델로 간주하면, 자기 쌍극자 모멘트 외에 전기 사중극자 모멘트와 같은 다른 다중극자 모멘트도 예측된다. 하지만 전자의 사중극자 모멘트는 아직 실험적으로 관측되지 않았다.

커-뉴먼 계량은 결합된 전하와 각운동량이 충분히 작을 때만 사건의 지평선을 가진 블랙홀을 정의한다.

: $J^2/M^2 + Q^2 \leq M^2.$

만약 전자의 각운동량 J와 전하 Q가 질량 M을 초과하면, 사건의 지평선이 없는 노출된 회전 고리 특이점이 나타난다. 이러한 계량은 우주 검열 가설 위반, 닫힌 시간꼴 곡선의 출현 등 비물리적 속성을 가질 수 있다.

4.1. 사건의 지평선

내부 및 외부 사건의 지평선은 $1 / g_{rr}$ 을 0으로 설정하고 $r$ 에 대해 풀어서 얻을 수 있으며, 보이-린드퀴스트 좌표에서 다음과 같이 위치한다.

: $r_{\text{H}}^{\pm} = \frac{r_{\rm s}}{2} \pm \sqrt{\frac{r_{\rm s}^2}{4} - a^2 - r_Q^2}.$

결합된 전하와 각운동량이 충분히 작을 때만 사건의 지평선을 가진 블랙홀을 정의한다.

: $J^2/M^2 + Q^2 \leq M^2.$

의사 구형 r,θ,φ 좌표와 데카르트 x,y,z 좌표에서 전하를 띠고 회전하는 블랙홀의 사건의 지평선과 에르고스피어.

4.2. 에르고스피어

Ergosphere^영어는 회전하는 블랙홀 바깥쪽에 위치한 영역이다. 에르고스피어는 커 계량에서 $g_{tt}$ 항을 0으로 설정하여 얻을 수 있으며, 내부 및 외부 에르고스피어는 다음과 같이 주어진다.

: $r_{\text{E}}^{\pm} = \frac{r_{\rm s}}{2} \pm \sqrt{\frac{r_{\rm s}^2}{4} - a^2 \cos^2\theta - r_Q^2}.$

보이-린드퀴스트 좌표계에서 내부 및 외부 사건의 지평선은 다음 위치에 존재한다.

: $r_{\text{H}}^{\pm} = \frac{r_{\rm s}}{2} \pm \sqrt{\frac{r_{\rm s}^2}{4} - a^2 - r_Q^2}.$

4.3. 털없음 정리

털없음 정리에 따라, 일반적인 블랙홀은 질량, 각운동량, 전하 세 개의 물리량만으로 나타낼 수 있다. 이는 일반적인 커-뉴먼 블랙홀에 해당한다.

4.4. 전자기장

커-뉴먼 계량에서 전자기장은 보이어-린퀴스트 좌표계에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $A_{\mu}=\left( \frac{r \ r_Q }{\rho^2},0,0,-\frac{\ a \ r \ r_Q \sin ^2 \theta }{\rho^2 } \right)$

여기서 $A_{\mu}$ 는 전자기 퍼텐셜을 나타낸다.

맥스웰 텐서는 다음과 같이 정의된다.

: $F_{\mu\nu} = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^{\nu}} \to \ F^{\mu\nu}=g^{\mu\sigma} \ g^{\nu\kappa} \ F_{\sigma \kappa}$

크리스토펠 기호와 함께 2차 운동 방정식은 다음을 사용하여 유도할 수 있다.

: ${\ddot x^i = - \Gamma^i_{j k} \ {\dot x^j} \ {\dot x^k} + q \ {F^{i k}} \ {\dot x^j}} \ {g_{j k}}},$

여기서 $q$ 는 시험 입자의 질량당 전하량이다.

전기장과 자기장은 4-전위를 미분하여 전자기장 세기 텐서를 얻는 일반적인 방식으로 얻을 수 있다. 3차원 벡터 표기법으로 전환하는 것이 편리하다.

: $A_{\mu} = \left(-\phi, A_x, A_y, A_z \right) \,$

정적 전기장과 자기장은 다음과 같이 벡터 전위와 스칼라 전위에서 파생된다.

: $\vec{E} = - \vec{\nabla} \phi \,$
: $\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} \,$

질량이 0으로 가는 극한에서 Kerr-Schild 형식의 4-전위에 대한 커-뉴먼 공식을 사용하면 다음과 같은 간결한 복소수 공식이 나온다.

: $\vec{E} + i\vec{B} = -\vec{\nabla}\Omega\,$

: $\Omega = \frac{Q}{\sqrt{(\vec{R}-i\vec{a})^2}} \,$

이 마지막 방정식의 오메가( $\Omega$ )는 쿨롱 전위와 유사하지만, 반경 벡터가 허수만큼 이동했다는 점이 다르다. 이 복소수 전위는 19세기 초 프랑스 수학자 폴 에밀 아펠에 의해 논의되었다.

5. 커-실드 좌표계

커-뉴먼 계량은 1965년 케르와 쉴드가 제안한 특정 직교 좌표를 사용하여 케르-쉴드 형태로 표현할 수 있다. 계량은 다음과 같다.

: $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + fk_{\mu}k_{\nu} \!$

: $f = \frac{Gr^2}{r^4 + a^2z^2}\left[2Mr - Q^2 \right]$

: $\mathbf{k} = ( k_{x} ,k_{y} ,k_{z} ) = \left( \frac{rx+ay}{r^2 + a^2} , \frac{ry-ax}{r^2 + a^2}, \frac{z}{r} \right)$

: $k_{0} = 1. \!$

k는 단위 벡터이다. 여기서 M은 회전하는 물체의 질량 상수, Q는 회전하는 물체의 전하 상수, η는 민코프스키 계량이고, a = J/M은 회전하는 물체의 회전 매개변수 상수이다. 벡터 $\vec{a}$ 는 양의 z축을 따라 향한다고 이해된다. 즉, $\vec{a} = a \hat{z}$ 이다. r은 반지름이 아니고, 다음과 같은 관계에 의해 암묵적으로 정의된다.

: $1 = \frac{x^2+y^2}{r^2 + a^2} + \frac{z^2}{r^2}.$

회전 매개변수 a가 0에 가까워지면 r은 다음과 같이 일반적인 반지름 R이 된다.

: $r \to R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

이러한 형태의 해에서, 광속은 1(c = 1)이 되도록 단위를 선택한다. 아인슈타인-맥스웰 방정식의 완전한 해를 제공하기 위해, 케르-뉴먼 해는 계량 텐서 공식뿐만 아니라 전자기 포텐셜 공식도 포함한다.

: $A_{\mu} = \frac{Qr^3}{r^4 + a^2z^2}k_{\mu}$

소스에서 멀리 떨어진 곳(R ≫ a)에서는, 이 방정식들이 다음과 같은 라이스너-노르드스트룀 계량으로 축소된다.

: $A_{\mu} = \frac{Q}{R}k_{\mu}$

케르-뉴먼 계량의 케르-쉴드 형태에서 계량 텐서의 행렬식은 소스 근처에서도 항상 -1과 같다.

6. 운동 방정식

보이어-린퀴스트 좌표계에서 전자기 퍼텐셜은 다음과 같다.

크리스토펠 기호를 이용해 2차 운동 방정식을 유도하면 다음과 같다.

: ${\ddot x^i = - \Gamma^i_{j k} \ {\dot x^j} \ {\dot x^k} + q \ {F^{i k}} \ {\dot x^j}} \ {g_{j k}}$

여기서 $q$ 는 시험 입자의 질량당 전하량이다. 간결성을 위해 $G$ , $M$ , $c$ , $4\pi\epsilon_0$ 을 정규화한 무차원화된 양을 사용한다. 이때 $a$ 는 $Jc/G/M^2$ , $Q$ 는 $Q/(M\sqrt{4\pi\epsilon_0G})$ 으로 표현된다. 전하 $q$ 를 가진 시험 입자의 운동 방정식은 다음과 같다.

: $\dot t \Delta \rho^2 = \csc ^2 \theta \ ({L_z} (a \ \Delta \sin ^2 \theta -a \ (a^2+r^2) \sin ^2 \theta )-q \ Q \ r \ (a^2+r^2) \sin ^2 \theta +E ((a^2+r^2)^2 \sin ^2 \theta -a^2 \Delta \sin ^4 \theta ))$
: $\dot r \rho^2= \pm \left(((r^2+a^2) \ E - a \ L_z - q \ Q \ r)^2-\Delta \ (C+r^2)\right)^{1/2}$
: $\dot \theta \rho^2 = \pm \left(C-(a \cos \theta)^2-(a \ \sin^2 \theta \ E-L_z)^2/\sin^2 \theta\right)^{1/2}$
: $\dot \phi \rho^2 \ \Delta \ \sin^2\theta= E \ (a \ \sin^2 \theta \ (r^2+a^2)-a \ \sin^2 \theta \ \Delta)+L_z \ (\Delta-a^2 \ \sin^2 \theta)-q \ Q \ r \ a \ \sin^2 \theta$

여기서 $E$ 는 총 에너지, $L_z$ 는 축 방향 각운동량, $C$ 는 카터 상수이다.

: $C = p_{\theta}^{2} + \cos^{2}\theta \left( a^{2}(\mu^2 - E^{2}) + \frac{L_z^2}{ \sin^2\theta}\right) = a^2 \ (\mu^2-E^2) \ \sin^2 \delta + L_z^2 \ \tan^2 \delta = {\rm const},$

여기서 $p_{\theta} = \dot \theta \ \rho^2$ 는 시험 입자의 극 방향 각운동량 성분이고, $\delta$ 는 궤도 경사각이다.

L_z = p_{\phi}=-g_{\phi \phi} {\dot{\phi}}-g_{t \phi} {\dot{t}} - q \ A_{\phi} = \frac{v^{\phi} \ \bar R}{\sqrt{1-\mu^2 v^2}}+\frac{(1-\mu^2 v^2) \ a \ r \ \mho \ q \ \sin ^2 \theta }{\Sigma } = {\rm const.}

E = -p_t =g_{tt} {\dot{t}}+g_{t \phi} {\dot{\phi}} + q \ A_{t} = \sqrt{\frac{\Delta \ \rho^2}{(1-\mu^2 v^2) \ \chi}} + \Omega \ L_z +\frac{\mho \ q \ r }{\Sigma} = {\rm const.}

여기서

\mu^2=0

와

\mu^2=1

인 입자는 보존되는 양이다.

:

\Omega = -\frac{g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}} = \frac{a \left(2 r-Q^2\right)}{\chi }

는 프레임 드래깅에 의해 유도된 각속도이다.

\chi

는 다음과 같이 정의된다.

:

\chi = \left(a ^2+r^2\right)^2-a ^2 \ \sin ^2 \theta  \ \Delta.

좌표 미분

\dot r, \ \dot \theta, \ \dot \phi

와 국소 3-속도

v

사이의 관계는 다음과 같다.

:

v^{r} = \dot r \ \sqrt{\frac{\rho^2 \ (1-\mu^2 v^2)}{\Delta}}

(반경 방향)
:

v^{\theta} = \dot \theta \ \sqrt{\rho^2 \ (1-\mu^2 v^2) }

(극 방향)
:

v^{\phi} = \sqrt{1-\mu^2 v^2} \left(L_z \ \Sigma - a \ q \ Q \ r \left( 1-\mu^2 v^2 \right) \sin^2 \theta \right)\cdot(\bar{R} \ \Sigma )^{-1}

(축 방향)
:

v =  \frac{\sqrt{\dot t^2-\varsigma^2}}{\dot t} = \sqrt{\frac{\chi \ (E-L_z \ \Omega )^2 -\Delta \ \rho^2}{\chi \ (E-L_z \ \Omega )^2}}

(총 국소 속도)

여기서

\bar R = \sqrt{-g_{\phi \phi}} = \sqrt{\frac{\chi}{\rho^2}} \ \sin \theta

는 회전 반경(국소 둘레를 2π로 나눈 값)이고,

\varsigma = \sqrt{g^{t t}}  = \frac{\chi }{\Delta \ \rho^2}

는 중력 시간 팽창 성분이다. 중성 입자의 국소 반경 탈출 속도는 다음과 같다.

:

v_{\rm esc}=\frac{\sqrt{\varsigma^2-1}}{\varsigma} .

7. 추가 논의

뉴먼의 결과는 4차원에서 전자기장이 존재하는 상황에서 아인슈타인 방정식의 가장 단순한 정상 시공간, 축 대칭, 점근적으로 평평한 해를 나타낸다. 이는 때때로 아인슈타인 방정식의 "전기 진공" 해라고 불린다.

모든 커-뉴먼 근원은 회전축이 자기축과 정렬되어 있다. 그러나 태양이나 태양계의 행성들은 자전축과 정렬된 자기장을 가지고 있지 않기 때문에, 커-뉴먼 근원은 일반적으로 관찰되는 천체와는 다르다. 커 해가 태양과 행성의 중력장을 설명하지만, 자기장은 다른 과정에 의해 발생한다.

커-뉴먼 전위가 고전적 전자의 모델로 간주될 경우, 자기 쌍극자 모멘트뿐만 아니라 전기 사중극자 모멘트와 같은 다른 다중극자 모멘트도 갖는 전자를 예측한다. 그러나 전자의 사중극자 모멘트는 아직 실험적으로 감지되지 않았으며, 0으로 보인다.

G = 0 극한에서 전자기장은 자기장이 무한대가 되는 링 내부에 있는 하전된 회전 디스크의 전자기장이다. 이 디스크의 총 전장 에너지는 무한대이므로 이 G = 0 극한은 무한 자기 에너지 문제를 해결하지 못한다.

Kerr 계량이 하전되지 않은 회전 질량에 대한 계량인 것처럼, 커-뉴먼 내부 해는 수학적으로 존재하지만, 코시 지평선의 안정성 문제 등으로 인해 실제 물리적으로 현실적인 회전 블랙홀의 실제 계량을 나타내지는 않을 것이다. 비록 커 계량의 일반화를 나타내지만, 현실적인 블랙홀이 상당한 전하를 가질 것으로 예상되지 않기 때문에 천체 물리학적 목적에 있어서 그다지 중요하게 여겨지지 않는다.

커-뉴먼 계량은 결합된 전하와 각운동량이 충분히 작을 때만 사건의 지평선을 가진 블랙홀을 정의한다.

: $J^2/M^2 + Q^2 \leq M^2.$

전자의 각운동량 J와 전하 Q (적절하게 기하학적 단위로 지정됨)는 모두 질량 M을 초과하며, 이 경우 계량에는 사건의 지평선이 없다. 따라서 블랙홀 전자와 같은 것은 존재할 수 없고, 단지 노출된 회전 고리 특이점만 존재한다. 이러한 계량은 고리의 우주 검열 가설 위반, 그리고 고리 바로 근처에서 인과율을 위반하는 닫힌 시간꼴 곡선의 출현과 같은 몇 가지 겉보기 비물리적 속성을 갖는다.

2009년 러시아 이론가 알렉산더 부린스키는 커-뉴먼 해의 근원을 상대론적으로 회전하는 디스크 형태로 얻는 모델을 제시했다. 부린스키는 중력에 의해 생성된 링 특이점이 전자 모델의 초전도 코어의 정규화에 의해 형성되며, 위상 전이의 초대칭 란다우-긴즈버그 장 모델에 의해 설명되어야 함을 보였다.

부린스키는 커-뉴먼 해의 음의 시트를 양전자의 시트로 간주하는 수정을 제안했다. 이 수정은 커-뉴먼 해를 QED의 모델과 통합하고, 벡터 전위의 프레임 드래깅에 의해 형성된 윌슨 선의 중요한 역할을 보여준다. 결과적으로 수정된 커-뉴먼 해는 전자-양전자 진공의 추가 에너지 기여로 인해 커의 중력과 강하게 상호 작용하여 콤프턴 크기의 커-뉴먼 상대론적 원형 끈을 생성한다.

7.1. 비가역 질량

전기장 에너지와 회전에너지를 포함하는 총 질량 등가량 M과 비가역 질량 M_irr은 다음과 같은 관계를 갖는다.

: $M_{\rm irr} = \frac{1}{2}\sqrt{2 M^2-r^2_Q c^4/G^2+2 M \sqrt{M^2-(r^2_Q +a^2) c^4/G^2}}$

이는 다음과 같이 역으로 표현할 수 있다.

: $M = \frac{4 M_{\rm irr}^2+r^2_Q c^4/G^2}{2\sqrt{4 M_{\rm irr}^2- a^2 c^4/G^2}}$

중성 정지 물체에 전하를 띠게 하거나 회전시키려면 시스템에 에너지를 가해야 한다. 질량-에너지 등가 원리에 따라 이 에너지 또한 질량 등가량을 가지므로, M은 항상 M_irr보다 크다. 예를 들어 펜로즈 과정을 통해 블랙홀의 회전 에너지를 추출하면, 남은 질량-에너지는 항상 M_irr보다 크거나 같다.

8. 참고 문헌

{{lang의 저서 《일반 상대성 이론》(시카고 대학교 출판사, 1984) 312–324쪽에 관련 내용이 있다.