크리스토펠 기호

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1. 개요

크리스토펠 기호는 독일의 수학자 엘빈 브루노 크리스토펠이 1869년에 도입한 기호로, 미분기하학 발전에 기여했다. 리만 다양체에서 레비-치비타 접속의 좌표 기저에서의 접속 계수를 나타내며, 제1종과 제2종 크리스토펠 기호로 구분된다. 제2종 크리스토펠 기호는 공변 미분과 계량 텐서를 통해 표현되며, 텐서처럼 표기되지만 좌표 변환에 대해 텐서처럼 행동하지 않는다. 일반 상대성 이론, 고전 역학, 측지학 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 시공간의 기하학을 연구하는 데 중요한 역할을 한다.

크리스토펠 기호

정의

설명	좌표계에서 정의된 접선 벡터의 변화율을 나타내는 기호

표기

종류	제1종 크리스토펠 기호: `[ij, k]` 또는 `Γ_{ijk}` 제2종 크리스토펠 기호: `{i choose jk}` 또는 `Γ^{i}_{jk}`
기호 설명	`i`, `j`, `k`는 좌표 지수

계산

제1종 크리스토펠 기호 계산식	`[ij, k] = (1/2) * (∂g_{ik}/∂x^j + ∂g_{jk}/∂x^i - ∂g_{ij}/∂x^k)`
제2종 크리스토펠 기호 계산식	`Γ^{i}_{jk} = g^{il} * [jk, l]` (아인슈타인 표기법 사용)
변수 설명	`g_{ij}`는 미터 텐서 `g^{il}`는 미터 텐서의 역행렬 `∂`는 편미분 연산자 `x^i`는 좌표

성질

대칭성	`Γ^{i}_{jk} = Γ^{i}_{kj}`
텐서 여부	크리스토펠 기호 자체는 텐서가 아님

활용

응용 분야	일반 상대성 이론 미분기하학
역할	측지선 방정식 공변 미분 정의

관련 개념	미터 텐서 공변 미분 리만 곡률 텐서 접속

2. 역사

독일의 엘빈 브루노 크리스토펠이 1869년에 도입하였다.

3. 정의

리만 다양체 $(M,g)$ 에서, 레비치비타 접속 $\nabla$ 는 $\nabla g=0$ 이고 꼬임이 없는 유일한 아핀 접속이다. 국소 좌표계 xⁱ, (i = 1, 2, ..., n)가 n차원 다양체 M위에 주어지고, 그 계량 텐서가 $g$ 일 때, 그 접벡터는 다음과 같이 정의된다.
: $\mathrm{e}_i = \frac{\partial}{\partial x^i}=\partial_i , \quad i=1,2,\dots,n$

이에 의해 접공간 M의 정의역 각 점에서 국소 좌표계의 기저가 정의된다.

크리스토펠 기호는 공변 미분과 계량 텐서 $g_{ik}\$ 에 의해 표현될 수 있는데,

: $0 = \nabla_\ell g_{ik}= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m{}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m{}_{k\ell}= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- 2g_{mk}\Gamma^m{}_{i\ell}$

이다. 더 짧은 표기법으로는 나블라 기호와 편미분 기호를 생략하고, 세미콜론과 콤마와 미분하는 첨자를 표기하여

: $0 = \,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m{}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m{}_{k\ell}$

와 같이 쓰기도 한다.

유클리드 공간에서, 제2종 크리스토펠 기호의 일반적인 정의는 다음과 동치임을 증명할 수 있다.
${\Gamma^k}_{ij}= \frac{\partial \mathbf{e}_{i}}{\partial x^j} \cdot \mathbf{e}^{k}= \frac{\partial \mathbf{e}_{i}}{\partial x^j} \cdot g^{km} \mathbf{e}_{m}$

제1종 크리스토펠 기호는 지수 내리기를 통해 구할 수 있다.
$\Gamma_{kij}= {\Gamma^m}_{ij}g_{mk}= \frac{\partial \mathbf{e}_{i}}{\partial x^j} \cdot \mathbf{e}^{m} g_{mk}= \frac{\partial \mathbf{e}_{i}}{\partial x^j} \cdot \mathbf{e}_{k}$

재배열하면, (부분 미분이 접 공간에 속한다고 가정하면, 이는 비유클리드 곡률 공간에서는 발생할 수 없다.) 다음과 같다.
$\frac{\partial \mathbf{e}_{i}}{\partial x^j} = {\Gamma^k}_{ij} \mathbf{e}_{k} = \Gamma_{kij} \mathbf{e}^{k}$

말하자면, 크리스토펠 기호로 표현되는 배열은 기저가 점마다 어떻게 변하는지를 추적한다. 만약 도함수가 접 공간에 놓이지 않는다면, 오른쪽 표현은 접 공간에 대한 도함수의 투영이다.

제1종 크리스토펠 기호와 제2종 크리스토펠 기호에 대한 더 자세한 내용은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

3.1. 제1종 크리스토펠 기호

제1종 크리스토펠 기호는 제2종 크리스토펠 기호와 계량 텐서로부터 유도되어 다음과 같이 정의될 수 있다.
: $\Gamma_{cab} = g_{cd} \Gamma^{d}{}_{ab}\,,$
또는 그 자체로써,
: $\Gamma_{cab}=\frac12 \left(\frac{\partial g_{ca}}{\partial x^b} + \frac{\partial g_{cb}}{\partial x^a} - \frac{\partial g_{ab}}{\partial x^c} \right)= \frac12\, (g_{ca, b} + g_{cb, a} - g_{ab, c})= \frac12\, \left(\partial_{b}g_{ca} + \partial_{a}g_{cb} - \partial_{c}g_{ab}\right) \,.$
처럼 정의될 수도 있다.

다른 표기 방법으로
: $\Gamma_{cab} = [ab, c].$
로 표기하기도 한다.

$[ab, c] = [ba, c]$ 라는 점은 주목할 필요가 있다.

제1종 크리스토펠 기호는 지수 내리기를 통해 구할 수 있다.
$\Gamma_{kij}= {\Gamma^m}_{ij}g_{mk}= \frac{\partial \mathbf{e}_{i}}{\partial x^j} \cdot \mathbf{e}^{m} g_{mk}= \frac{\partial \mathbf{e}_{i}}{\partial x^j} \cdot \mathbf{e}_{k}$

크리스토펠 기호로 표현되는 배열은 기저가 점마다 어떻게 변하는지를 추적한다. 제2종 기호는 기저에 대한 변화를 분해하는 반면, 제1종 기호는 쌍대 기저에 대한 변화를 분해한다. 이러한 형태에서, 아래 또는 마지막 두 개의 지수의 대칭성을 쉽게 알 수 있다.
${\Gamma^k}_{ij} = {\Gamma^k}_{ji}$ 그리고 $\Gamma_{kij} = \Gamma_{kji},$

제1종 크리스토펠 기호는 기본 계량 텐서로부터 다음과 같이 정의된다.
: $\left[ j \; k, a \right]= \frac{1}{2} \left(\frac{ \partial g_{j a} }{\partial x^k } + \frac{ \partial g_{k a} }{\partial x^j } - \frac{ \partial g_{j k} }{\partial x^a } \right)$

3.2. 제2종 크리스토펠 기호

레비치비타 접속의 좌표 기저에서의 접속 계수가 제2종 크리스토펠 기호이다. 제2종 크리스토펠 기호 $\Gamma^k{}_{ij}$ 는 (때로는 $\Gamma^{k}_{ij}$ 또는 $\{\begin{smallmatrix} k\\ ij \end{smallmatrix}\}$ 로도 표기) 다음과 같이 정의된다.

: $\nabla_i \mathrm{e}_j = \Gamma^k{}_{ij}\mathrm{e}_k$

여기서 $\nabla_i$ 는 M에서 좌표방향 $\mathrm{e}_{i}$ 로의 레비치비타 접속이며, $\nabla_i\equiv \nabla_{\mathrm{e}_i}$ 이고, $\mathrm{e}_i=\partial_i$ 는 국소 좌표의 홀로노믹 기저이다.

이 접속은 비틀림이 0이기 때문에, 그 기저의 접속 계수 또한 대칭이다. 다시 말해,

: $\Gamma^k{}_{ij}=\Gamma^k{}_{ji}\,$

이 성립한다. 그런 이유에서 비틀림 없는 접속을 흔히 ‘대칭’이라고 한다.

크리스토펠 기호는 공변 미분과 계량 텐서 $g_{ik}\$ 에 의해 표현될 수 있다.

: $0 = \nabla_\ell g_{ik}= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m{}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m{}_{k\ell}= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- 2g_{mk}\Gamma^m{}_{i\ell}$

더 짧은 표기법으로, 나블라 기호와 편미분 기호를 생략하여, 세미콜론과 콤마와 미분하는 첨자를 표기하여

: $0 = \,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m{}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m{}_{k\ell}$

와 같이도 쓴다.

아래 두 첨자에 대해 대칭이라는 점을 이용하여, 크리스토펠 기호를 계량 텐서의 함수로 나타낼 수 있는데,

: $\Gamma^i{}_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m})$

이고, 여기서 $(g^{jk})$ 는 $(g_{jk})\,$ 의 역행렬이고, 크로네커 델타와 아인슈타인 표기법을 사용하면 $g^{j i} g_{i k}= \delta^j{}_k\$ 이다.

크리스토펠 기호는 텐서와 같은 방식으로 표기되지만, 텐서는 아니다. 좌표변환에 대해서 텐서처럼 행동하지 않는다.

상부 지표를 하부 지표 중 하나(대칭적인 지표)와 축약하면 다음을 얻는다.

: ${\Gamma^{i}}_{ki} = \frac{\partial}{\partial x^k} \ln\sqrt$

👆

좌우로 밀어서 보기

여기서

g = \det g_{ik}

는 계량 텐서의 행렬식이다. 이 항등식은 벡터의 발산을 계산하는 데 사용될 수 있다.

3.3. 비홀로노믹 기저에서의 접속 계수

접속 계수는 접선 벡터의 임의의 (비홀로노믹) 기저 에서 정의할 수 있다. 계량 텐서의 관점에서 보면, 는 기저의 교환 계수이다.

3.4. 리치 회전 계수 (비대칭 정의)

직교 기저 를 선택할 때, 가 성립하면 이 된다. 연결 계수는 처음 두 지수에서 반대칭이다. 연결 계수 는 리치 회전 계수라고 한다.

4. 성질

제2종 크리스토펠 기호 $\left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}$ 는 아래 첨자 $j$ 와 $k$ 에 대해 대칭이다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\} = \left\{ { {i}\atop{k \; j} } \right\}$

이러한 이유로 비틀림이 없는 접속은 "대칭"이라고 불리기도 한다.

크리스토펠 기호는 계량 텐서 $g_{ik}$ 의 공변 미분이 0이 되는 것으로부터 유도될 수 있다.

: $0 = \nabla_l g_{ik}= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - g_{mk}{\Gamma^m}_{il} - g_{im}{\Gamma^m}_{kl}= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - 2g_{m(k}{\Gamma^m}_{i)l}.$

나블라 기호와 편미분 기호는 자주 생략되고, 대신 세미콜론과 콤마가 사용되어 미분에 사용되는 지수를 구분하기도 한다.

: $0 = \,g_{ik;l} = g_{ik,l} - g_{mk} {\Gamma^m}_{il} - g_{im} {\Gamma^m}_{kl} .$

아래 두 지수에 대한 대칭성을 이용하여, 크리스토펠 기호는 계량 텐서의 함수로 다음과 같이 표현될 수 있다.

: ${\Gamma^i}_{kl}= \frac{1}{2} g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} \right)= \frac{1}{2} g^{im} \left(g_{mk,l} + g_{ml,k} - g_{kl,m}\right),$

여기서 $(g^{jk})$ 는 행렬 $(g_{jk})$ 의 역행렬이며, 크로네커 델타와 아인슈타인 표기법을 사용하여 $g^{ji}g_{ik} = \delta^j_k$ 로 정의된다.

크리스토펠 기호는 텐서가 아니지만, 위쪽 지표를 아래쪽 지표 중 하나와 축약하면 다음과 같은 유용한 관계식을 얻을 수 있다.

: ${\Gamma^{i}}_{ki} = \frac{\partial}{\partial x^k} \ln\sqrt$

👆

좌우로 밀어서 보기

여기서

g = \det g_{ik}

는 계량 텐서의 행렬식이다. 이 항등식은 벡터의 발산을 계산하는 데 사용될 수 있다.

크리스토펠 기호는 좌표 기저에서 정의되는 것이 일반적이지만, 임의의 기저 에서도 정의될 수 있다.

:

{\omega^i}_{kl} = \frac{1}{2} g^{im} \left( g_{mk,l} + g_{ml,k} - g_{kl,m} + c_{mkl} + c_{ml k} - c_{kl m} \right),

여기서

c_{klm} = g_{mp}c_{kl}^p

는 기저의 교환 계수이다.

4.1. 좌표 변환

변수 $\left(x^1,\, \ldots,\, x^n\right)$ 에서 $\left(\bar{x}^1,\, \ldots,\, \bar{x}^n\right)$ 로 변환할 때 크리스토펠 기호는 다음과 같이 변환된다.

: ${\bar{\Gamma}^i}_{kl} =\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^m}\,\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^k}\,\frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^l}\,{\Gamma^m}_{np}+\frac{\partial^2 x^m}{\partial \bar{x}^k \partial \bar{x}^l}\,\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^m}$

여기서 윗줄()은 $\bar{x}^i$ 좌표계에서의 크리스토펠 기호를 나타낸다. 이 식에서 볼 수 있듯이 크리스토펠 기호는 텐서처럼 변환되지 않는다.

각 점에 대해, 크리스토펠 기호가 해당 점에서 사라지는 좌표계가 존재한다. 이러한 좌표계를 정규 좌표계(리만 기하학에서 자주 사용됨)라고 한다.

변환 법칙에서 직접 파생될 수 있는 몇 가지 흥미로운 속성은 다음과 같다.

* 선형 변환의 경우, 변환의 비균질 부분(우변의 두 번째 항)은 항등적으로 사라지므로 ${\Gamma^i}_{jk}$ 는 텐서처럼 동작한다.
* 만약 두 개의 접속장, 즉 ${\Gamma^i}_{jk}$ 와 ${\tilde\Gamma^i}_{jk}$ 가 있다면, 그 차이 ${\Gamma^i}_{jk} - {\tilde\Gamma^i}_{jk}$ 는 비균질 항이 서로 상쇄되므로 텐서이다. 비균질 항은 좌표가 어떻게 변경되는지에만 의존하며, 크리스토펠 기호 자체와는 무관하다.
* 크리스토펠 기호가 한 좌표계에서 아래 첨자에 대해 비대칭인 경우, 즉 ${\Gamma^i}_{jk} \neq {\Gamma^i}_{kj}$ 이면, 좌표 변환에 따라 비대칭으로 유지된다. 이 속성의 결과로, 아래 첨자가 대칭적이지 않는 한, 한 점에서 크리스토펠 기호의 모든 요소가 0인 좌표계를 찾는 것은 불가능하다. 이 속성은 알베르트 아인슈타인과 에르빈 슈뢰딩거에 의해 독립적으로 지적되었다.

2종 크리스토펠 기호에 대해 좌표계 $x^h$ 에서 좌표계 $u^h$ ( $h = 1, 2, ..., n$ )로 변수 변환을 수행하면

: $\frac{\partial x^i}{\partial u^a} \left\{ \overline{ { {a}\atop{b \; c} } } \right\}= \frac{\partial x^j}{\partial u^b}\frac{\partial x^k}{\partial u^c} \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}+ \frac{\partial^2 x^i}{\partial u^b \partial u^c}$

:여기서, 윗줄은 $u$ -좌표계에 관한 크리스토펠 기호임을 나타낸다.

가 된다. 이 식으로부터 2종 크리스토펠 기호는 텐서의 성분이 아님을 알 수 있다.

곡면상의 모든 점에서 크리스토펠 기호가 0이 되는 좌표계가 존재한다면, 그 곡면은 신축 없이 평면상에 전개 가능한 것뿐이며, 그 외의 경우에는 곡면상의 모든 점에서 $\left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\} = 0$ 이 되는 좌표계는 일반적으로 존재하지 않는다. 단, 곡면상의 특정 점 $x^i_0$ 에서는 $\left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0 = 0$ 이 되는 좌표계를 취할 수 있다.

여기서,
: $x^i - x^i_0 = u^i - \frac{1}{2} \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0 u^j u^k$ (단, $u^i_0 = 0$ )

이 되는 좌표 변환을 수행한다. 이 때, $u^h$ 로 편미분을 수행하면

: $\frac{\partial x^i}{\partial u^h} = \delta^i_h - \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0}{\partial u^h} u^j u^k + \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0 \delta^j_h u^k + \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0 u^j \delta^k_h \right) = \delta^i_h - \frac{1}{2} \frac{\partial \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0}{\partial u^h} u^j u^k - \left\{ { {i}\atop{h \; k} } \right\}_0 u^k$

이 되고, 또한 $u^l$ 로 편미분을 수행하면

: $\frac{\partial^2 x^i}{\partial u^l \partial u^h} = - \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0}{\partial u^l \partial u^h} u^j u^k + \frac{\partial \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0}{\partial u^h} \delta^j_l u^k + \frac{\partial \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0}{\partial u^h} u^j \delta^k_l \right) - \frac{\partial \left\{ { {i}\atop{h \; k} } \right\}_0 }{\partial u^l} u^k - \left\{ { {i}\atop{h \; k} } \right\}_0 \delta^k_l$

이 된다. 따라서 $x^i = x^i_0$ 일 때 $u^i = 0$ 이므로,

: $\left( \frac{\partial x^i}{\partial u^h} \right)_0 = \delta^i_h , \;\;\; \left( \frac{\partial^2 x^i}{\partial u^l \partial u^h} \right)_0 = - \left\{ { {i}\atop{h \; l} } \right\}_0$

을 얻는다. 따라서, 어떤 점 $x^i_0$ 에서의 크리스토펠 기호의 변수 변환식이

: $\left( \frac{\partial x^i}{\partial u^k} \right)_0 \left\{ \overline{ { {k}\atop{h \; l} } } \right\}_0= \left( \frac{\partial x^j}{\partial u^h} \right)_0\left( \frac{\partial x^k}{\partial u^l} \right)_0 \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0+ \left( \frac{\partial^2 x^i}{\partial u^h \partial u^l} \right)_0= \delta_h^j \delta_l^k \left\{ { {i}\atop{j \; k} } \right\}_0 - \left\{ { {i}\atop{h \;l} } \right\}_0 = 0$

이므로,

: $\delta_k^i \left\{ \overline{ { {k}\atop{h \; l} } } \right\}_0 = \left\{ \overline{ { {i}\atop{h \; l} } } \right\}_0 = 0$

즉, 크리스토펠 기호는 어떤 점 $x^i_0$ 에서는 모두 0이 된다는 것을 유도할 수 있다.

이러한 좌표계를 점 $u_0 = 0$ 을 원점으로 하는 측지 좌표계(geodetic coordinate system)라고 부른다. 또한, 측지 좌표의 원점에서는 텐서의 공변 미분과 통상적인 미분이 일치한다.

4.2. 기본 계량 텐서의 행렬식 표현

차원 리만 다양체의 기본 계량 텐서 는 정방 행렬로 생각할 수 있으며, 이 행렬의 행렬식 는 다음과 같이 정의된다.
: $g = \det(g_{i j}) = \left|\begin{array}{ccc}g_{1 1} & g_{1 2} & \cdots \\g_{2 1} & g_{2 2} & \cdots \\\vdots & \vdots & \ddots\end{array}\right|$
의 여인자 행렬을 라 하고, 를 로 편미분하면 다음과 같은 관계가 성립한다.
: $\frac{\partial g}{\partial x^k} = \frac{\partial g}{\partial g_{i j}} \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^k} = G_{i j} \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^k}$
여인자 행렬을 행렬식으로 나눈 것은 역행렬이 되며, 이는 반변 버전의 기본 계량 텐서와 같다. 즉, 이다. 이를 이용하면,
: $\begin{align}\frac{\partial g}{\partial x^k} &= g g^{i j} \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^k} = g g^{i j} \left( g_{i a} \left\{ { {a}\atop{j \; k} } \right\} + g_{a j} \left\{ { {a}\atop{i \; k} } \right\} \right) \\& = g \left( \delta^j_a \left\{ { {a}\atop{j \; k} } \right\} + \delta^i_a \left\{ { {a}\atop{i \; k} } \right\} \right) = g \left( \left\{ { {a}\atop{a \; k} } \right\} + \left\{ { {a}\atop{a \; k} } \right\} \right) \\& = 2 g \left\{ { {a}\atop{a \; k} } \right\}\end{align}$
따라서, 다음 식을 얻을 수 있다.
: $\left\{ { {a}\atop{a \; k} } \right\} = \left\{ { {a}\atop{k \; a} } \right\} = \frac{1}{2} \frac{1}{g} \frac{\partial g}{\partial x^k} = \frac{\partial \log \sqrt{g}}{\partial x^k} = \frac{1}{\sqrt{g} }\frac{ \partial \sqrt{g} }{ \partial x^k }$

5. 평행 이동과의 관계

리만 다양체 위의 매개변수 $s$ 로 매개화된 곡선에서 벡터 $\xi^i$ 가 평행 수송된다면, 벡터 성분의 변화율은 다음과 같다.

: $\frac{d\xi^i}{ds} = -{\Gamma^i}_{mj} \frac{dx^m}{ds}\xi^j.$

임의의 두 벡터 $\xi^i$ 와 $\eta^k$ 로 형성된 스칼라 곱 $g_{ik}\xi^i\eta^k$ 가 변하지 않는다는 조건, 즉

: $\frac{d}{ds}\left(g_{ik}\xi^i\eta^k\right) = 0$

을 사용하면 크리스토펠 기호를 유도할 수 있다. 곱 규칙을 적용하면

: $\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} \frac{dx^l}{ds} \xi^i\eta^k + g_{ik} \frac{d\xi^i}{ds}\eta^k + g_{ik}\xi^i\frac{d\eta^k}{ds} = 0$

이 된다. 두 임의의 벡터에 대한 평행 수송 규칙을 적용하고, 더미 지수를 다시 표기하고, $\xi^i\eta^k dx^l$ (임의)의 계수를 정리하면,

: $\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} = g_{rk}{\Gamma^r}_{il} + g_{ir}{\Gamma^r}_{lk}$

를 얻는다. 이는 계량 텐서의 공변 미분을 0으로 하여 얻은 방정식과 동일하다.

6. 무지수 표기법과의 관계

와 를 성분 와 를 갖는 벡터장이라고 하자. 그러면 에 대한 의 공변 미분의 번째 성분은 다음과 같이 주어진다.

: $\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i (\nabla_i Y)^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + {\Gamma^k}_{im} Y^m\right).$

여기서, 아인슈타인 표기법이 사용되었으며, 반복되는 지수는 지수에 대한 합을 나타내고, 계량 텐서와의 수축은 지수를 올리고 내리는 역할을 한다.

: $g(X, Y) = X^i Y_i = g_{ik}X^i Y^k = g^{ik}X_i Y_k.$

이고 이며, 여기서 δ ⁱ_k는 크로네커 델타이다. 관례에 따르면 계량 텐서는 아래첨자를 갖는 텐서이다. 에서 를 얻는 올바른 방법은 선형 방정식 를 푸는 것이다.

접속이 비틀림이 없다는 진술, 즉

: $\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,\, Y]$

는 좌표 기저에서 크리스토펠 기호가 아래첨자 두 개에 대해 대칭이라는 진술과 동등하다.

: ${\Gamma^i}_{jk} = {\Gamma^i}_{kj}.$

7. 텐서의 공변 미분

반변 벡터장 X와 Y를 각각 성분 $X^i$와 $Y^k$를 갖는 벡터장이라고 하자. 그러면 X에 대한 Y의 공변 미분의 k번째 성분은 다음과 같이 주어진다.

: $\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i (\nabla_i Y)^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + {\Gamma^k}_{im} Y^m\right).$

여기서 아인슈타인 표기법이 사용되었으며, 반복되는 지수는 지수에 대한 합을 나타내고, 계량 텐서와의 수축은 지수를 올리고 내리는 역할을 한다.

: $g(X, Y) = X^i Y_i = g_{ik}X^i Y^k = g^{ik}X_i Y_k.$

$g_{ik} \neq g^{ik}$이고 $g^i_k = \delta^i_k$이며, 여기서 $\delta^i_k$는 크로네커 델타임을 명심해야 한다. 관례에 따르면 계량 텐서는 아래첨자를 갖는 텐서이다. $g_{ik}$에서 $g^{ik}$를 얻는 올바른 방법은 선형 방정식 $g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k$를 푸는 것이다.

접속이 비틀림이 없다는 것, 즉

: $\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,\, Y]$

는 좌표 기저에서 크리스토펠 기호가 아래첨자 두 개에 대해 대칭이라는 것과 동등하다.

: ${\Gamma^i}_{jk} = {\Gamma^i}_{kj}.$

텐서의 무지수 변환 속성은 공변 지수의 경우 당김으로, 반변 지수의 경우 밀기로 주어진다. 공변 미분 문서는 무지수 표기법과 지수 표기법 간의 대응에 대한 추가적인 논의를 제공한다.

7.1. 벡터장의 공변 미분

Covariant vector field^영어의 성분 $V^m$ 의 공변 미분은 다음과 같다.

: $\nabla_l V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^l} + {\Gamma^m}_{kl} V^k.$

따름 정리로, 벡터의 발산은 다음과 같이 구할 수 있다.

: $\nabla_i V^i = \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \left(\sqrt{-g}\, V^i\right)}{\partial x^i}.$

공변 벡터장 $\omega_m$ 의 공변 미분은 다음과 같다.

: $\nabla_l \omega_m = \frac{\partial \omega_m}{\partial x^l} - {\Gamma^k}_{ml} \omega_k.$

이제 크리스토펠 기호의 대칭성은

: $\nabla_i\nabla_j \varphi = \nabla_j\nabla_i \varphi$

임의의 스칼라 장에 대해 성립하지만, 일반적으로 고차 텐서장의 공변 미분은 교환되지 않는다 (곡률 텐서 참조).

7.2. 고차 텐서장의 공변 미분

tensor field^영어 유형 $(2, 0)$ 텐서 장 $A^{ik}$의 공변 미분은 다음과 같다.

: $\nabla_l A^{ik} = \frac{\partial A^{ik}}{\partial x^l} + {\Gamma^i}_{ml} A^{mk} + {\Gamma^k}_{ml} A^{im},$

: ${A^{ik}}_{;l} = {A^{ik}}_{,l} + A^{mk} {\Gamma^i}_{ml} + A^{im} {\Gamma^k}_{ml}.$

혼합된 텐서 장의 경우, 공변 미분은 다음과 같다.

: ${A^i}_{k;l} = {A^i}_{k,l} + {A^{m}}_k {\Gamma^i}_{ml} - {A^i}_m {\Gamma^m}_{kl},$

텐서 장이 유형 $(0, 2)$인 경우, 공변 미분은 다음과 같다.

: $A_{ik;l} = A_{ik,l} - A_{mk} {\Gamma^m}_{il} - A_{im} {\Gamma^m}_{kl}.$

7.3. 텐서의 반변 미분

Contravariant derivative^영어 벡터장의 반변 미분은 다음과 같이 정의된다.

: $\nabla^l V^m = g^{il} \nabla_i V^m = g^{il} \partial_i V^m + g^{il} \Gamma^m_{ki} V^k = \partial^l V^m + g^{il} \Gamma^m_{ki} V^k$

여기서 $g^{il}$ 는 계량 텐서의 역행렬이며, $g^{il} \partial_i V^m$ 는 $V^m$ 의 공변 미분에 해당한다.

8. 응용

일반 상대성 이론에서 시공간은 레비-치비타 접속을 가진 곡면 4차원 로렌츠 다양체로 표현되는데, 이때 크리스토펠 기호가 자주 사용된다. 아인슈타인 장 방정식은 리치 텐서를 포함하므로, 크리스토펠 기호를 계산하는 것이 필수적이다. 일반 상대성 이론에서 입자와 광선의 경로는 측지선 방정식을 풀어서 계산되는데, 이 방정식에 크리스토펠 기호가 명시적으로 나타난다.

일반 좌표 $x^i$ 와 일반 속도 $\dot{x}^i$ 에서 단위 질량당 운동 에너지는 $T = \tfrac{1}{2} g_{ik}\dot{x}^i \dot{x}^k$ 로 주어지며, 여기서 $g_{ik}$ 는 계량 텐서이다. 오일러-라그랑주 방정식에 라그랑지안 $L = T - V$ 를 대입하고, $g^{ij}$ 를 곱하면, $\ddot{x}^j + {\Gamma^j}_{lk} \dot{x}^l \dot{x}^k = F^j.$ 를 얻는다. 여기서 ${\Gamma^j}_{lk}$ 는 크리스토펠 기호이다. 곡선 좌표계에서 원심력과 코리올리 힘과 같은 가상의 힘은 크리스토펠 기호에서 비롯된다.

라그랑주 역학을 통해 다양체의 기하학을 설명할 때도 크리스토펠 기호가 사용된다. 측지선 방정식은 다음과 같다.

: $\frac{\mathrm d^{2}x^{h} }{\mathrm ds^2 } + \sum_{j, i} \left\{ { {h}\atop{j \; i} } \right\} \frac{\mathrm dx^{j} }{\mathrm ds } \frac{\mathrm dx^{i} }{\mathrm ds } = 0$

크리스토펠 기호(Christoffel symbols^영어)는 구면 좌표계와 같이 곡선 좌표계에서 미분 기하학을 다룰 때 유용하다. 특히, 지구 표면과 같이 3차원 공간에서 위치를 나타내는 좌표계에서 그 중요성이 두드러진다.

지구 표면에서 북쪽으로 이동할 때, 북극점에 가까워질수록 동쪽 방향 벡터는 점점 작아지며, 북극점에서는 동쪽 방향을 정의할 수 없게 된다. 이러한 변화를 정량적으로 계산하기 위해 크리스토펠 기호를 사용할 수 있다.

8.1. 일반 상대성 이론

일반 상대성 이론에서 크리스토펠 기호는 자주 사용된다. 여기서 시공간은 레비-치비타 접속을 가진 곡면 4차원 로렌츠 다양체로 표현된다. 아인슈타인 장 방정식은 리치 텐서를 포함하므로, 크리스토펠 기호를 계산하는 것이 필수적이다. 일단 기하학이 결정되면, 입자와 광선의 경로는 크리스토펠 기호가 명시적으로 나타나는 측지선 방정식을 풀어서 계산된다.

8.2. 고전 역학 (비상대론적)

일반 좌표 $x^i$ 와 일반 속도 $\dot{x}^i$ 에서 단위 질량당 운동 에너지는 $T = \tfrac{1}{2} g_{ik}\dot{x}^i \dot{x}^k$ 로 주어지며, 여기서 $g_{ik}$ 는 계량 텐서이다. 오일러-라그랑주 방정식에 라그랑지안 $L = T - V$ 를 대입하면 다음과 같다.

: $g_{ik}\ddot{x}^k + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{lk}}{\partial x^i}\right) \dot{x}^l \dot{x}^k = F_i.$

$g^{ij}$ 를 곱하면,

: $\ddot{x}^j + {\Gamma^j}_{lk} \dot{x}^l \dot{x}^k = F^j.$

를 얻는다. 곡선 좌표계에서 원심력과 코리올리 힘과 같은 가상의 힘은 크리스토펠 기호에서 비롯된다.

8.3. 측지학 (라그랑지안 역학)

라그랑주 역학을 통합하고 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여, 다양체의 기하학을 설명하기 위해 크리스토펠 기호를 라그랑지안에 대입할 수 있다.

$x^i$ 를 일반 좌표, $\dot{x}^i$ 를 일반 속도라고 하면, 단위 질량당 운동 에너지는 $T = \tfrac{1}{2} g_{ik}\dot{x}^i \dot{x}^k$ 로 주어지며, 여기서 $g_{ik}$ 는 계량 텐서이다. 만약 $V\left(x^i\right)$ 인 위치 에너지 함수가 존재한다면, 단위 질량당 일반 힘의 반변 성분은 $F_i = \partial V/\partial x^i$ 이다. 이 계량(여기서는 순수한 공간 영역에서)은 선 요소 $ds^2 = 2T dt^2$ 로부터 얻을 수 있다. 오일러-라그랑주 방정식에 라그랑지안 $L = T - V$ 를 대입하면 다음과 같다.

$g_{ik}\ddot{x}^k + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{lk}}{\partial x^i}\right) \dot{x}^l \dot{x}^k = F_i.$

이제 $g^{ij}$ 를 곱하면,

$\ddot{x}^j + {\Gamma^j}_{lk} \dot{x}^l \dot{x}^k = F^j.$

여기서 ${\Gamma^j}_{lk}$ 는 크리스토펠 기호이다.

(관성 좌표계에서처럼) 직교 좌표계를 채택할 수 있는 경우 유클리드 계량을 가지며, 크리스토펠 기호는 0이 되고, 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙으로 축소된다. 곡선 좌표계에서 (비관성 좌표계에서는 강제적으로, 계량이 비유클리드이고 평탄하지 않음), 원심력과 코리올리 힘과 같은 가상의 힘은 크리스토펠 기호에서 비롯되므로, 순수한 공간 곡선 좌표에서 비롯된다.

측지선 방정식은 다음과 같다.

: $\frac{\mathrm d^{2}x^{h} }{\mathrm ds^2 } + \sum_{j, i} \left\{ { {h}\atop{j \; i} } \right\} \frac{\mathrm dx^{j} }{\mathrm ds } \frac{\mathrm dx^{i} }{\mathrm ds } = 0$

8.4. 지구 표면 좌표계

Christoffel symbols^영어는 구면 좌표계와 같이 곡선 좌표계에서 미분 기하학을 다룰 때 유용하게 사용되는 도구이다. 특히, 지구 표면과 같이 3차원 공간에서 위치를 나타내는 좌표계에서 그 중요성이 두드러진다.

지구 표면의 좌표계는 일반적으로 위도, 경도, 높이로 표현되는 구면 좌표계를 사용한다. 이 좌표계에서 각 좌표값의 변화에 따라 실제 거리가 얼마나 변하는지, 또는 다른 물리량이 어떻게 변하는지를 계산하는 데 크리스토펠 기호가 사용된다.

예를 들어, 지구 표면에서 북쪽으로 이동할 때, 동쪽 방향을 나타내는 벡터가 어떻게 변하는지 생각해 보자. 북극점에 가까워질수록 동쪽 방향 벡터는 점점 작아지며, 북극점에서는 동쪽 방향을 정의할 수 없게 된다. 이러한 변화를 정량적으로 계산하기 위해 크리스토펠 기호를 사용할 수 있다.

크리스토펠 기호는 계량 텐서의 미분을 통해 계산되는데, 계량 텐서는 좌표값의 미소 변화에 따른 거리 변화를 나타내는 값이다. 구면 좌표계에서 계량 텐서는 위도, 경도, 높이에 따라 달라지며, 이 계량 텐서의 변화율을 나타내는 크리스토펠 기호를 통해 좌표 변화에 따른 여러 물리량의 변화를 계산할 수 있다.

이러한 크리스토펠 기호는 지구 자기장의 변화와 같은 현상을 정확하게 분석하는 데에도 활용될 수 있다. 지구 자기장은 지구 표면의 위치에 따라 그 크기와 방향이 달라지는데, 이러한 변화를 정밀하게 기술하고 예측하기 위해 크리스토펠 기호를 이용한 계산이 필요하다.

설명	좌표계에서 정의된 접선 벡터의 변화율을 나타내는 기호

표기

종류	제1종 크리스토펠 기호: `[ij, k]` 또는 `Γ_{ijk}` 제2종 크리스토펠 기호: `{i choose jk}` 또는 `Γ^{i}_{jk}`
기호 설명	`i`, `j`, `k`는 좌표 지수

계산

제1종 크리스토펠 기호 계산식	`[ij, k] = (1/2) * (∂g_{ik}/∂x^j + ∂g_{jk}/∂x^i - ∂g_{ij}/∂x^k)`
제2종 크리스토펠 기호 계산식	`Γ^{i}_{jk} = g^{il} * [jk, l]` (아인슈타인 표기법 사용)
변수 설명	`g_{ij}`는 미터 텐서 `g^{il}`는 미터 텐서의 역행렬 `∂`는 편미분 연산자 `x^i`는 좌표

성질

대칭성	`Γ^{i}_{jk} = Γ^{i}_{kj}`
텐서 여부	크리스토펠 기호 자체는 텐서가 아님

활용

응용 분야	일반 상대성 이론 미분기하학
역할	측지선 방정식 공변 미분 정의