케일리의 정리

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1. 개요
2. 역사
3. 배경
4. 증명
5. 정칙표현
6. 예시
7. 일반화된 표현
참조

1. 개요

케일리의 정리는 모든 군이 어떤 대칭군의 부분군과 동형이라는 것을 보여주는 중요한 정리이다. 아서 케일리가 처음으로 군과 순열군 사이의 관계를 밝혀냈으며, 윌리엄 번사이드에 의해 1870년에 카미유 조르당이 처음 발표했다는 주장이 제기되기도 했다. 이 정리는 군 작용과 정칙표현을 통해 증명되며, 정칙표현은 군의 각 원소를 순열로 나타내는 방법이다. 케일리의 정리는 추상대수학에서 군의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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케일리의 정리
케일리의 정리
유한군 G의 원소에 의한 G의 왼쪽 곱셈을 묘사하는 다이어그램
수학적 내용
분야	군론
명명	아서 케일리

2. 역사

군을 현대와 같이 처음으로 정의한 사람은 아서 케일리이다. 그 전까지 군(group)은 오늘날의 순열군을 뜻하는 말이었다. 케일리의 정리는 두 개념이 동치임을 보여준다.

윌리엄 번사이드는 케일리의 정리를 1870년에 카미유 조르당이 처음 발표했다고 했지만, 에릭 누멜라는 일반적으로 쓰이는 이름인 “케일리의 정리”라는 이름이 사실 더 알맞다고 본다.^[19]^[20]^[21] 케일리는 자신의 1854년 논문에서^[22] 군과 순열군 사이에 일대일 대응을 만들 수 있음을 보였지만, 그 대응이 군 준동형사상임을 명시적으로 증명하지는 않았다. 하지만 누멜라는 케일리가 조르당보다 16년 앞서 수학계에 이 결과를 알렸다고 지적한다.

이후 발터 뒤크가 1882년에 자기 책에 케일리의 정리를 실었고,^[23] 번사이드의 책의 1897년 초판에서는 케일리의 정리를 증명한 사람이 뒤크라고 소개했다.^[24]

3. 배경

집합 ''A''의 순열은 ''A''에서 ''A''로의 전단사 함수이다. ''A''의 모든 순열의 집합은 함수 합성에 대해 군을 형성하며, 이를 ''A'' 위의 대칭군이라 하고 $\operatorname{Sym}(A)$ 로 표기한다.^[13] 특히, ''A''를 군 ''G''의 기저 집합으로 간주하면 대칭군 $\operatorname{Sym}(G)$ 가 생성된다.

4. 증명

군 $(G, *)$ 의 각 원소 $g$ 에 대해 함수 $f_g : G \to G$ 를 $f_g(x) = g * x$ 로 정의하자. 이 함수는 역함수 $f_{g^{-1}}$ 을 가지므로, $G$ 위의 순열이고, $\operatorname{Sym}(G)$ 의 원소이다.^[13]

$K = \{f_g : g \in G\}$ 는 $\operatorname{Sym}(G)$ 의 부분군으로서 $G$ 와 동형이다. 함수 $T : G \to \operatorname{Sym}(G)$ 를 $T(g) = f_g$ 로 정의하면, 모든 $x \in G$ 에 대해

: $(f_g \cdot f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h*x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{g*h}(x)$

이므로,

: $T(g) \cdot T(h) = f_g \cdot f_h = f_{g*h} = T(g*h)$

가 되어, $T$ 가 군 준동형사상임을 알 수 있다.

준동형사상 $T$ 는 단사 함수인데, $g * x = g' * x$ 라면 소거법칙에 의해 $g = g'$ 여야 하기 때문이다. 따라서 $G$ 는 $K$ 와 동형이다.

다른 증명 방법으로는 군 작용을 이용하는 방법이 있다. 군 $G$ 가 자신에게 왼쪽 곱셈으로 작용한다고 하면, $g \cdot x = gx$ 이며, 이는 순열 표현 $\phi : G \to \mathrm{Sym}(G)$ 를 갖는다.

표현이 충실하다는 것은 $\phi$ 가 단사 함수, 즉 $\phi$ 의 커널이 자명하다는 것을 의미한다. $g\in\ker\phi$ 라고 가정하면, $g = ge = g\cdot e = e$ 이다. 따라서, $\ker\phi$ 는 자명하다. 결과는 제1 동형 정리를 사용하여 도출되며, $\mathrm{Im}\, \phi \cong G$ 를 얻는다.

5. 정칙표현

위 증명에서 $T$ 를 $G$ 의 '''정칙표현'''이라고 부른다. $f_g(x) = g * x$ 를 $g$ 의 '''왼쪽 정칙표현'''이라고 하는데, $h_g(x) = x * g$ 로 정의되는 '''오른쪽 정칙표현'''을 사용해도 상관없다.

$G$ 의 항등원은 항등순열에 대응하고, 나머지 모든 원소는 교란순열에 대응한다. 이는 그 원소의 위수보다 낮은 지수의 거듭제곱인 원소도 마찬가지이므로, 각 원소는 똑같은 길이를 가진 순환치환들의 곱이다. 이때 순환치환의 길이는 그 원소의 위수와 같다. 각 순환치환의 원소들은 그 원소가 생성하는 부분군의 왼쪽 잉여류를 이룬다.

예를 들어 대칭군 $S_3$ 의 정칙표현은 다음과 같다.

*	e	a	b	c	d	f	순열 표현
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)

6. 예시

$\mathbb Z_2 = \{0,1\}$ 는 2를 법으로 한 덧셈을 사용한다. 군 원소 0은 항등 순열 e에 해당하고, 군 원소 1은 순열 (12)에 해당한다(순환 표기법 참조). 예를 들어 0 + 1 = 1이고 1+1 = 0이므로, $1\mapsto0$ 이고 $0\mapsto1,$ 순열에서와 같다.

$\mathbb Z_3 = \{0,1,2\}$ 는 3을 법으로 한 덧셈을 사용한다. 군 원소 0은 항등 순열 e에 해당하고, 군 원소 1은 순열 (123)에 해당하며, 군 원소 2는 순열 (132)에 해당한다. 예를 들어 1 + 1 = 2는 (123)(123) = (132)에 해당한다.

$\mathbb Z_4 = \{0,1,2,3\}$ 는 4를 법으로 한 덧셈을 사용한다. 이 원소들은 e, (1234), (13)(24), (1432)에 해당한다.

클라인 네 그룹 {e, a, b, c}의 원소들은 e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)에 해당한다.

S₃ (6차 이면체군)는 3개의 객체에 대한 모든 순열의 그룹이지만, 6개의 군 원소의 순열 그룹이기도 하며, 후자는 정규 표현에 의해 실현되는 방식이다.

*	e	a	b	c	d	f	순열
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)

7. 일반화된 표현

를 군, 를 부분군이라고 하자. $G/H$ 를 에서 의 잉여류의 집합이라고 하자. 을 에서 의 정규 핵이라고 하자. 정규 핵은 에서 의 켤레군의 교집합으로 정의된다. 그러면 몫군 $G/N$ 은 $\operatorname{Sym}(G/H)$ 의 부분군과 동형이다.

$H=1$ 인 특수한 경우는 케일리의 원래 정리이다.

참조

_[1] harvtxt
_[2] harvtxt
_[3] 서적 Introduction to Algebra, Second Edition https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[4] 저널 Minimal Permutation Representations of Finite Groups
_[5] 저널 On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups
_[6] 서적 Groups and representations https://archive.org/[...] Springer
_[7] Citation Theory of Groups of Finite Order https://babel.hathit[...]
_[8] Citation Traite des substitutions et des equations algebriques Gauther-Villars
_[9] Citation Cayley's Theorem for Topological Groups Mathematical Association of America
_[10] Citation On the theory of groups as depending on the symbolic equation θⁿ=1 https://books.google[...]
_[11] Citation Gruppentheoretische Studien https://archive.org/[...]
_[12] Citation Theory of Groups of Finite Order https://archive.org/[...]
_[13] harvtxt
_[14] harvtxt
_[15] harvtxt
_[16] 서적 Groups and representations https://archive.org/[...] Springer
_[17] 저널 Minimal Permutation Representations of Finite Groups https://archive.org/[...]
_[18] 저널 On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups
_[19] 인용 Theory of Groups of Finite Order https://babel.hathit[...]
_[20] 인용 Traite des substitutions et des equations algebriques Gauther-Villars
_[21] 인용 Cayley's Theorem for Topological Groups Mathematical Association of America
_[22] 인용 On the theory of groups as depending on the symbolic equation θⁿ=1 https://books.google[...]
_[23] 인용 Gruppentheoretische Studien https://archive.org/[...]
_[24] 인용 Theory of Groups of Finite Order https://archive.org/[...]

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