잉여류

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 잉여류 공간
3. 성질
4. 예
5. 역사
6. 응용
참조

1. 개요

잉여류는 군 G의 부분군 H와 G의 원소 g에 대해 정의되는 개념으로, g가 속하는 H의 왼쪽 잉여류 gH와 오른쪽 잉여류 Hg가 있다. 잉여류는 군론에서 중요한 개념으로, 잉여류들의 집합은 잉여류 공간을 형성하며, 라그랑주 정리를 통해 유한군의 부분군의 지표를 계산하는 데 사용된다. 잉여류는 군의 구조를 이해하고, 정규 부분군, 몫군, 잉여류 공간 등과 같은 관련 개념을 정의하는 데 필수적이다.

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잉여류
정의
설명	군론에서, 잉여류(剩餘類, 영어: coset 코셋)는 어떤 군의 부분군에 대해 정의되는, 원래 군의 부분 집합이다.
유래
명칭 유래	영어 "coset"은 "공동의 집합"을 뜻한다.
정의
좌잉여류	군 의 부분군 및 군원 에 대해, 의 에 대한 왼쪽 잉여류는 다음과 같다.
우잉여류	군 의 부분군 및 군원 에 대해, 의 에 대한 오른쪽 잉여류는 다음과 같다.
표기법	잉여류는 곱셈 표기법으로 쓰여질 수도 있다.
잉여류의 크기	잉여류는 부분군과 크기가 같다.
잉여류 분할	잉여류들은 군을 분할한다. 즉, 모든 군원들은 정확히 하나의 잉여류에 속한다.
잉여류의 개수	부분군 에 대한 잉여류의 개수는 로 쓰여지고, 의 에서의 지표라고 불린다.
성질
라그랑주 정리	유한군 의 부분군 의 크기는 항상 의 크기를 나눈다.
정규 부분군	부분군 에 대해, 왼쪽 잉여류가 항상 오른쪽 잉여류와 같다면, 는 정규 부분군이다.
예시
정수 덧셈군	정수 덧셈군 에서, 짝수 정수 부분군 에 대한 잉여류는 짝수 정수 집합과 홀수 정수 집합이다.
관련 개념
잉여류 분해	군을 잉여류들의 합집합으로 나타내는 것을 잉여류 분해라고 한다.

2. 정의

군 $G$ 와 그 부분군 $H$ , 그리고 $G$ 의 원소 $g$ 에 대하여, $gH = \{gh : h \in H\}$ 를 $g$ 를 포함하는 $H$ 의 왼쪽 잉여류(left coset^영어)라고 하고, $Hg = \{hg : h \in H\}$ 를 $g$ 를 포함하는 $H$ 의 오른쪽 잉여류(right coset^영어)라고 정의한다.^[1] 아벨 군처럼 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를 $g+H$ 나 $H+g$ 로 표기한다.

$G$ 속 $H$ 의 모든 왼쪽 잉여류의 집합은 $G/H$ 로 나타내고, $G/H$ 의 크기는 $|G:H|$ 로 나타내며, 이를 $H$ 의 $G$ 속에서의 지표(指標, index^영어)라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 왼쪽 잉여류들의 수이다.

임의의 두 왼쪽 잉여류(또는 오른쪽 잉여류)는 서로소이거나 동일한 집합이다.^[1] 부분군 $H$ 에 대한 "오른쪽 잉여류 $Hg$ "와 $H$ 와 켤레인 부분군 $g^{-1}Hg$ 에 대한 "왼쪽 잉여류 $g(g^{-1}Hg)$ "는 같은 것을 의미한다.

$H$ 와 $K$ 가 $G$ 의 부분군이고, $g$ 가 $G$ 의 원소일 때, $HgK = \{ hgk : h \in H, k \in K \}$ 를 $H$ 와 $K$ 에 의한 양쪽 잉여류(double coset^영어)라고 한다. $H$ 가 정규 부분군인 경우에만 왼쪽 잉여류와 오른쪽 잉여류 개념이 일치한다.

2. 1. 잉여류 공간

위상군

G

의 왼쪽 잉여류 집합

G/H

는 자연스러운 몫공간 위상을 갖는다. 이를 '''잉여류 공간'''(coset space^영어)이라고 하며, 동차공간을 이룬다.

3. 성질

군 $G$의 부분군 $H$에 대하여, 다음은 동치이다.

모든 $g\in G$에 대하여, $gH=Hg$이다.
$H$는 $G$의 정규 부분군이다.

라그랑주 정리에 따르면, $G$가 유한군이면, 부분군 $H\le G$의 지표는 다음과 같다.

:

|G:H|=|G|/|H|

일련의 부분군들 $K\le H\le G$이 주어졌다면, 다음이 성립한다.

:

|G:K|=|G:H||H:K|

여기서 우변은 기수의 곱셈이다.

지표가 2인 부분군은 항상 정규 부분군이다. 보다 일반적으로, 유한군 $G$ 및 소수 $p$에 대하여, $p$가 $|G|$의 최소 소인수라면, 지표가 $p$인 부분군은 항상 정규 부분군이다.^[2]

4. 예

정수의 덧셈군 $G = \mathbb Z$ 에서, $n$ 의 배수로 구성된 부분군 $H = n\mathbb Z$ 을 생각해 보자. 그렇다면, $k\in\mathbb Z$ 의 잉여류 $k+H = H+k = \{x\in\mathbb Z\colon x\equiv k\pmod n\} \subseteq G$ 는 $k$ 와 합동인 정수들의 집합이다. 이 경우 $H$ 는 정규 부분군이므로, 잉여류 공간 $G/H = \operatorname{Cyc}(n)$ 은 몫군을 이루며, 이는 크기 $n$ 의 순환군이다.

6차 이면군의 원소는 $\{I, a, a^2, b, ab, a^2b\}$ 로 표현 가능하다. 이 군에서, $a^3 = b^2 = I$ 이고 $ba = a^2b$ 이다.

부분군 $T = \{I, b\}$ 의 좌잉여류는 다음과 같다.

$IT = T = \{I, b\}$
$aT = \{a, ab\}$
$a^2T = \{a^2, a^2b\}$

T

의 우잉여류는 다음과 같다.

$TI = T = \{I, b\}$
$Ta = \{a, ba\} = \{a, a^2b\}$
$Ta^2 = \{a^2, ba^2\} = \{a^2, ab\}$

이 예제에서,

T

를 제외하고 좌잉여류는 우잉여류가 아니다.

부분군

H = \{I, a, a^2\}

에 대해,

H

의 좌잉여류는

IH = H

와

bH = \{b, ba, ba^2\}

이다.

H

의 우잉여류는

HI = H

와

Hb = \{b, ab, a^2b\} = \{b, ba^2, ba\}

이다. 이 경우,

H

의 모든 좌잉여류는

H

의 우잉여류이기도 하다.^[2]

가법 순환군 '''Z'''₄ = {0, 1, 2, 3} = ''G''는 부분군 ''H'' = {0, 2} ('''Z'''₂와 동형)을 갖는다. ''G''에서의 ''H''를 법으로 하는 좌잉여류는 다음과 같다.

:

0 + H = \{0, 2\} = H

:

1 + H = \{1, 3\}

:

2 + H = \{2, 0\} = H

:

3 + H = \{3, 1\}

따라서, 서로 다른 잉여류는 ''H'' 및 1 + ''H'' = 3 + ''H''의 두 가지이다. ''G''의 임의의 원소는 ''H'' 또는 1 + ''H'' 중 하나에만 속하며, ''H'' ∪ (1 + ''H'') = ''G''가 성립한다. 즉, ''G''에서의 ''H''를 법으로 하는 서로 다른 잉여류의 전체는 ''G''를 분해(분류)한다. '''Z'''₄는 가환이므로, 좌잉여류를 우잉여류로 바꿔도 같은 이야기이다.

벡터 공간론에서 유래한 잉여류의 예를 들 수 있다. 벡터 공간의 원소(벡터)의 전체는 벡터의 덧셈에 대해 아벨 군을 이룬다. 이때, 벡터 공간의 부분 선형 공간은 이 덧셈 군의 부분군이 된다. 벡터 공간 ''V''와 그 부분 공간 ''W'' 및 고정된 벡터 ''a'' ∈ ''V''에 대해, 아핀 부분 공간이라고 불리는 집합

:

\{x \in V \colon x = a + n, n \in W\}

는 벡터 공간의 덧셈 군에서의 잉여류를 제공한다(가환성에 의해, 우잉여류이면서 좌잉여류이다). 아핀 부분 공간은 반드시 선형 부분 공간이 아님에 주의해야 한다. 기하 벡터로 표현하면, 이러한 아핀 부분 공간은 (원점을 지나는 "직선"이나 "평면" 등인) 부분 선형 공간에 평행하다.

5. 역사

갈루아의 1830-31년 연구에서 잉여류의 개념이 시작되었다. 갈루아는 표기법을 도입했지만, 이 개념에 대한 이름을 붙이지는 않았다. "co-set"이라는 용어는 1910년 G. A. 밀러의 논문에서 처음 등장한 것으로 보인다. ''순수 및 응용 수학 분기 저널''(vol. 41, p. 382)에서였다. 베버의 독일어 ''Nebengruppen'' 및 번사이드의 ''공액군''을 포함하여 다양한 다른 용어들이 사용되었다.^[11]

갈루아는 주어진 다항식 방정식이 근에 의해 풀 수 있는지를 결정하는 데 관심이 있었다. 그가 개발한 도구는 순열군 의 부분군 가 의 두 가지 분해(현재 왼쪽 및 오른쪽 잉여류라고 부르는 것)를 유도한다는 점에 주목한 것이다. 이러한 분해가 일치하는 경우, 즉 왼쪽 잉여류가 오른쪽 잉여류와 동일한 경우, 문제의 해결 범위를 대신 로 좁히는 방법이 있었다. 카미유 조르당은 1865년과 1869년에 갈루아의 연구에 대한 해설에서 이러한 아이디어를 자세히 설명했으며, 정규 부분군을 정의했지만 이 용어를 사용하지는 않았다.^[6]

6. 응용

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참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 웹사이트 AATA Cosets https://web.archive.[...] 2020-12-09
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 문서
_[13] 서적
_[14] 서적
_[15] 서적
_[16] 간행물 Algebraic Groups and their Representation Springer
_[17] 논문 Infiniteness of double coset collections in algebraic groups Elsevier
_[18] 문서
_[19] 웹사이트 Left cosets partition a group http://groupprops.su[...] The Group Properties Wiki 2010-03-22
_[20] 서적 Combinatorial Theory https://books.google[...] Wiley

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