코시-오일러 방정식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 2차 코시-오일러 방정식
3. 해법
4. 차분 방정식 유사체
5. 예제
참조

1. 개요

코시-오일러 방정식은 미지 함수에 대한 상미분 방정식의 한 유형이다. n차 코시-오일러 방정식은 다음과 같은 형태를 가지며, 여기서 a0, …, an은 주어진 계수이다. 이 방정식을 풀기 위해 x = e^u를 대입하거나, 시험 해 y = x^m을 사용하여 방정식을 직접 풀 수 있다. 2차 코시-오일러 방정식은 물리학 및 공학 분야에서 나타나며, 가설 풀이를 통해 해를 구할 수 있다. 이 방정식은 변수 치환 또는 미분 연산자를 사용하여 풀 수도 있으며, 차분 방정식과 유사한 개념도 존재한다.

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코시-오일러 방정식
코시-오일러 방정식
유형	선형 미분 방정식
차수	n차
형태	aₙxⁿy⁽ⁿ⁾ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁xy' + a₀y = 0
풀이	y(x) = x^r을 대입하여 특성 방정식을 구하고, 그 해를 통해 일반해를 구함.
관련 항목	미분 방정식, 선형 미분 방정식, 특성 방정식

2. 정의

''n''차 '''코시-오일러 방정식'''은 미지 함수 $y(x)$ 에 대한 ''n''차 상미분 방정식으로, 다음과 같은 형태를 갖는다.

: $a_nx^n y^{(n)}(x) + a_{n-1}x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0$

여기서 $a_0,\dots,a_n$ 은 주어진 계수들이다.

이 방정식을 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식으로 만들기 위해 $x = e^u$ (즉, $u = \ln(x)$ ; $x < 0$ 인 경우, 모든 $x$ 를 $|x|$ 로 대체하여 해의 영역을 확장할 수 있다)를 대입하거나, 시험 해 $y = x^m$ 을 사용하여 방정식을 직접 풀 수도 있다.^[1]

2. 1. 2차 코시-오일러 방정식

2차 코시-오일러 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다.^[1]^[2]

:

x^{2}y''+axy'+by=0

이는 다음과 같이 풀 수 있다. 우선 다음과 같은 가설 풀이를 사용한다.

:

y=x^{m}

이를 첫 번째 식에 대입하면,

:

x^{2}m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^{m}=0

이 되고,

x\ne0

일 때 공통인자

x^{m}

을 제거하면,

:

m^{2}+(a-1)m+b=0

이 된다.

여기서

m

에 따라 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

근의 수	해
서로 다른 두 실근	$y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}$
중근	$y=\left( c_{1}+c_{2}\ln x \right)x^{m}$
공역 복소근	$y=x^{u}\left[A\cos\left(v\ln x\right)+B\sin\left(v\ln x\right)\right], m_{1}=u+iv, m_{2}=u-iv$

2차 코시-오일러 방정식은 라플라스 방정식을 극좌표계에서 풀 때와 같이 여러 물리학 및 공학 응용 분야에서 나타난다.

3. 해법

2차 코시-오일러 방정식은 가설 풀이 $y=x^{m}$ 을 통해 해를 구할 수 있다. 이를 원래 식에 대입하고 정리하면 다음과 같은 m에 대한 이차방정식이 된다.

: $m^{2}+(a-1)m+b=0$

이 이차 방정식의 근 $m$ 에 따라 미분방정식의 해가 결정된다.

근의 수	해
서로 다른 두 실근	$y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}$
중근	$y=\left( c_{1}+c_{2}\ln x \right)x^{m}$
켤레 복소근	$y=x^{u}\left[A\cos\left(v\ln x\right)+B\sin\left(v\ln x\right)\right], m_{1}=u+iv, m_{2}=u-iv$

3. 1. 가설 풀이

2차 코시-오일러 방정식은 다음과 같다.^[1]^[2]

:

x^{2}y''+axy'+by=0

이 방정식을 풀기 위해 다음과 같은 가설 풀이를 사용한다.

:

y=x^{m}

이 식을 원래 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:

x^{2}m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^{m}=0

x\ne0

일 때 공통인자

x^{m}

을 제거하면 m에 대한 이차 방정식

:

m^{2}+(a-1)m+b=0

을 얻는다. 이 이차 방정식의 근 m에 따라 미분방정식의 해가 결정된다.

3. 1. 1. 근의 종류에 따른 해

2차 코시-오일러 방정식에서, 지수 방정식의 근

m

에 따라 미분방정식의 해를 다음과 같이 세 가지 경우로 나눌 수 있다.^[1]^[2]

근의 수	해
서로 다른 두 실근 ( $m_1$ , $m_2$ )	$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$
중근 ( $m$ )	$y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$
복소근 ( $m = \alpha \pm \beta i$ )	$y = c_1 x^\alpha \cos(\beta \ln(x)) + c_2 x^\alpha \sin(\beta \ln(x))$

각 경우에 대한 해는 다음과 같다.

경우 1: 서로 다른 두 실근

만약

m_1

과

m_2

가 서로 다른 두 실근이면, 해는

y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}

이다.

경우 2: 하나의 실수 중근

만약

m

이 중근이면, 해는

y = c_1 x^m \ln(x) + c_2 x^m

이다. 이 해는 하나의 해

y = x^m

을 찾은 후 차수 축소 방법을 적용하여 구한다.

경우 3: 복소근

만약

m = \alpha \pm \beta i

가 복소근이면, 해는

y = c_1 x^\alpha \cos(\beta \ln(x)) + c_2 x^\alpha \sin(\beta \ln(x))

이다. 여기서

\alpha

는

m

의 실수부이고,

\beta

는

m

의 허수부이다. 이 형태의 해는

x = e^t

로 설정하고 오일러 공식을 사용하여 도출된다.

3. 2. 변수 치환

x = e^u

(또는

u = \ln(x)

)를 대입하여 코시-오일러 방정식을 상수 계수를 갖는 선형 미분방정식으로 변환할 수 있다.^[1]

x < 0

인 경우, 모든

x

를

|x|

로 대체하여 해의 영역을

\reals \setminus \{0\}

로 확장할 수 있다.^[1]

2차 코시-오일러 방정식은 다음과 같다.

:

x^{2}\frac{d^2y}{dx^2} +ax\frac{dy}{dx} + by = 0

다음과 같이 변수 치환을 적용한다.

:

t = \ln(x)

:

y(x) = \varphi(\ln(x)) = \varphi(t)

미분을 하면 다음과 같다.

:

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{d\varphi}{dt}

:

\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2\varphi}{dt^2}-\frac{d\varphi}{dt}\right)

\varphi(t)

를 대입하면 미분 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{d^2\varphi}{dt^2} + (a-1)\frac{d\varphi}{dt} + b\varphi = 0

이 방정식은 다음과 같은 특성 다항식을 통해 풀 수 있다.

:

\lambda^2 + (a-1)\lambda + b = 0

\lambda_1

과

\lambda_2

를 이 다항식의 두 근이라고 하고, 서로 다른 근이 있는 경우와 중근이 있는 경우를 분석한다.

만약 근이 서로 다르다면, 일반해는 다음과 같다.

:

\varphi(t)=c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}

(여기서 지수 함수는 복소수일 수 있다.)

만약 근이 같다면, 일반해는 다음과 같다.

:

\varphi(t)=c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 t e^{\lambda_1 t}

두 경우 모두,

y(x)

에 대한 해는

t = \ln(x)

로 설정하여 찾을 수 있다.

따라서, 첫 번째 경우,

y(x) = c_1 x^{\lambda_1} + c_2 x^{\lambda_2}

이고, 두 번째 경우,

y(x) = c_1 x^{\lambda_1} + c_2 \ln(x) x^{\lambda_1}

이다.

3. 3. 미분 연산자

미분 연산자

L

을 사용하면 2차 코시-오일러 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

Ly = (x^2 D^2 + axD + bI)y = 0,

여기서

D = \frac{d}{dx}

이고

I

는 항등 연산자이다.

곱 규칙에 의해

(xD)^2 = xD(xD) = x(D + xD^2) = x^2D^2 + xD

이므로, 위 연산자

L

은

xD

에 대한 다항식으로 나타낼 수 있다.^[1]

:

L = (xD)^2 + (a-1)(xD) + bI.

이차 공식을 사용하여 이 연산자를 선형 항으로 인수분해할 수 있다.

\lambda_1, \lambda_2

를 다음과 같이 정의한다.^[1]

:

-\frac{a-1}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{(a-1)^2 - 4b}.

그러면,

:

L = (xD - \lambda_1 I)(xD - \lambda_2 I).

와 같이 표현할 수 있다.

이러한 인수는 교환 가능하며,

\lambda_1 \neq \lambda_2

이면,

Ly = 0

의 해는 각

(xD - \lambda_1 I)y = 0

및

(xD - \lambda_2 I)y = 0

의 해의 선형 결합이며, 이는 변수 분리를 통해 해결할 수 있다.^[1]

만약

\lambda = \lambda_1 = \lambda_2

이면,

(xD - \lambda I)^2y = 0

의 해를 고려해야 한다.^[1]

4. 차분 방정식 유사체

코시-오일러 방정식은 차분 방정식에 대한 유사한 개념을 갖는다. 고정된 m > 0에 대해, 수열 f_m(n)을 다음과 같이 정의한다.

:f_m(n) := n (n+1) ⋯ (n+m-1).

차분 연산자를 f_m에 적용하면 다음을 얻을 수 있다.

:Df_m(n) = f_m(n+1) - f_m(n) = m(n+1)(n+2) ⋯ (n+m-1) = m/n f_m(n).

이것을 k번 수행하면 다음을 얻을 수 있다.

:f_m^(k)(n) = m(m-1)⋯(m-k+1)/n(n+1)⋯(n+k-1) f_m(n) = m(m-1)⋯(m-k+1) f_m(n)/f_k(n),

여기서 위첨자 ^(k)는 차분 연산자를 k번 적용함을 나타낸다. 이것을 x^m의 k번째 도함수가 다음과 같다는 사실과 비교해 보면

:m(m-1) ⋯ (m-k+1)x^m/x^k

다음과 같은 N차 차분 방정식을 풀 수 있음을 알 수 있다.

:f_N(n) y^(N)(n) + a_N-1 f_N-1(n) y^(N-1)(n) + ⋯ + a₀ y(n) = 0,

미분 방정식 경우와 유사한 방식으로 풀 수 있다. 실제로, 다음의 시험 해를 대입하면

:y(n) = f_m(n)

미분 방정식의 경우와 동일한 상황이 된다.

:m(m-1)⋯(m-N+1) + a_N-1 m(m-1) ⋯ (m-N+2) + ⋯ + a₁ m + a₀ = 0.

이제 미분 방정식의 경우와 같이 진행할 수 있는데, N차 선형 차분 방정식의 일반 해는 N개의 선형 독립 해의 선형 결합이기 때문이다. 중근 m₁의 경우 차수 축소 방법을 적용하면 ln의 이산 버전이 포함된 식이 생성된다.

:φ(n) = Σ_k=1ⁿ 1/(k - m₁).

(다음과 비교: ln (x - m₁) = ∫_1+m₁^x dt/(t - m₁) .)

분수가 포함되는 경우, f_m(n) := Γ(n+m)/Γ(n) 대신 사용할 수 있다(또는 모든 경우에 사용할 수 있다). 이는 정수 m에 대한 이전 정의와 일치한다.

5. 예제

다음 코시-오일러 방정식의 해를 구하는 예시를 살펴보자.

: $x^2 u'' - 3xu' + 3u = 0$

가설 풀이 Ansatz|앤사츠^영어 $u = x^m$ 을 대입하면 다음과 같다.

: $x^2\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)-3x\left(m x^{m-1}\right) + 3x^m = m\left(m-1\right)x^m - 3m x^m+3x^m = \left(m^2 - 4m + 3\right)x^m = 0$

$x^m$ 이 해가 되려면, $x = 0$ 이거나(이는 자명해를 의미한다), $x^m$ 의 계수가 0이어야 한다. 이차 방정식을 풀면 $m = 1, 3$ 을 얻는다. 따라서 일반해는 다음과 같다.

: $u=c_1 x+c_2 x^3$

참조

_[1] 서적 Advanced Engineering Mathematics Wiley 2006-05-10
_[2] 서적 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems

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