클라우스 로스

1. 개요

클라우스 로스는 1925년 독일 브레슬라우에서 태어나 영국으로 이주하여 성장한 수학자이다. 그는 케임브리지 대학교에서 학위를 받았으며, 해럴드 데이븐포트의 지도 아래 수학 연구를 진행했다. 로스는 1955년 '투에-지겔-로스 정리'(로스의 정리)를 증명하여 1958년 필즈상을 수상했고, 런던 대학교 유니버시티 칼리지 교수, 임페리얼 칼리지 런던 수학과 학과장을 역임했다. 주요 업적으로는 디오판토스 근사, 산술 조합론, 불일치 이론 등이 있으며, 1966년에는 하이니 할버슈탐과 함께 정수 수열에 관한 책 '수열'을 출판했다. 그는 1958년 필즈상, 1960년 왕립학회 회원, 1983년 드 모르간 메달, 1991년 실베스터 메달을 수상했다.

2. 생애

클라우스 로스는 1955년 투에-지겔-로스 정리(일명 "로스의 정리")를 증명하여 1958년 필즈상을 수상하였다. 1956년에는 세메레디의 정리의 흥미로운 예를 처음으로 제시하였다. 1961년 유니버시티 칼리지 런던 교수가 되었고, 1966년부터 1988년까지 임페리얼 칼리지 런던에서 수학과 학과장을 역임했다.

2.1. 유년 시절과 교육

클라우스 로스는 1925년 독일 브레슬라우(현재는 폴란드 브로츠와프)에서 태어났다. 얼마 지나지 않아 영국으로 이주하여 그곳에서 자라고 교육받았다. 1945년 20세에 케임브리지 대학교 피터 하우스에서 학위를 받았다. 그의 스승은 해럴드 데이븐포트였다.

로스는 1925년 10월 29일 프로이센 브레슬라우의 유대인 가정에서 태어났다. 1933년 부모는 나치의 박해를 피해 그와 함께 런던으로 이주했고, 그는 영국에서 자라고 교육받았다. 그의 아버지는 변호사였는데, 제1차 세계 대전 중 독가스에 노출되어 로스가 어릴 때 사망했다. 1939년부터 1943년까지 런던의 세인트 폴 스쿨에 다녔고, 런던 대공습 기간 동안 다른 학생들과 함께 런던에서 이스탐스테드 파크로 대피했다. 학교에서는 체스와 수학 실력으로 유명했다. 공군 훈련단에 입대하려 했지만, 처음 몇 년 동안은 독일인이라는 이유로, 그 후에는 조종사에게 필요한 협응력이 부족하다는 이유로 좌절되었다.

케임브리지 대학교 피터하우스에서 수학을 전공했고, 케임브리지 체스팀에서 1등판을 맡았으며, 1945년에 활동을 마쳤다. 수학적 재능에도 불구하고 시험에 약해 수학 트리포스(Mathematical Tripos)에서 3등급(British undergraduate degree classification)을 받았다. 케임브리지 지도교수인 존 찰스 버킬(John Charles Burkill)은 로스가 수학을 계속하는 것을 지지하지 않았고, 대신 "통계적 편향이 있는 어떤 상업적인 직업"을 갖도록 권했다.

케임브리지 졸업 후 대학원 과정을 시작하기 전에 고든스톤(Gordonstoun)에서 잠시 교사로 일했다.

1946년 해럴드 데이븐포트의 추천으로 런던 대학교 유니버시티 칼리지에서 테오도르 에스터만(Theodor Estermann)의 지도하에 수학 석사 과정에 입학했다. 1948년에 석사 학위를, 1950년에 박사 학위를 받았다. 박사 논문 제목은 "거의 모든 양의 정수는 제곱수, 양의 세제곱수 및 네제곱수의 합으로 표현될 수 있다는 증명"(Proof that almost all Positive Integers are Sums of a Square, a Positive Cube and a Fourth Power)이었다.

2.2. 학문적 경력

그는 1925년 당시 독일의 일부였던 브레슬라우(Breslau; 현재는 폴란드의 브로츠와프(Wrocław))에서 태어났으나, 얼마 지나지 않아 영국으로 이주하여 그곳에서 자라고 교육받았다. 1945년 20세에 케임브리지 대학교 피터 하우스에서 학위를 받았다. 그의 스승은 해럴드 데이븐포트(Harold Davenport)였다.

1955년 "투에-지겔-로스 정리"(Thue-Siegel-Roth theorem), 일명 "로스의 정리"(Roth's theorem)를 증명하였다. 당시 유니버시티 칼리지 런던의 강사(미국식 학제로는 조교수와 부교수의 중간쯤에 해당)였으며, 이 업적으로 1958년 필즈상을 수상하였다. 1956년에는 양의 밀도를 가지는 정수 집합에 길이가 3 이상인 등차수열이 무한히 많이 포함되어 있다는 것을 증명하여, 세메레디의 정리의 흥미로운 예를 처음으로 제시하였다. 1961년 유니버시티 칼리지 런던 교수가 되었고, 1966년부터 1988년까지 임페리얼 칼리지 런던에서 수학과 학과장을 역임했다.

로스는 케임브리지 대학교 피터하우스에서 수학을 전공했고, 1945년에 활동을 마쳤다. 수학적 재능에도 불구하고 시험에 약해 수학 트리포스(Mathematical Tripos)에서 3등급(British undergraduate degree classification)을 받았다. 지도교수 존 찰스 버킬(John Charles Burkill)은 로스가 수학을 계속하는 것을 지지하지 않았다.

케임브리지 졸업 후 고든스톤(Gordonstoun)에서 잠시 교사로 일했다.

1946년 해럴드 데이븐포트의 추천으로 런던 대학교 유니버시티 칼리지에서 테오도르 에스터만(Theodor Estermann) 지도하에 수학 석사 과정에 입학, 1948년 석사 학위, 1950년 박사 학위를 받았다. 박사 논문 제목은 "거의 모든 양의 정수는 제곱수, 양의 세제곱수 및 네제곱수의 합으로 표현될 수 있다는 증명"(Proof that almost all Positive Integers are Sums of a Square, a Positive Cube and a Fourth Power)였다.

1948년 석사 학위 취득 후 런던대학교 유니버시티 칼리지 조교수가 되었고, 1950년 강사로 승진했다. 다이오판투스 근사, 등차수열이 없는 수열, 불일치에 관한 주요 업적은 모두 1950년대 중반에 발표되었다. 1958년 필즈상을 수상했고, 1961년 정교수로 승진했다.

1950년대 중반과 1960년대 중반 매사추세츠 공과대학교(Massachusetts Institute of Technology)에서 안식년을 보냈고, 미국 이주를 진지하게 고려했다. 1966년 런던 임페리얼 칼리지 순수 수학 교수직을 수락, 1988년 공식 은퇴 때까지 재직했다. 1996년까지 임페리얼 칼리지 방문 교수로 남았다.

로스의 강의는 명확했지만 때때로 불규칙했다. 수학 계보 프로젝트(Mathematics Genealogy Project)에 따르면 박사과정 학생은 두 명뿐이며, 그중 윌리엄 천(William Chen)은 로스의 불일치 이론 연구를 계승, 오스트레일리아 수학회(Australian Mathematical Society) 펠로우 및 매쿼리 대학교(Macquarie University) 수학과장이 되었다.

2.3. 개인적인 삶

1955년, 로스는 그의 첫 강의에서 학생이었던 멜렉 카이리(Melek Khaïry)와 결혼했다. 카이리는 이집트 상원의원 카이리 파샤(Khaïry Pacha)의 딸이었다. 그녀는 런던대학교 유니버시티 칼리지의 심리학과에서 일하며 쥐에 대한 독소의 영향에 관한 연구를 발표했다.

로스가 은퇴한 후, 그들은 인버네스로 이사했다. 로스는 그들의 집에 라틴 댄스를 위한 방을 마련했는데, 이는 그들이 함께 즐기던 취미였다.

카이리는 2002년에 사망했고, 로스는 2015년 11월 10일 인버네스에서 90세의 나이로 사망했다.

그들에게는 자녀가 없었고, 로스는 1가 넘는 그의 재산 대부분을 두 개의 건강 관련 자선 단체에 기부하여 "인버네스 시에 거주하는 노인과 허약한 사람들을 돕는 데" 사용하도록 했다. 그는 필즈 메달과 소액의 유산을 피터하우스(Peterhouse)에 기증했다.

3. 주요 업적

클라우스 로스는 정수론, 불일치 이론, 정수열 이론 등 수론의 여러 분야에 걸쳐 중요한 업적을 남겼다. 1955년 투에-지겔-로스 정리(로스의 정리)를 증명하여 1958년 필즈상을 수상했고, 1956년에는 양의 밀도를 가지는 정수 집합에 길이가 3 이상인 등차수열이 무한히 많이 포함되어 있다는 것을 증명하여 세메레디의 정리의 중요한 예를 제시했다.

로스는 수학 이론가라기보다는 문제 해결사로 더 잘 알려져 있었다. 그의 스승 해럴드 데이븐포트는 로스의 연구가 "아무리 어렵고 험난해 보이는 수학 난제라도, 직접적인 공격에 굴복할 수 있다"는 교훈을 준다고 평가했다.

3.1. 디오판토스 근사

디오판토스 근사는 무리수를 유리수로 얼마나 정확하게 근사할 수 있는지 연구하는 분야이다. 대수적 수를 얼마나 정확하게 근사할 수 있는지에 대한 문제는 악셀 투에와 카를 루트비히 지겔에 의해 연구되었으며, 투에-지겔 문제로 알려져 있다. 근사의 정확도는 수 $x$의 근사 지수로 측정하는데, 를 만족하는 무한히 많은 유리수 근사 $p/q$를 갖는 수 $x$에 대해 가장 큰 수 $e$로 정의된다. 근사 지수가 크면 $x$가 더 정확한 근사값을 갖는다. 가장 작은 근사 지수는 2이며, 단순 연분수를 사용하면 지수 2로 근사할 수 있다. 로스의 연구 이전에는 대수적 수가 수를 정의하는 다항식의 차수와 관련된 더 큰 근사 지수를 가질 수 있다고 여겨졌다.

1955년에 로스는 로스의 정리를 발표하여 이 문제를 해결했다. 그의 정리는 근사 지수와 차수 사이의 관계를 반증했고, 근사 지수 측면에서 대수적 수는 어떤 무리수보다도 가장 정확하게 근사하기 어렵다는 것을 증명했다. 즉, 무리수 대수적 수의 근사 지수는 항상 정확히 2임을 증명했다. 1958년 필즈상을 수상한 로스의 업적을 해럴드 데이븐포트가 국제 수학자 회의에 발표하면서 이 결과를 로스의 "가장 큰 업적"이라고 칭했다.

3.2. 산술 조합론

"로스 정리"라고 불리는 또 다른 결과는 1953년의 산술 조합론에 있으며, 산술 급수가 없는 정수열과 관련이 있다. 1936년 폴 에르되시와 팔 투란은 이러한 수열이 드물어야 한다고 추측했다.

1942년 라파엘 살렘과 도널드 C. 스펜서는 모든 $\backslash varepsilon>0$에 대해 $n^\{1-\backslash varepsilon\}$에 비례하는 크기의 $1$부터 $n$까지의 수에 대한 급수가 없는 부분 집합을 구성했다.

로스는 그러한 집합의 크기가 $n$에 비례하는 것은 불가능하다는 것을 증명함으로써 에르되시와 투란의 주장을 입증했다. 즉, 정수의 모든 밀집된 집합에는 세 항의 산술 급수가 포함되어 있다. 그의 증명은 주어진 수열의 급수 수를 추정하고, 수열이 충분히 밀집되어 있을 때 이 수가 0이 아님을 보여주기 위해 해석적 정수론의 기법, 특히 하디-리틀우드 원 방법을 사용한다.

다른 저자들은 나중에 급수가 없는 집합의 크기에 대한 로스의 경계를 강화했다. 다른 방향으로의 강화인 세메레디 정리는 정수의 밀집된 집합이 임의로 긴 산술 급수를 포함한다는 것을 보여준다.

3.3. 불일치 이론

로스는 분포의 불규칙성에 대한 연구를 가장 자랑스러워했다. 이 주제에 관한 그의 1954년 논문은 현대 불규칙성 이론(discrepancy theory)의 기초를 마련했다. 이는 단위 정사각형에 $n$개의 점을 배치하여, 원점과 정사각형의 한 점 사이에 경계가 있는 모든 직사각형에 대해 직사각형의 면적이 그 안의 점의 수에 의해 잘 근사되도록 하는 것에 관한 것이다.

로스는 점의 수와 $n$ 곱하기 면적의 제곱 차이로 이 근사값을 측정했으며, 무작위로 선택된 직사각형의 경우 제곱 차이의 기댓값(expected value)이 $n$에 대한 로그 함수임을 증명했다. 이 결과는 최상의 결과이며, 타티아나 파블로브나 에렌페스트(Tatyana Pavlovna Ehrenfest)의 이전 문제에 대한 경계를 크게 개선한 것이다. 요하네스 반 데어 코르푸트(Johannes van der Corput)의 이전 연구에도 불구하고, 로스는 이 결과가 "주제를 시작했다"고 자랑하기로 알려져 있다.

3.4. 기타 연구

로스는 제곱수, 세제곱수, 네제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 양의 정수가 거의 모든 정수임을 보여주는 1949년 논문과, 무제곱수 간의 간격에 관한 1951년 논문을 발표했다. 이 논문들은 각각 Chen과 Vaughan에 의해 "매우 놀랍다" 및 "상당한 중요성을 가진다"라고 평가받았다. 임페리얼 칼리지 취임 강연에서는 대수체의 크기를 경계 짓는 대수체에 관한 내용을 다루었는데, 이는 여러 소수를 법으로 하는 수들의 합동류가 제외된 정수 집합의 크기를 제한하는 방법이다. 로스는 이전에 1965년에 이 문제에 관한 논문을 발표한 바 있다.

로스는 작은 면적의 삼각형을 피하도록 정사각형에 점을 배치하는 문제인 하일브론 삼각형 문제에도 관심을 가졌다. 이 문제에 관한 그의 1951년 논문은 달성할 수 있는 면적에 대한 비자명 상한을 최초로 증명했다. 그는 이 문제에 대해 총 네 편의 논문을 발표했으며, 마지막 논문은 1976년에 발표되었다.

로스는 정사각형 내 정사각형 채우기 문제에서도 উল্লেখযোগ্য 성과를 냈다. 단위 정사각형을 $s\backslash times\; s$ 정사각형에 축에 평행하게 채우면, $s$ 값이 정수 바로 아래일 때 거의 $2s$의 면적이 덮이지 않은 상태로 남을 수 있다. 폴 에르되시와 로널드 그레이엄이 기울어진 채우기를 통해 $O(s^\{7/11\})$ 만큼 작은 면적을 남길 수 있음을 증명한 후, 로스와 밥 본은 1978년 논문에서 덮이지 않은 면적이 적어도 $\backslash sqrt\{s\}$에 비례해야 한다는 첫 번째 비자명 하한을 증명했다.

1966년, 하이니 할버슈탐과 로스는 정수 수열에 관한 책인 수열을 출판했다. 이 책은 원래 2권으로 계획되었던 책의 첫 번째 권으로, 수열의 합의 밀도, 정수를 수열 원소의 합으로 나타내는 방법의 수에 대한 경계, 모든 정수를 나타내는 수열의 합의 밀도, 체의 이론, 확률적 방법, 어떤 원소도 다른 원소의 배수가 아닌 수열 등을 다루었다. 1983년에 두 번째 판이 출판되었다.

4. 수상

클라우스 로스는 다이오판투스 근사에 대한 연구로 1958년 필즈상을 수상했다. 그는 최초의 영국 출신 필즈상 수상자였다. 1960년 영국 왕립 학회 회원으로 선출되었고, 이후 에든버러 왕립 학회 명예 회원, 런던 대학교 유니버시티 칼리지 펠로우, 런던 임페리얼 칼리지 펠로우, 피터하우스 명예 회원이 되었다.

런던 수학 학회는 1983년 로스에게 드 모르간 메달을 수여했다.

1991년, 영국 왕립 학회는 그에게 "수론에 대한 많은 공헌, 특히 유리수로 대수적 수를 근사하는 것에 관한 유명한 문제에 대한 해결"에 대한 실베스터 메달을 수여했다.

5. 학력