타빗 수

1. 개요

타빗 수는 3·2ⁿ−1 (n은 음이 아닌 정수) 형태로 표현되는 수이다. 소수인 타빗 수는 타빗 소수 또는 321 소수라고 불리며, 2023년 10월 기준 68개가 알려져 있다. 분산 컴퓨팅 프로젝트와 PrimeGrid를 통해 타빗 소수를 찾고 있으며, 3·2ⁿ+1 형태의 제2형 타빗 소수도 존재한다. 타빗 수는 우애수와 연관되며, 일반화된 개념으로 타빗 수 밑 b, 윌리엄스 수 등이 있다. 또한, 제2종 타빗 소수의 지수는 1 mod 3에 합동될 수 없으며 제1종 윌리엄스 소수의 지수는 4 mod 6에 합동될 수 없고, 제2종 윌리엄스 소수의 지수는 1 mod 6에 합동될 수 없다는 추측이 있다. 피어폰트 소수는 제2종 타빗 수의 일반화이다.

2. 성질

타빗 수는 3·2ⁿ−1 (n은 음이 아닌 정수) 형태로 표현되는 수이다. 타빗 수의 이진법 표기는 n+2 자릿수이며, "10" 다음에 n개의 1이 온다.

소수인 타빗 수를 타빗 소수 또는 321 소수라고 부른다. 알려진 타빗 소수는 68개이다.(2023년 10월 기준)

234760 ≤ n ≤ 3136255에 대한 소수는 분산 컴퓨팅 프로젝트인 321 검색에서 발견되었다. 2008년에는 PrimeGrid가 타빗 소수 검색을 인수하여 현재도 검색을 진행하고 있으며, 이미 n ≥ 4235414인 모든 알려진 타빗 소수를 찾았다.

PrimeGrid는 3·2ⁿ+1 형태의 소수도 검색하고 있으며, 이러한 소수를 제2형 타빗 소수 또는 제2형 321 소수라고 부른다.

3. 타빗 소수

소수인 타빗 수를 타빗 소수 또는 321 소수라고 부른다. 알려진 타빗 소수는 OEIS의 A007505 수열에서 확인할 수 있으며, 2023년 10월 기준 68개가 알려져 있다. 분산 컴퓨팅 프로젝트인 321 검색과 PrimeGrid 등을 통해 타빗 소수를 찾고 있다. PrimeGrid는 현재도 검색을 진행하고 있으며, 이미 n ≥ 4235414인 모든 현재 알려진 타빗 소수를 찾았다.

3.1. 제2형 타빗 소수

3·2ⁿ+1 형태의 소수를 '제2형 타빗 소수' 또는 '제2형 321 소수'라고 부른다. 제2형 타빗 소수는 다음과 같다.

:7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ...

이들의 n 값은 다음과 같다.

:1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, 16408818, ...

4. 우애수와의 관계

n과 n−1이 모두 타빗 소수(첫 번째 종류)를 생성하고, $9\; \backslash cdot\; 2^\{2n\; -\; 1\}\; -\; 1$ 또한 소수일 때, $2^n(3\; \backslash cdot\; 2^\{n\; -\; 1\}\; -\; 1)(3\; \backslash cdot\; 2^n\; -\; 1)$ 와 $2^n(9\; \backslash cdot\; 2^\{2n\; -\; 1\}\; -\; 1)$는 우애수 쌍을 이룬다.

예를 들어 n = 2이면 타빗 소수 11이 되고, n-1 = 1이면 타빗 소수 5가 되며, 세 번째 항은 71이 된다. 그러면 2²=4가 5와 11에 곱해져 220이 되는데, 그 약수들의 합은 284이고, 4 곱하기 71은 284이며, 그 약수들의 합은 220이다.

이 조건을 만족하는 알려진 유일한 n은 2, 4, 7이며, 이는 n에 의해 주어진 타빗 소수 11, 47, 383, n−1에 의해 주어진 타빗 소수 5, 23, 191, 그리고 세 번째 항 71, 1151, 73727에 해당한다. (해당 우애수 쌍은 (220, 284), (17296, 18416), (9363584, 9437056)이다)

5. 일반화

정수 b ≥ 2에 대해, 타빗 수 밑 b는 음이 아닌 정수 n에 대해 (b+1)·bⁿ − 1 형태의 숫자이다. b = 2 인경우는 타빗 수 문서에서 설명한다. 정수 b ≥ 2에 대해, 제2종 타빗 수 밑 b는 음이 아닌 정수 n에 대해 (b+1)·bⁿ + 1 형태의 숫자이다.

윌리엄스 수는 타빗 수의 일반화이기도 하다. 정수 b ≥ 2에 대해, 윌리엄스 수 밑 b는 음이 아닌 정수 n에 대해 (b−1)·bⁿ − 1 형태의 숫자이다. 또한, 정수 b ≥ 2에 대해, 제2종 윌리엄스 수 밑 b는 음이 아닌 정수 n에 대해 (b−1)·bⁿ + 1 형태의 숫자이다.

정수 b ≥ 2에 대해, 타빗 소수 밑 b는 소수인 타빗 수 밑 b이다. 마찬가지로, 정수 b ≥ 2에 대해, 윌리엄스 소수 밑 b는 소수인 윌리엄스 수 밑 b이다.

모든 소수 p는 제1종 타빗 소수 밑 p이며, 제1종 윌리엄스 소수 밑 p+2이고, 제2종 윌리엄스 소수 밑 p이다. 만약 p ≥ 5이면, p는 또한 제2종 타빗 소수 밑 p−2이다.

모든 정수 b ≥ 2에 대해, 제1종 타빗 소수 밑 b가 무한히 많고, 제1종 윌리엄스 소수 밑 b가 무한히 많으며, 제2종 윌리엄스 소수 밑 b가 무한히 많다는 추측이 있다. 또한, 3으로 합동되지 않는 모든 정수 b ≥ 2에 대해, 제2종 타빗 소수 밑 b가 무한히 많다. (만약 밑 b가 3으로 합동되면, 제2종 타빗 수 밑 b는 모두 3으로 나누어 떨어지며 (그리고 3보다 크다, 왜냐하면 b ≥ 2이므로), 따라서 제2종 타빗 소수 밑 b는 없다.)

제2종 타빗 소수의 지수는 1 mod 3에 합동될 수 없으며 (1 자체 제외), 제1종 윌리엄스 소수의 지수는 4 mod 6에 합동될 수 없으며, 제2종 윌리엄스 소수의 지수는 1 mod 6에 합동될 수 없다 (1 자체 제외). 왜냐하면 b에 해당하는 다항식은 환원 다항식이기 때문이다. (만약 n ≡ 1 mod 3이면, (b+1)·bⁿ + 1은 b² + b + 1로 나누어 떨어지고, 만약 n ≡ 4 mod 6이면, (b−1)·bⁿ − 1은 b² − b + 1로 나누어 떨어지며, 만약 n ≡ 1 mod 6이면, (b−1)·bⁿ + 1은 b² − b + 1로 나누어 떨어진다.) 그렇지 않으면, b에 해당하는 다항식은 기약 다항식이므로, 만약 분야코프스키 추측이 참이라면, 해당 숫자 (조건을 만족하는 고정된 지수 n에 대해)가 소수인 밑 b가 무한히 많다. ((b+1)·bⁿ − 1은 모든 음이 아닌 정수 n에 대해 기약적이므로, 만약 분야코프스키 추측이 참이라면, 해당 숫자 (고정된 지수 n에 대해)가 소수인 밑 b가 무한히 많다.)

피어폰트 소수 $3^m\; \backslash cdot\; 2^n\; +\; 1$은 제2종 타빗 수 $3\; \backslash cdot\; 2^n\; +\; 1$의 일반화이다.

5.1. 밑 ''b'' 타빗 수

정수 b ≥ 2에 대해, 밑 b 타빗 수는 음이 아닌 정수 n에 대해 (b+1)·bⁿ − 1 형태의 숫자이다. b = 2 인경우는 타빗 수 문서에서 설명한다. 정수 b ≥ 2에 대해, 제2종 타빗 수 밑 b는 음이 아닌 정수 n에 대해 (b+1)·bⁿ + 1 형태의 숫자이다.

모든 소수 p는 제1종 타빗 소수 밑 p이다. 만약 p ≥ 5이면, p는 또한 제2종 타빗 소수 밑 p−2이다.

모든 정수 b ≥ 2에 대해, 제1종 타빗 소수 밑 b가 무한히 많다는 추측이 있다. 또한, 3으로 합동되지 않는 모든 정수 b ≥ 2에 대해, 제2종 타빗 소수 밑 b가 무한히 많다. (만약 밑 b가 3으로 합동되면, 제2종 타빗 수 밑 b는 모두 3으로 나누어 떨어지며 (그리고 3보다 크다, 왜냐하면 b ≥ 2이므로), 따라서 제2종 타빗 소수 밑 b는 없다.)

제2종 타빗 소수의 지수는 1 mod 3에 합동될 수 없으며 (1 자체 제외), 왜냐하면 b에 해당하는 다항식은 환원 다항식이기 때문이다. (만약 n ≡ 1 mod 3이면, (b+1)·bⁿ + 1은 b² + b + 1로 나누어 떨어진다.) 그렇지 않으면, b에 해당하는 다항식은 기약 다항식이므로, 만약 분야코프스키 추측이 참이라면, 해당 숫자 (조건을 만족하는 고정된 지수 n에 대해)가 소수인 밑 b가 무한히 많다. ((b+1)·bⁿ − 1은 모든 음이 아닌 정수 n에 대해 기약적이므로, 만약 분야코프스키 추측이 참이라면, 해당 숫자 (고정된 지수 n에 대해)가 소수인 밑 b가 무한히 많다.)

5.2. 제2종 밑 ''b'' 타빗 수

정수 b ≥ 2에 대해, 제2종 타빗 수 밑 b는 음이 아닌 정수 n에 대해 (b+1)·bⁿ + 1 형태의 숫자이다. 모든 소수 p는 제2종 윌리엄스 소수 밑 p이며, 만약 p ≥ 5이면, p는 또한 제2종 타빗 소수 밑 p−2이다. 3으로 합동되지 않는 모든 정수 b ≥ 2에 대해, 제2종 타빗 소수 밑 b가 무한히 많다는 추측이 있다. (만약 밑 b가 3으로 합동되면, 제2종 타빗 수 밑 b는 모두 3으로 나누어 떨어지며 (그리고 3보다 크다, 왜냐하면 b ≥ 2이므로), 따라서 제2종 타빗 소수 밑 b는 없다.)

제2종 타빗 소수의 지수는 1 mod 3에 합동될 수 없으며 (1 자체 제외), b에 해당하는 다항식은 환원 다항식이기 때문이다. (만약 n ≡ 1 mod 3이면, (b+1)·bⁿ + 1은 b² + b + 1로 나누어 떨어진다.) 그렇지 않으면, b에 해당하는 다항식은 기약 다항식이므로, 만약 분야코프스키 추측이 참이라면, 해당 숫자 (조건을 만족하는 고정된 지수 n에 대해)가 소수인 밑 b가 무한히 많다.

피어폰트 소수는 제2종 타빗 수의 일반화이다.

5.3. 윌리엄스 수 (타빗 수의 일반화)

윌리엄스 수는 타빗 수의 일반화이다. 정수 b ≥ 2에 대해, 윌리엄스 수 밑 b는 음이 아닌 정수 n에 대해 (b−1)·bⁿ − 1 형태의 숫자이다. 또한, 정수 b ≥ 2에 대해, 제2종 윌리엄스 수 밑 b는 음이 아닌 정수 n에 대해 (b−1)·bⁿ + 1 형태의 숫자이다.

정수 b ≥ 2에 대해, 윌리엄스 소수 밑 b는 소수인 윌리엄스 수 밑 b이다. 모든 소수 p는 제1종 윌리엄스 소수 밑 p+2이고, 제2종 윌리엄스 소수 밑 p이다. 모든 정수 b ≥ 2에 대해, 제1종 윌리엄스 소수 밑 b가 무한히 많고, 제2종 윌리엄스 소수 밑 b가 무한히 많다는 추측이 있다. 제1종 윌리엄스 소수의 지수는 4 mod 6에 합동될 수 없으며, 제2종 윌리엄스 소수의 지수는 1 mod 6에 합동될 수 없다 (1 자체 제외).

5.4. 제2종 윌리엄스 수

정수 b ≥ 2에 대해, 제2종 윌리엄스 수 밑 b는 음이 아닌 정수 n에 대해 (b−1)·bⁿ + 1 형태의 숫자이다. 모든 소수 p는 제1종 타빗 소수 밑 p이며, 제1종 윌리엄스 소수 밑 p+2이고, 제2종 윌리엄스 소수 밑 p이다. 모든 정수 b ≥ 2에 대해, 제1종 타빗 소수 밑 b가 무한히 많고, 제1종 윌리엄스 소수 밑 b가 무한히 많으며, 제2종 윌리엄스 소수 밑 b가 무한히 많다는 추측이 있다. 제2종 윌리엄스 소수의 지수는 1 mod 6에 합동될 수 없다 (1 자체 제외). 왜냐하면 b에 해당하는 다항식은 환원 다항식이기 때문이다. (만약 n ≡ 1 mod 6이면, (b−1)·bⁿ + 1은 b² − b + 1로 나누어 떨어진다.) 그렇지 않으면, b에 해당하는 다항식은 기약 다항식이므로, 만약 분야코프스키 추측이 참이라면, 해당 숫자 (조건을 만족하는 고정된 지수 n에 대해)가 소수인 밑 b가 무한히 많다.

5.5. 관련 추측

모든 정수 b ≥ 2에 대해, 제1종 타빗 소수 밑 b, 제1종 윌리엄스 소수 밑 b, 제2종 윌리엄스 소수 밑 b는 무한히 많다는 추측이 있다. 또한, 3으로 합동되지 않는 모든 정수 b ≥ 2에 대해, 제2종 타빗 소수 밑 b가 무한히 많다. (만약 밑 b가 3으로 합동되면, 제2종 타빗 수 밑 b는 모두 3으로 나누어 떨어지며 (그리고 3보다 크다, 왜냐하면 b ≥ 2이므로), 따라서 제2종 타빗 소수 밑 b는 없다.)

제2종 타빗 소수의 지수는 1 mod 3에 합동될 수 없으며 (1 자체 제외), 제1종 윌리엄스 소수의 지수는 4 mod 6에 합동될 수 없으며, 제2종 윌리엄스 소수의 지수는 1 mod 6에 합동될 수 없다 (1 자체 제외). 왜냐하면 b에 해당하는 다항식은 환원 다항식이기 때문이다. (만약 n ≡ 1 mod 3이면, (b+1)·bⁿ + 1은 b² + b + 1로 나누어 떨어지고, 만약 n ≡ 4 mod 6이면, (b−1)·bⁿ − 1은 b² − b + 1로 나누어 떨어지며, 만약 n ≡ 1 mod 6이면, (b−1)·bⁿ + 1은 b² − b + 1로 나누어진다.) 그렇지 않으면, b에 해당하는 다항식은 기약 다항식이므로, 만약 분야코프스키 추측이 참이라면, 해당 숫자 (조건을 만족하는 고정된 지수 n에 대해)가 소수인 밑 b가 무한히 많다. ((b+1)·bⁿ − 1은 모든 음이 아닌 정수 n에 대해 기약적이므로, 만약 분야코프스키 추측이 참이라면, 해당 숫자 (고정된 지수 n에 대해)가 소수인 밑 b가 무한히 많다.)

5.6. 피어폰트 소수와의 관계

피어폰트 소수는 3^m·2ⁿ + 1 형태이며, 이는 제2종 타빗 수 3·2ⁿ + 1의 일반화이다. 모든 소수 p는 제1종 타빗 소수 밑 p이며, 제1종 윌리엄스 소수 밑 p+2이고, 제2종 윌리엄스 소수 밑 p이다. 만약 p ≥ 5이면, p는 또한 제2종 타빗 소수 밑 p−2이다.