합동 관계

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1. 개요

합동 관계는 대수 구조에서 정의되는 동치 관계의 일종으로, 연산에 대해 잘 정의된다는 특징을 가진다. 준동형 사상의 핵은 항상 합동 관계이며, 모든 합동 관계는 핵으로 나타낼 수 있다. 합동 관계는 군, 환, 벡터 공간 등 다양한 대수 구조에서 정의되며, 준동형 사상과 밀접한 관련을 맺는다. 모듈러 연산, 정규 부분군, 아이디얼 등이 합동 관계의 예시이며, 범주론에서도 정의된다.

합동 관계

일반 정보

정의 (수학)	어떤 집합의 원소들 사이의 동치 관계
정의 (기하학)	도형 사이의 동치 관계
관련 분야	추상대수학, 정수론, 기하학

동치 관계

조건	반사성: 모든 a에 대해 a ≡ a. 대칭성: a ≡ b이면 b ≡ a. 추이성: a ≡ b이고 b ≡ c이면 a ≡ c.
예시	합동식 (mod n) 군론에서의 켤레관계 선형대수학에서의 상사변환

합동 관계 (기하학)

조건	두 도형이 크기와 모양이 같음 (회전, 평행 이동, 대칭 변환으로 겹쳐질 수 있음)
예시	삼각형 합동 조건 (SSS, SAS, ASA) 두 원의 반지름이 같음

합동 관계 (정수론)

정의	정수 a, b가 주어졌을 때, a-b가 n으로 나누어 떨어지면 a와 b는 n을 법으로 합동이다.
표기	a ≡ b (mod n)
성질	덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해 닫혀 있음 나눗셈은 일반적으로 성립하지 않음 (단, 법과 서로소인 수로 나눌 수 있음)

응용

암호학	RSA 암호 알고리즘
오류 검출	체크섬 계산

참고

관련 개념	동치류, 몫군, 정규 부분군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 허용 관계
3. 성질
4. 예시
5. 범주론적 관점

2. 정의

대수 구조 $(S,F)$ 는 집합 $S$ 와, $S$ 위의 연산(
: $S\times S\times\cdots\times S\to S$
꼴의 함수)들의 집합 $F$ 의 순서쌍이다. 대수 구조 $(S,F)$ 위의 합동 관계(congruence relation^영어) $\sim$ 는 다음 조건을 만족시키는, $S$ 위의 동치 관계이다.

* 모든 $f\in F$ , $f\colon S^{\times n}\to S$ 및 $\vec a,\vec b\in S^{\times n}$ 에 대하여, 만약 모든 $i=1,\dots,n$ 에 대하여 $a_i\sim b_i$ 라면 $f(\vec a)\sim f(\vec b)$ 이다.

보편 대수학의 관점에서, 합동 관계는 대수 구조에 대한 동치 관계이면서 동시에 직곱의 부분 대수를 이루는 것으로 정의될 수 있다.

2.1. 허용 관계

합동 관계의 동치 관계 조건을 반사 대칭 관계로 약화하면, 허용 관계의 개념을 얻는다.

3. 성질

대수 구조 $(S,F)$ 위의 합동 관계들의 집합 $\operatorname{Cong}(S)$ 은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이루며, 이는 완비 격자이자 대수적 격자이다.

준동형 사상 $f:A\rightarrow B$ 의 핵은 항상 합동 관계이다. 제1 동형 정리에 따르면, $f$ 에 따른 A의 상은 이 합동 관계에 의해 A를 몫으로 나눈 것과 동형인 B의 부분 구조이다.

역으로, 모든 합동 관계는 어떤 준동형 사상의 핵으로 나타낼 수 있다. 즉, 합동 관계 $R$ 은 $f(x) = \{y \mid x \, R \, y\}$ 인 고유한 준동형 사상 $f: A \rightarrow A/R$ 을 유도한다. 따라서, 임의의 대수 구조의 합동 관계와 준동형 사상 사이에는 자연스러운 대응 관계가 있다.

4. 예시

정수 집합에서 주어진 양의 정수 $n$ 에 대한 모듈로 $n$ 합동은 합동 관계의 대표적인 예시이다. 두 정수 $a$ 와 $b$ 에 대해,

: $a \equiv b \pmod{n}$

는 $a - b$ 가 $n$ 으로 나누어 떨어짐을 (또는 $a$ 와 $b$ 가 $n$ 으로 나눌 때 같은 나머지를 가짐을) 의미한다.

예를 들어, $37$ 과 $57$ 은 모듈로 $10$ 에 합동인데,

: $37 \equiv 57 \pmod{10}$

이는 $37 - 57 = -20$ 이 10의 배수이기 때문이다. 다른 관점에서 보면, $37$ 과 $57$ 모두 $10$ 으로 나누었을 때 $7$ 이라는 같은 나머지를 가진다.

(고정된 $n$ 에 대해) 모듈로 $n$ 합동은 정수의 덧셈과 곱셈 모두와 호환된다. 즉,

: $a_1 \equiv a_2 \pmod{n}$ 이고 $b_1 \equiv b_2 \pmod{n}$ 이면,

: $a_1 + b_1 \equiv a_2 + b_2 \pmod{n}$ 이고 $a_1 b_1 \equiv a_2b_2 \pmod{n}$ 이다.

이러한 합동류의 덧셈과 곱셈은 합동 산술로 알려져 있다. 추상대수학의 관점에서, $n$ 을 법으로 한 합동은 정수 환에서의 합동 관계이며, $n$ 을 법으로 한 산술은 해당 몫환에서 이루어진다.

군에서 합동 관계는 정규 부분군과 일대일 대응된다. 유사환에서 합동 관계는 아이디얼과 일대일 대응된다. 모노이드의 경우, 합동 관계가 항상 부분 모노이드로 정의되지는 않는다.

5. 범주론적 관점

범주론에서, 범주 C에 대한 합동 관계 R은 범주 C의 각 대상 쌍 X, Y에 대해 Hom(X,Y)에 대한 동치 관계 R_X,Y가 존재하며, 이 동치 관계는 사상의 합성을 존중하는 것으로 정의된다.