파울리-루반스키 벡터

1. 개요

파울리-루반스키 벡터는 상대론적 각운동량 텐서와 4-운동량 연산자를 사용하여 정의되는 4차원 벡터이다. 이 벡터는 푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현의 레이블, 즉 스핀을 나타내는 데 사용되며, 운동량과는 가환하지만 각운동량과는 그렇지 않다. 파울리-루반스키 벡터의 제곱은 카시미르 불변량을 이루며, 질량이 있는 입자의 경우 스핀의 크기를, 질량이 없는 입자의 경우 헬리시티를 나타낸다. 파울리-루반스키 벡터는 작은 군과 밀접한 관련이 있으며, 입자의 질량에 따라 유질량장과 무질량장으로 분류된다.

2. 정의

파울리-루반스키 벡터는 4차원 시공간에서 입자의 운동 상태를 나타내는 중요한 물리량으로, 보통 $W$ (또는 드물게 $S$)로 표기한다. 회전 생성자 $\backslash vec\{J\}$와 부스트 생성자 $\backslash vec\{K\}$를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$W\_0\; =\; \backslash vec\{J\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{P\}$
:$\backslash vec\{W\}\; =\; E\; \backslash vec\{J\}-\; \backslash vec\{P\}\; \backslash times\; \backslash vec\{K\}$

여기서 $W\_0$는 시간 성분, $\backslash vec\{W\}$는 공간 성분을 나타낸다.

2.1. 수식 표현

파울리-루반스키 벡터는 다음과 같이 정의한다. (여기서 $\backslash epsilon$은 레비치비타 유사텐서이고, $J^\{\backslash mu\backslash nu\}$는 각운동량, $P$는 운동량이다.)
:$W\_\{\backslash mu\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash epsilon\_\{\backslash mu\; \backslash nu\; \backslash rho\; \backslash sigma\}\; J^\{\backslash nu\; \backslash rho\}\; P^\{\backslash sigma\}$

파울리-루반스키 벡터는 운동량과 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환관계는 다음과 같다.
:$[P^\{\backslash mu\},W^\{\backslash nu\}]=0$
:$[J^\{\backslash mu\; \backslash nu\},W^\{\backslash rho\}]=i\; (\; g^\{\backslash rho\; \backslash nu\}\; W^\{\backslash mu\}\; -\; g^\{\backslash rho\; \backslash mu\}\; W^\{\backslash nu\})$

또한 항상 운동량과 4차원 직교한다.
:$P\backslash cdot\; W=0$

그 제곱 $W^2$은 카시미르 불변량을 이룬다. 즉 다른 모든 연산자와 가환한다.
:$[P,W^2]=0$
:$[J,W^2]=0$

그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량 $\backslash vec\; J$을 생각하면
:$W^2=-m^2(\backslash vec\; J\backslash cdot\backslash vec\; J)$
여기서 $m$은 질량이다.

파울리-루반스키 벡터는 일반적으로 $W$ (또는 덜 자주 $S$)로 표기되며 다음과 같이 정의된다.
:$W\_\backslash mu\; \backslash mathrel\backslash stackrel\{\backslash text\{def\}\}\{=\}\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash varepsilon\_\{\backslash mu\; \backslash nu\; \backslash rho\; \backslash sigma\}\; J^\{\backslash nu\; \backslash rho\}\; P^\backslash sigma\; ,$

여기서
* $\backslash varepsilon\_\{\backslash mu\; \backslash nu\; \backslash rho\; \backslash sigma\}$는 4차원 완전 반대칭 레비-치비타 기호이다.
* $J^\{\backslash nu\; \backslash rho\}$는 상대론적 각운동량 텐서 연산자($M^\{\backslash nu\; \backslash rho\}$)이다.
* $P^\{\backslash sigma\}$는 4-운동량 연산자이다.

외대수 언어로는, 트리벡터의 호지 쌍대로 쓸 수 있다.

:$$\backslash mathbf\{W\}\; =\; \backslash star(\backslash mathbf\{J\}\; \backslash wedge\; \backslash mathbf\{p\}).$$

$W\_\{\backslash mu\}$는 다음을 만족한다.
:$$P^\{\backslash mu\}W\_\{\backslash mu\}=0,$$

다음과 같은 교환자 관계도 만족한다.
:$$\backslash begin\{align\}$$
\left[P^\mu, W^\nu\right] &= 0, \\
\left[J^{\mu \nu}, W^\rho\right] &= i \left( g^{\rho \nu} W^\mu - g^{\rho \mu} W^\nu\right),
\end{align}

결과적으로,
:$$\backslash left[W\_\{\backslash mu\},\; W\_\{\backslash nu\}\backslash right]\; =\; -i\; \backslash epsilon\_\{\backslash mu\; \backslash nu\; \backslash rho\; \backslash sigma\}\; W^\{\backslash rho\}\; P^\{\backslash sigma\}.$$

스칼라 $W\_\{\backslash mu\}W^\{\backslash mu\}$는 로렌츠 불변 연산자이며, 4-운동량과 교환하며, 따라서 푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현의 레이블 역할을 할 수 있다. 즉, 표현의 시공간 구조의 특징인 스핀의 레이블 역할을 할 수 있으며, 표현의 모든 상태의 질량에 대한 상대론적으로 불변하는 레이블보다 상위에 있다.

2.2. 교환 관계

파울리-루반스키 벡터는 운동량과는 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환 관계는 다음과 같다.

:$[P^\{\backslash mu\},W^\{\backslash nu\}]=0$
:$[J^\{\backslash mu\; \backslash nu\},W^\{\backslash rho\}]=i\; (\; g^\{\backslash rho\; \backslash nu\}\; W^\{\backslash mu\}\; -\; g^\{\backslash rho\; \backslash mu\}\; W^\{\backslash nu\})$

또한, 파울리-루반스키 벡터는 항상 운동량과 4차원 직교한다.

:$P\backslash cdot\; W=0$

결과적으로, 아래의 교환 관계가 성립한다.

:$\backslash left[W\_\{\backslash mu\},\; W\_\{\backslash nu\}\backslash right]\; =\; -i\; \backslash epsilon\_\{\backslash mu\; \backslash nu\; \backslash rho\; \backslash sigma\}\; W^\{\backslash rho\}\; P^\{\backslash sigma\}.$

2.3. 카시미르 불변량

파울리-루반스키 벡터의 제곱 $W^2$은 카시미르 불변량을 이룬다. 즉, 다른 모든 연산자와 가환한다.

:$[P,W^2]=0$
:$[J,W^2]=0$

그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량 $\backslash vec\; J$을 생각하면

:$W^2=-m^2(\backslash vec\; J\backslash cdot\backslash vec\; J)$

여기서 $m$은 질량이다.

스칼라 $W\_\{\backslash mu\}W^\{\backslash mu\}$는 로렌츠 불변 연산자이며, 4-운동량과 교환하며, 따라서 푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현의 레이블 역할을 할 수 있다. 즉, 표현의 시공간 구조의 특징인 스핀의 레이블 역할을 할 수 있으며, 표현의 모든 상태의 질량에 대한 상대론적으로 불변하는 레이블 $P\_\{\backslash mu\}P^\{\backslash mu\}$보다 상위에 있다.

3. 양자화

유질량장의 경우 $W^2$는 입자의 총 스핀을 나타내며, 그 고윳값은 $W^2=W\_\{\backslash mu\}W^\{\backslash mu\}=m^2\; s(s+1)$이다. 여기서 $s$는 스핀이다. 무질량장의 경우 $W^2=0$이고, $W^0=-\backslash vec\; J\backslash cdot\backslash vec\; P$는 나선도를 나타낸다.

3.1. 유질량장의 경우

유질량장에서 파울리-루반스키 벡터의 제곱($W^2$)은 입자의 총 스핀을 나타낸다. 그 고윳값은 다음과 같다.

:$W^2=W\_\{\backslash mu\}W^\{\backslash mu\}=m^2\; s(s+1)$

여기서 $s$는 스핀, $m$은 입자의 정지 질량이다.

이는 입자의 정지 좌표계에서 쉽게 확인할 수 있다. 정지 좌표계에서 $\backslash vec\; W\; =\; m\; \backslash vec\; J$ 이고 $W^0\; =\; 0$이므로, 작은 군은 회전군과 같아지며, 다음이 성립한다.

:$W\_\backslash mu\; W^\backslash mu\; =\; -m^2\; \backslash vec\{J\}\backslash cdot\backslash vec\{J\}.$

이것은 로렌츠 불변량이므로, 다른 모든 좌표계에서도 동일하다.

움직이는 좌표계에서, 파울리-루반스키 벡터는 스핀 벡터 $\backslash vec\; S\; =\; (S\_1,\; S\_2,\; S\_3)$를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
W_0 &= P S_3, \\
W_1 &= m S_1, \\
W_2 &= m S_2, \\
W_3 &= \frac{E}{c^2} S_3,
\end{align}

여기서 $E^2\; =\; P^2\; c^2\; +\; m^2\; c^4$는 에너지-운동량 관계이다.

질량이 0이 아닌 입자와 그 입자와 관련된 장의 경우, 다음의 교환 관계가 성립한다.

:$[W\_1,\; W\_2]\; =\; \backslash frac\{ih\}\{2\backslash pi\}\; m^2\; S\_3.$

3.2. 무질량장의 경우

무질량장의 경우 $W^2=0$이고, $W^0=-\backslash vec\; J\backslash cdot\backslash vec\; P$는 나선도를 나타낸다.

일반적으로 질량이 없는 표현의 경우 두 가지 경우로 구분할 수 있다. 질량이 없는 입자의 경우,
$$W^2\; =\; W\_\backslash mu\; W^\backslash mu\; =\; -E^\{2\}\backslash left((K\_2\; -\; J\_1)^2\; +\; (K\_1\; +\; J\_2)^2\backslash right)\; \backslash mathrel\backslash stackrel\{\backslash mathrm\{def\}\}\{=\}\; -E^2\backslash left(A^2\; +\; B^2\backslash right)\; ,$$
여기서 $\backslash vec\; K$는 동역학적 질량 모멘트 벡터이다. 따라서 수학적으로 $P^2\; =\; 0$이 $W^2\; =\; 0$을 의미하지는 않는다.

4. 작은 군 (Little group)

4-운동량 연산자 $P$의 힐베르트 공간에서 4-운동량 고유값 $k$를 갖는 고유 공간 $S$에 대해 다음이 성립한다.

* $P^\backslash mu$가 $k^\backslash mu$로 대체된 $W$의 성분은 리 대수를 형성한다. 이는 $k$를 불변으로 유지하는 균질 로렌츠 군의 부분군인 $k$의 작은 군 $L\_k$의 리 대수이다.
* $L\_k$의 모든 기약 유니타리 표현에 대해, 유도 표현이라 하는 전체 푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현이 존재한다.
* 유도 표현의 표현 공간은 $S$의 0이 아닌 원소에 전체 푸앵카레 군의 원소를 순차적으로 적용하고 선형성을 확장하여 얻을 수 있다.

푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현은 두 카시미르 연산자 $P^2$ 및 $W^2$의 고유값으로 특징지어진다.

5. 질량에 따른 분류

유질량장의 경우 $W^2$는 입자의 총 스핀을 나타내며, 무질량장의 경우 $W^2=0$이고 $W^0=-\backslash vec\; J\backslash cdot\backslash vec\; P$는 나선도를 나타낸다.

5.1. 유질량장 (Massive fields)

유질량장의 경우 $W^2$는 입자의 총 스핀을 나타내며, 그 고윳값은 다음과 같다.

:$W^2=W\_\{\backslash mu\}W^\{\backslash mu\}=m^2\; s(s+1)$

여기서 $s$는 스핀이다.

양자장론에서 질량이 있는 장의 경우, 카시미르 불변량 $W^2\; =\; W\_\backslash mu\; W^\backslash mu$는 입자의 총 스핀 양자수를 나타내며, 다음의 고유값을 갖는다.

:$W^2\; =\; W\_\backslash mu\; W^\backslash mu\; =\; -m^2\; s(s\; +\; 1)$

여기서 $s$는 입자의 스핀 양자수이고, $m$은 입자의 정지 질량이다.

이것은 입자의 정지 좌표계에서 쉽게 확인할 수 있다. 정지 좌표계에서 $W\_j$는 $W\_0\; =\; 0$ 이고 $W\_j\; =\; mJ\_j$ 이므로, 작은 군은 회전군과 같아지며, 다음이 성립한다.

:$W\_\backslash mu\; W^\backslash mu\; =\; -m^2\; \backslash vec\{J\}\backslash cdot\backslash vec\{J\}$

이것은 로렌츠 불변량이므로, 다른 모든 좌표계에서도 동일하다.

또한 $W^3$을 정지 좌표계에서 세 번째 방향을 따라 스핀 투영을 나타내는 데 사용한다.

움직이는 좌표계에서, $W\; =\; (W\_0,\; \backslash vec\{W\})$을 $(W\_1,\; W\_2,\; W\_3)$ 성분으로 분해하고, $W\_1$과 $W\_2$는 $\backslash vec\{P\}$에 수직이며, $W\_3$는 $\backslash vec\{P\}$에 평행하다고 할 때, 파울리-루반스키 벡터는 스핀 벡터 $\backslash vec\{S\}\; =\; (S\_1,\; S\_2,\; S\_3)$ (유사하게 분해)를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
W_0 &= P S_3 \\
W_1 &= m S_1 \\
W_2 &= m S_2 \\
W_3 &= \frac{E}{c^2} S_3
\end{align}

여기서

:$E^2\; =\; P^2\; c^2\; +\; m^2\; c^4$

는 에너지-운동량 관계이다.

횡 성분 $W\_1,\; W\_2$는 $S\_3$과 함께 다음의 교환 관계를 만족한다 (이는 질량이 0이 아닌 표현뿐만 아니라 일반적으로 적용된다).

:$\backslash begin\{align\}$
[W_1, W_2] &= \frac{ih}{2\pi} \left(\left(\frac{E}{c^2}\right)^2 - \left(\frac{P}{c}\right)^2\right) S_3 \\
[W_2, S_3] &= \frac{ih}{2\pi} W_1 \\
[S_3, W_1] &= \frac{ih}{2\pi} W_2
\end{align}

질량이 0이 아닌 입자와 그러한 입자와 관련된 장의 경우,

:$[W\_1,\; W\_2]\; =\; \backslash frac\{ih\}\{2\backslash pi\}\; m^2\; S\_3$

5.2. 무질량장 (Massless fields)

무질량 입자의 경우 $W^2=0$이고, $W^0=-\backslash vec\; J\backslash cdot\backslash vec\; P$는 나선도를 나타낸다.

일반적으로 질량이 없는 표현은 다음 두 가지 경우로 구분할 수 있다.

* 연속 스핀 표현: $\backslash vec\{W\}$가 $\backslash vec\{P\}$에 수직인 성분을 가질 수 있으며, 이들은 2차원 유클리드 군과 동형인 리 대수를 형성한다. 이는 군 축약에 해당하며, "연속 스핀" 표현으로 이어진다. 그러나 이 계열에는 알려진 기본 입자나 장의 물리적 사례가 없다. 연속 스핀 상태는 관찰된 질량이 없는 입자에서 보이지 않는 내부 자유도를 가지고 있다고 주장할 수 있다.

* 헬리시티 표현: $\backslash vec\{W\}$가 $\backslash vec\{P\}$와 평행하며, 이는 $\backslash vec\{W\}\; \backslash times\; \backslash vec\{P\}\; =\; \backslash vec\{\backslash boldsymbol\{0\}\}$과 동치이다. 이 경우, $W^2\; =\; 0$이고 $W^\backslash mu\; =\; \backslash lambda\; \backslash ,\; P^\backslash mu$이며, 불변량은 헬리시티 연산자로 표현되는 $W^0\; /\; P$이다.

예를 들어, 약한 핵력과 상호 작용하는 모든 입자는 헬리시티가 불변량이어야 하므로 이 계열에 속한다. 0이 아닌 질량이 나타나는 것은 힉스 메커니즘과 같은 다른 수단으로 설명해야 한다. 광자(및 전자기장)는 이 부류에 계속 속하며, 전약력 매개체의 다른 질량 고유 상태(W와 Z 보손)는 0이 아닌 질량을 갖는다.

과거에는 중성미자도 이 부류에 속하는 것으로 여겨졌으나, 중성미자 진동이 관찰되면서, 이제는 왼쪽 헬리시티 중성미자와 오른쪽 헬리시티 반중성미자의 세 가지 질량 고유 상태 중 적어도 두 개가 각각 0이 아닌 질량을 가져야 한다는 것이 알려져 있다.