파울리-루반스키 벡터

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1. 개요
2. 정의
3. 양자화
- 3.1. 유질량장의 경우
- 3.2. 무질량장의 경우
4. 작은 군 (Little group)
5. 질량에 따른 분류
- 5.1. 유질량장 (Massive fields)
- 5.2. 무질량장 (Massless fields)
참조

1. 개요

파울리-루반스키 벡터는 상대론적 각운동량 텐서와 4-운동량 연산자를 사용하여 정의되는 4차원 벡터이다. 이 벡터는 푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현의 레이블, 즉 스핀을 나타내는 데 사용되며, 운동량과는 가환하지만 각운동량과는 그렇지 않다. 파울리-루반스키 벡터의 제곱은 카시미르 불변량을 이루며, 질량이 있는 입자의 경우 스핀의 크기를, 질량이 없는 입자의 경우 헬리시티를 나타낸다. 파울리-루반스키 벡터는 작은 군과 밀접한 관련이 있으며, 입자의 질량에 따라 유질량장과 무질량장으로 분류된다.

2. 정의

파울리-루반스키 벡터는 4차원 시공간에서 입자의 운동 상태를 나타내는 중요한 물리량으로, 보통 $W$ (또는 드물게 $S$ )로 표기한다.^[4]^[5]^[6] 회전 생성자 $\vec{J}$ 와 부스트 생성자 $\vec{K}$ 를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $W_0 = \vec{J} \cdot \vec{P}$

: $\vec{W} = E \vec{J}- \vec{P} \times \vec{K}$

여기서 $W_0$ 는 시간 성분, $\vec{W}$ 는 공간 성분을 나타낸다.

2. 1. 수식 표현

파울리-루반스키 벡터는 다음과 같이 정의한다. (여기서

\epsilon

은 레비치비타 유사텐서이고,

J^{\mu\nu}

는 각운동량,

P

는 운동량이다.)

:

W_{\mu}=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} J^{\nu \rho} P^{\sigma}

파울리-루반스키 벡터는 운동량과 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환관계는 다음과 같다.

:

[P^{\mu},W^{\nu}]=0

:

[J^{\mu \nu},W^{\rho}]=i ( g^{\rho \nu} W^{\mu} - g^{\rho \mu} W^{\nu})

또한 항상 운동량과 4차원 직교한다.

:

P\cdot W=0

그 제곱

W^2

은 카시미르 불변량을 이룬다. 즉 다른 모든 연산자와 가환한다.

:

[P,W^2]=0

:

[J,W^2]=0

그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량

\vec J

을 생각하면

:

W^2=-m^2(\vec J\cdot\vec J)

여기서

m

은 질량이다.

파울리-루반스키 벡터는 일반적으로

W

(또는 덜 자주

S

)로 표기되며 다음과 같이 정의된다.^[4]^[5]^[6]

:

W_\mu \mathrel\stackrel{\text{def}}{=} \tfrac{1}{2}\varepsilon_{\mu \nu \rho \sigma} J^{\nu \rho} P^\sigma ,

여기서

$\varepsilon_{\mu \nu \rho \sigma}$ 는 4차원 완전 반대칭 레비-치비타 기호이다.
$J^{\nu \rho}$ 는 상대론적 각운동량 텐서 연산자( $M^{\nu \rho}$ )이다.
$P^{\sigma}$ 는 4-운동량 연산자이다.

외대수 언어로는, 트리벡터의 호지 쌍대로 쓸 수 있다.^[7]

:

\mathbf{W} = \star(\mathbf{J} \wedge \mathbf{p}).

W_{\mu}

는 다음을 만족한다.

:

P^{\mu}W_{\mu}=0,

다음과 같은 교환자 관계도 만족한다.

:

\begin{align}\left[P^\mu, W^\nu\right] &= 0, \\\left[J^{\mu \nu}, W^\rho\right] &= i \left( g^{\rho \nu} W^\mu - g^{\rho \mu} W^\nu\right),\end{align}

결과적으로,

:

\left[W_{\mu}, W_{\nu}\right] = -i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} W^{\rho} P^{\sigma}.

스칼라

W_{\mu}W^{\mu}

는 로렌츠 불변 연산자이며, 4-운동량과 교환하며, 따라서 푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현의 레이블 역할을 할 수 있다. 즉, 표현의 시공간 구조의 특징인 스핀의 레이블 역할을 할 수 있으며, 표현의 모든 상태의 질량에 대한 상대론적으로 불변하는 레이블보다 상위에 있다.

2. 2. 교환 관계

파울리-루반스키 벡터는 운동량과는 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환 관계는 다음과 같다.

:

[P^{\mu},W^{\nu}]=0

:

[J^{\mu \nu},W^{\rho}]=i ( g^{\rho \nu} W^{\mu} - g^{\rho \mu} W^{\nu})

또한, 파울리-루반스키 벡터는 항상 운동량과 4차원 직교한다.

:

P\cdot W=0

결과적으로, 아래의 교환 관계가 성립한다.

:

\left[W_{\mu}, W_{\nu}\right] = -i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} W^{\rho} P^{\sigma}.

2. 3. 카시미르 불변량

파울리-루반스키 벡터의 제곱

W^2

은 카시미르 불변량을 이룬다. 즉, 다른 모든 연산자와 가환한다.

:

[P,W^2]=0

:

[J,W^2]=0

그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량

\vec J

을 생각하면

:

W^2=-m^2(\vec J\cdot\vec J)

여기서

m

은 질량이다.

스칼라

W_{\mu}W^{\mu}

는 로렌츠 불변 연산자이며, 4-운동량과 교환하며, 따라서 푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현의 레이블 역할을 할 수 있다. 즉, 표현의 시공간 구조의 특징인 스핀의 레이블 역할을 할 수 있으며, 표현의 모든 상태의 질량에 대한 상대론적으로 불변하는 레이블

P_{\mu}P^{\mu}

보다 상위에 있다.

3. 양자화

유질량장의 경우 $W^2$ 는 입자의 총 스핀을 나타내며, 그 고윳값은 $W^2=W_{\mu}W^{\mu}=m^2 s(s+1)$ 이다. 여기서 $s$ 는 스핀이다. 무질량장의 경우 $W^2=0$ 이고, $W^0=-\vec J\cdot\vec P$ 는 나선도를 나타낸다.^[11]

3. 1. 유질량장의 경우

유질량장에서 파울리-루반스키 벡터의 제곱(

W^2

)은 입자의 총 스핀을 나타낸다. 그 고윳값은 다음과 같다.

:

W^2=W_{\mu}W^{\mu}=m^2 s(s+1)

여기서

s

는 스핀,

m

은 입자의 정지 질량이다.

이는 입자의 정지 좌표계에서 쉽게 확인할 수 있다. 정지 좌표계에서

\vec W = m \vec J

이고

W^0 = 0

이므로, 작은 군은 회전군과 같아지며, 다음이 성립한다.

:

W_\mu W^\mu = -m^2 \vec{J}\cdot\vec{J}.

이것은 로렌츠 불변량이므로, 다른 모든 좌표계에서도 동일하다.

움직이는 좌표계에서, 파울리-루반스키 벡터는 스핀 벡터

\vec S = (S_1, S_2, S_3)

를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}W_0 &= P S_3, \\W_1 &= m S_1, \\W_2 &= m S_2, \\W_3 &= \frac{E}{c^2} S_3,\end{align}

여기서

E^2 = P^2 c^2 + m^2 c^4

는 에너지-운동량 관계이다.

질량이 0이 아닌 입자와 그 입자와 관련된 장의 경우, 다음의 교환 관계가 성립한다.

:

[W_1, W_2] = \frac{ih}{2\pi} m^2 S_3.

3. 2. 무질량장의 경우

무질량장의 경우

W^2=0

이고,

W^0=-\vec J\cdot\vec P

는 나선도를 나타낸다.^[11]

일반적으로 질량이 없는 표현의 경우 두 가지 경우로 구분할 수 있다. 질량이 없는 입자의 경우,^[11]

W^2 = W_\mu W^\mu = -E^{2}\left((K_2 - J_1)^2 + (K_1 + J_2)^2\right) \mathrel\stackrel{\mathrm{def}}{=} -E^2\left(A^2 + B^2\right) ,

여기서

\vec K

는 동역학적 질량 모멘트 벡터이다. 따라서 수학적으로

P^2 = 0

이

W^2 = 0

을 의미하지는 않는다.

4. 작은 군 (Little group)

4-운동량 연산자 $P$ 의 힐베르트 공간에서 4-운동량 고유값 $k$ 를 갖는 고유 공간 $S$ 에 대해 다음이 성립한다.^[10]

$P^\mu$ 가 $k^\mu$ 로 대체된 $W$ 의 성분은 리 대수를 형성한다. 이는 $k$ 를 불변으로 유지하는 균질 로렌츠 군의 부분군인 $k$ 의 작은 군 $L_k$ 의 리 대수이다.
$L_k$ 의 모든 기약 유니타리 표현에 대해, 유도 표현이라 하는 전체 푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현이 존재한다.
유도 표현의 표현 공간은 $S$ 의 0이 아닌 원소에 전체 푸앵카레 군의 원소를 순차적으로 적용하고 선형성을 확장하여 얻을 수 있다.

푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현은 두 카시미르 연산자

P^2

및

W^2

의 고유값으로 특징지어진다.^[11]

5. 질량에 따른 분류

유질량장의 경우 $W^2$ 는 입자의 총 스핀을 나타내며, 무질량장의 경우 $W^2=0$ 이고 $W^0=-\vec J\cdot\vec P$ 는 나선도를 나타낸다.

5. 1. 유질량장 (Massive fields)

유질량장의 경우

W^2

는 입자의 총 스핀을 나타내며, 그 고윳값은 다음과 같다.

:

W^2=W_{\mu}W^{\mu}=m^2 s(s+1)

여기서

s

는 스핀이다.

양자장론에서 질량이 있는 장의 경우, 카시미르 불변량

W^2 = W_\mu W^\mu

는 입자의 총 스핀 양자수를 나타내며, 다음의 고유값을 갖는다.

:

W^2 = W_\mu W^\mu = -m^2 s(s + 1)

여기서

s

는 입자의 스핀 양자수이고,

m

은 입자의 정지 질량이다.

이것은 입자의 정지 좌표계에서 쉽게 확인할 수 있다. 정지 좌표계에서

W_j

는

W_0 = 0

이고

W_j = mJ_j

이므로, 작은 군은 회전군과 같아지며, 다음이 성립한다.

:

W_\mu W^\mu = -m^2 \vec{J}\cdot\vec{J}

이것은 로렌츠 불변량이므로, 다른 모든 좌표계에서도 동일하다.

또한

W^3

을 정지 좌표계에서 세 번째 방향을 따라 스핀 투영을 나타내는 데 사용한다.

움직이는 좌표계에서,

W = (W_0, \vec{W})

을

(W_1, W_2, W_3)

성분으로 분해하고,

W_1

과

W_2

는

\vec{P}

에 수직이며,

W_3

는

\vec{P}

에 평행하다고 할 때, 파울리-루반스키 벡터는 스핀 벡터

\vec{S} = (S_1, S_2, S_3)

(유사하게 분해)를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}W_0 &= P S_3 \\W_1 &= m S_1 \\W_2 &= m S_2 \\W_3 &= \frac{E}{c^2} S_3\end{align}

여기서

:

E^2 = P^2 c^2 + m^2 c^4

는 에너지-운동량 관계이다.

횡 성분

W_1, W_2

는

S_3

과 함께 다음의 교환 관계를 만족한다 (이는 질량이 0이 아닌 표현뿐만 아니라 일반적으로 적용된다).

:

\begin{align}[W_1, W_2] &= \frac{ih}{2\pi} \left(\left(\frac{E}{c^2}\right)^2 - \left(\frac{P}{c}\right)^2\right) S_3 \\[W_2, S_3] &= \frac{ih}{2\pi} W_1 \\[S_3, W_1] &= \frac{ih}{2\pi} W_2\end{align}

질량이 0이 아닌 입자와 그러한 입자와 관련된 장의 경우,

:

[W_1, W_2] = \frac{ih}{2\pi} m^2 S_3

5. 2. 무질량장 (Massless fields)

무질량 입자의 경우

W^2=0

이고,

W^0=-\vec J\cdot\vec P

는 나선도를 나타낸다.^[11]

일반적으로 질량이 없는 표현은 다음 두 가지 경우로 구분할 수 있다.^[11]

'''연속 스핀 표현''': $\vec{W}$ 가 $\vec{P}$ 에 수직인 성분을 가질 수 있으며, 이들은 2차원 유클리드 군과 동형인 리 대수를 형성한다. 이는 군 축약에 해당하며, "연속 스핀" 표현으로 이어진다. 그러나 이 계열에는 알려진 기본 입자나 장의 물리적 사례가 없다. 연속 스핀 상태는 관찰된 질량이 없는 입자에서 보이지 않는 내부 자유도를 가지고 있다고 주장할 수 있다.^[11]

'''헬리시티 표현''': $\vec{W}$ 가 $\vec{P}$ 와 평행하며, 이는 $\vec{W} \times \vec{P} = \vec{\boldsymbol{0}}$ 과 동치이다. 이 경우, $W^2 = 0$ 이고 $W^\mu = \lambda \, P^\mu$ 이며, 불변량은 헬리시티 연산자로 표현되는 $W^0 / P$ 이다.

예를 들어, 약한 핵력과 상호 작용하는 모든 입자는 헬리시티가 불변량이어야 하므로 이 계열에 속한다. 0이 아닌 질량이 나타나는 것은 힉스 메커니즘과 같은 다른 수단으로 설명해야 한다. 광자(및 전자기장)는 이 부류에 계속 속하며, 전약력 매개체의 다른 질량 고유 상태(W와 Z 보손)는 0이 아닌 질량을 갖는다.

과거에는 중성미자도 이 부류에 속하는 것으로 여겨졌으나, 중성미자 진동이 관찰되면서, 이제는 왼쪽 헬리시티 중성미자와 오른쪽 헬리시티 반중성미자의 세 가지 질량 고유 상태 중 적어도 두 개가 각각 0이 아닌 질량을 가져야 한다는 것이 알려져 있다.

참조

_[1] 서적
_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 논문
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적 The Quantum Theory of Fields https://archive.org/[...] Cambridge University Press

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