나선도

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1. 개요
2. 정의
3. 헬리시티의 성질
- 3.1. 양자화
4. 카이랄성과의 관계
5. 소군 (Little group)
참조

1. 개요

나선도(Helicity)는 물리학에서 입자의 스핀을 운동량 방향으로 사영한 값으로 정의된다. 헬리시티는 해밀토니안과 교환 가능하여 외력이 없을 경우 시간에 따라 변하지 않고, 회전 불변성을 가지지만 로렌츠 불변량은 아니다. 헬리시티는 스핀 S의 입자에 대해 -S부터 +S까지의 고유값을 가지며, 질량이 없는 입자의 경우 카이랄성과 일치한다. 중력파의 경우 헬리시티는 +2와 -2의 값만 존재한다.

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나선도
개요
유형	양자수
기호	ℎ λ
차원	T⁻¹
SI 단위	헤르츠 (Hz)
CGS 단위	초당 회전 (rps)
상세 정보
관련 입자	질량이 없는 입자 (예: 광자, 글루온)
설명	운동량 방향에 대한 스핀의 투영
속성	의사 스칼라 회전 변환 하에서 불변 반전 변환 하에서 부호 변경
응용
활용 분야	중성미자 물리학 키랄성 연구

2. 정의

각운동량 '''J'''는 궤도 각운동량 '''L'''과 스핀 '''S'''의 합으로 나타낼 수 있다. 궤도 각운동량 '''L'''은 위치 연산자 '''r'''과 선형 운동량 '''p'''의 외적으로 표현된다.

: $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$

따라서 '''L'''의 '''p''' 방향 성분은 0이다. 그러므로 헬리시티는 스핀을 선형 운동량 방향으로 투영한 것이다. 입자의 헬리시티는 스핀 방향이 운동 방향과 같으면 양수("오른손잡이")이고 반대이면 음수("왼손잡이")이다.^[1]

수학적으로, 헬리시티는 스핀 $\vec S$ 의 운동량 방향 $\hat p$ 로의 사영으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $h = \vec S\cdot \hat p,\qquad \hat p = \vec p / |\vec p|$

어떤 축에 관한 스핀의 고유값은 이산적인 값이므로, 헬리시티의 고유값은 이산적이다. 스핀 ''S''의 입자에 대해, 헬리시티의 고유값은 ''S'', ''S'' − 1, ..., −''S''이다. 헬리시티는 $\vec S$ 대신 각운동량 연산자 $\vec J$ 에 의해 등가적으로 표기할 수 있다. 이는 선운동량에 따른 궤도 각운동량의 사영이 0이 되기 때문이다.

: $\vec L\cdot \vec p=0 \ .$

3. 헬리시티의 성질

헬리시티는 스핀을 선형 운동량 방향으로 투영한 것이다. 입자의 헬리시티는 스핀 방향이 운동 방향과 같으면 양수("오른손잡이")이고 반대이면 음수("왼손잡이")이다.^[7]

헬리시티는 보존되는 물리량이다.^[1] 해밀토니안과 교환하며, 외부 힘이 없을 때 시간에 따라 변하지 않는다. 또한 회전에 대해 불변이다. 즉, 시스템이 회전하더라도 헬리시티는 변하지 않는다. 그러나 헬리시티는 로런츠 불변량은 아니다. 로렌츠 부스트의 작용 하에 헬리시티는 부호가 바뀔 수 있다. 비상대론적인 예시로, 자이로볼로 던져진 야구공은 스핀 축이 투구 방향과 일치한다. 이는 경기장의 선수들에게는 하나의 헬리시티를 가지는 것으로 보이지만, 공보다 빠르게 움직이는 관측자에게는 헬리시티가 뒤집힌 것으로 보인다.

3. 1. 양자화

양자역학에서 각운동량은 양자화되어 있으므로 나선도도 양자화되어 있다. 스핀의 특정 축에 대한 고윳값이 불연속적이므로, 나선도의 고윳값 또한 불연속적이다. 스핀이

S

인 질량을 갖는 입자의 가능한 나선도의 고윳값은

S, S-1, \dots, -S

이다.^[8] 질량이 없는 입자의 경우, 모든 스핀 고윳값이 물리적으로 의미 있는 자유도는 아니다. 예를 들어, 광자는 스핀이 1인 질량이 없는 입자인데, 나선도 고유값은 -1과 +1만을 가지며 0은 물리적으로 존재하지 않는다.^[9]

4. 카이랄성과의 관계

헬리시티는 카이랄성과 비교될 수 있다. 카이랄성은 로런츠 불변이지만, 질량이 있는 입자에서는 운동 상수가 아니다. 질량이 없는 입자의 경우 헬리시티와 카이랄성은 일치한다. 질량이 없는 스핀-½ 입자 (바일 스피너)의 경우, 헬리시티는 카이랄 연산자에 ħ/2를 곱한 것과 같다. 반면에 질량이 있는 입자의 경우, 서로 다른 카이랄성 상태(예: 약한 상호작용 전하에서 발생하는)는 입자의 질량에 비례하는 비율로 양과 음의 헬리시티 성분을 모두 갖는다.^[7]

양자역학에서 각운동량은 양자화되므로, 나선도 또한 양자화된다. 축에 대한 스핀의 고유값은 이산적인 값을 가지므로, 나선도의 고유값도 이산적이다. 스핀이 S인 질량이 있는 입자의 경우, 나선도의 고유값은 S, S-1, S-2, ..., -S이다.^[3] 질량이 없는 입자의 경우, 모든 스핀 고유값이 물리적으로 의미 있는 자유도에 해당하지는 않는다. 예를 들어, 광자는 나선도 고유값 -1과 +1을 갖는 질량이 없는 스핀 1 입자이지만, 고유값 0은 물리적으로 존재하지 않는다.^[4]

5. 소군 (Little group)

3+1 차원에서 질량이 없는 입자의 소군은 SE(2)의 이중피복이다. 이 군은 SE(2)의 ''변환''(translations)에 불변하고 $\theta$ 에 대해 회전하는 SE(2)에서 $e^{ih\theta}$ 변환인 유니터리 표현을 가지고 있다. 헬리시티 표현이 그 예시이다. SE(2) 변환 하에 비자명(non-trivial)하게 변환하는 다른 유니터리 표현도 있는데, 이 표현은 ''연속적인 스핀'' 표현이다.

d+1차원에서 소군은 SE(d-1)의 이중피복이다.(d≤2인 경우는 애니온 등의 입자 때문에 더 복잡하다.) 유니터리 표현은 ''연속적인 스핀'' 표현과 SE(d-1)의 ''변환''(''표준''(standard) 표현) 하에서 변환하지 못 한다.

참조

_[1] 서적 Quantum mechanics Elsevier 2013
_[2] 서적 Student Friendly Quantum Field Theory 2022-10-15
_[3] 서적 Spin Phenomena in Particle Interactions World Scientific
_[4] 웹사이트 Electroweak unification and the W and Z bosons https://www.hep.phy.[...] Cambridge University 2011
_[5] 서적 Gravitation and Cosmology: Principles and application of the General Theory of Relativity Wiley & Sons
_[6] 웹인용 표준국어대사전: 헬리시티 https://stdict.korea[...] 국립국어원
_[7] 서적 Quantum mechanics Elsevier 2013
_[8] 서적 Spin Phenomena in Particle Interactions World Scientific 1994
_[9] 웹인용 Electroweak unification and the W and Z bosons https://www.hep.phy.[...] 케임브리지 대학 2022-10-15
_[10] 서적 Gravitation and Cosmology: Principles and application of the General Theory of Relativity Wiley & Sons 1972

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