페트로프 분류

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정사각행렬의 세그레 분류
- 2.2. 페트로프 분류
3. 각 유형의 해석
- 3.1. 유형별 해석
- 3.2. 추가 설명
4. 페트로프 분류의 활용
5. 고차원 페트로프 분류
6. 역사
참조

1. 개요

페트로프 분류는 일반 상대성 이론에서 바일 텐서를 6가지 유형으로 분류하는 방법이다. 바일 텐서는 시공간의 곡률을 나타내는 4차 텐서로, 페트로프 분류는 바일 텐서의 대수적 대칭성에 따라 I, II, D, III, N, O형으로 나뉜다. 각 유형은 특정 물리적 현상과 연관되어 해석되며, 블랙홀, 중력파 등 다양한 중력장을 설명하는 데 사용된다. 뉴먼-펜로즈 형식과 Bel 기준은 페트로프 유형을 결정하는 데 유용한 도구이며, 고차원 시공간에서도 페트로프 분류의 일반화가 연구되고 있다. 이 분류는 1954년 알렉세이 지노비예비치 페트로프에 의해 처음 제시되었다.

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페트로프 분류
페트로프 분류
유형	바일 텐서의 대수적 분류
분야	일반 상대성이론
이름의 유래	알렉세이 지. 페트로프
상세 정보
설명	페트로프 분류는 바일 텐서의 대수적 분류이며, 4차원 로렌츠 다양체의 각 점에서 정의된다.
관련 항목	뉴먼-펜로즈 형식

2. 정의

4차원 로런츠 다양체 $(M,g)$ 에서 바일 곡률 텐서 $C_{\mu\nu\rho\sigma}[g]$ 는 2차 미분형식을 2차 미분형식으로 보내는 역할을 하며, 모든 가능한 대각합들이 0이라는 성질을 갖는다.

4차원에서 2차 미분형식들의 벡터다발 $\Omega^2M$ 의 복소화 $\Omega^{2\mathbb C}M$ 위에는 호지 쌍대 $*\colon \Omega^{2\mathbb C}M\to\Omega^{2\mathbb C}M$ 가 존재한다. 호지 쌍대는 $*^2|_{\Omega^{2\mathbb C}M}=-1$ 을 만족시키므로, $\pm1$ 의 고윳값을 갖는다. 이에 대응하는 고유공간들의 다발을 $\Omega^{2+}M$ , $\Omega^{2-}M$ 이라고 하며, 각각 '''자기 쌍대'''(self-dual^영어) 및 '''자기 반쌍대'''(anti-self-dual^영어) 복소미분형식들의 다발이라고 한다.

바일 텐서 $C\colon\Omega^{2\mathbb C}M\to\Omega^{2\mathbb C}M$ 는 $*$ 와 가환하며, 따라서 $*$ 의 고윳값에 따라 자기 쌍대·자기 반쌍대 성분으로 분해할 수 있다.

: $C=C^++C^-$

: $C^+\colon\Omega^{2+}M\to\Omega^{2+}M$

: $C^-\colon\Omega^{2-}M\to\Omega^{2-}M$

$C$ 는 실수 성분만을 가지므로 $(C^-)^*=C^+$ 이다. 따라서 바일 텐서의 분류는 $C^+$ 만을 분류하는 것으로 충분하다.

$\Omega^{2+}M$ 은 복소 3차원 다발이며, 따라서 $C^+$ 는 무대각합 3×3 복소행렬로 나타낼 수 있다. 이 경우, $M$ 의 '''페트로프 분류'''는 자기 쌍대 바일 텐서 $C^+$ 의 세그레 분류에 따라 정의된다.

4차원 로렌츠 시공간에서, 각 사건마다 6차원의 반대칭 이중 벡터 공간이 존재한다. 바일 텐서의 대칭성은 모든 고유 이중 벡터가 4차원 부분 집합에 속해야 함을 의미한다. 따라서 바일 텐서는 주어진 사건에서 최대 4개의 선형 독립적인 고유 이중 벡터를 가질 수 있으며, 이들의 중복도는 주어진 사건에서 바일 텐서의 대수적 대칭성을 나타낸다. 바일 텐서의 유형은 특성 방정식(사차 방정식)을 풀어 결정할 수 있다.

이러한 고유 이중 벡터는 원래 시공간의 특정 영 벡터와 관련되어 있으며, 이를 '''주요 영 방향'''이라고 한다.

2. 1. 정사각행렬의 세그레 분류

Segre classification^영어는 정사각행렬의 조르당 표준형을 이용하여 각 조르당 블록의 크기를 나열하는 방식이다. 페트로프 분류에서 바일 곡률 텐서를 행렬 형태로 표현할 때 사용된다. 세그레 분류는 다음과 같은 꼴로 표현된다.

:

[n_1,(n_2,n_2',\dots),(n_3,n_3',\dots),\dots|n_4,n_5,\dots]

여기서 사용되는 기호의 의미는 다음과 같다.

각 숫자 $n$ 은 $n\times n$ 크기의 조르당 블록을 의미한다.
고윳값이 0이 아닌 조르당 블록들은 $|$ 앞으로, 고윳값이 0인 조르당 블록들은 $|$ 뒤로 나열한다.
같은 고윳값을 갖는 조르당 블록들은 소괄호 $(n_1,n_2,\dots)$ 로 묶는다.

예를 들어, 세그레 분류가 [(1,2),3|4,5]와 같이 주어졌을 때, 이는 다음과 같은 조르당 블록들을 의미한다.

고윳값이 $\lambda_1=\lambda_2\ne0$ 인 1×1 조르당 블록
고윳값이 $\lambda_1=\lambda_2\ne0$ 인 2×2 조르당 블록
고윳값이 $\lambda_3\ne\lambda_1$ , $\lambda_3\ne0$ 인 3×3 조르당 블록
고윳값이 $\lambda_4=0$ 인 4×4 조르당 블록
고윳값이 $\lambda_5=0$ 인 5×5 조르당 블록

2. 2. 페트로프 분류

4차원 로런츠 다양체에서 바일 곡률 텐서는 자기 쌍대 성분의 세그레 분류에 따라 여섯 가지 유형으로 분류된다. 이를 페트로프 분류라고 한다. 각 유형은 I, II, D, III, N, O로 표시되며, 이 중 I형이 가장 일반적이고 O형이 가장 특수한 경우이다.

바일 텐서는 2차 미분형식을 2차 미분형식으로 보내는 역할을 하며, 4차원에서 2차 미분형식들의 벡터다발은 호지 쌍대 연산자를 통해 자기 쌍대 및 자기 반쌍대 성분으로 분해될 수 있다. 바일 텐서의 분류는 이 중 자기 쌍대 성분만을 분류하여 이루어진다.

\Omega^{2+}M

은 복소 3차원 다발이므로, 자기쌍대 바일 텐서는 무대각합 3×3 복소행렬로 나타낼 수 있으며, 이 행렬의 세그레 분류에 따라 페트로프 분류가 정의된다. 가능한 세그레 분류 중 무대각합 조건에 위배되지 않는 7개가 6개의 페트로프 분류와 대응된다.

페트로프 분류	자기 쌍대 바일 텐서의 세그레 분류
I	[1,1,1>] 또는 $[1,1\|1]$
II	[2,1>]
D	$[(1,1),1]$
III	[>3]
N	[2,1>]
O	[>1,1,1]
불가능	[(1,1)>1], [(1,1,1)\|], [1\|1,1], [(1,2)\|], [1\|2], [2\|1], [3\|]

각 페트로프 유형은 바일 텐서의 고유 이중 벡터와 관련된 주요 영 방향의 다중도로 특징지어진다.

I형: 4개의 단순한 주요 영 방향
II형: 1개의 이중 및 2개의 단순한 주요 영 방향
D형: 2개의 이중 주요 영 방향
III형: 1개의 삼중 및 1개의 단순한 주요 영 방향
N형: 1개의 사중 주요 영 방향
O형: 바일 텐서가 소멸

페트로프 유형은

와 같이 더 특수한 유형으로 퇴화될 수 있다.

뉴먼-펜로즈 형식을 사용하면 바일 스칼라를 통해 페트로프 유형을 구분할 수 있다.

I형: $\Psi_0=0$
II형: $\Psi_0=\Psi_1=0$
D형: $\Psi_0=\Psi_1=\Psi_3=\Psi_4=0$
III형: $\Psi_0=\Psi_1=\Psi_2=0$
N형: $\Psi_0=\Psi_1=\Psi_2=\Psi_3=0$
O형: $\Psi_0=\Psi_1=\Psi_2=\Psi_3=\Psi_4=0$

Bel 기준은 주어진 점에서 페트로프 유형을 결정하는 데 사용되는 조건 집합이다.^[1]

일반 상대성 이론에서 페트로프 분류는 중력장의 분류로 해석된다.

D형: 별과 같은 고립된 질량 물체의 중력장
III형: 종파 중력파
N형: 횡단 중력파
O형: 등각 평탄 영역.
II형: D형, III형, N형의 효과를 비선형 방식으로 결합

3. 각 유형의 해석

페트로프 분류의 각 유형은 특정한 물리적 현상과 관련된다. 아래는 각 유형에 대한 해석과 그 예시를 나타낸 표이다.

페트로프 분류	해석	예
O	등각 평탄 다양체, 중력파 없음	민코프스키 공간, 더 시터르 공간, 반 더 시터르 공간, 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량
D	질량과 각운동량으로 결정되는, 블랙홀과 유사한 공간	슈바르츠실트 계량, 커 계량
N	중력적 횡파	평면 중력파, pp-파(pp-wave^영어)
III	중력적 종파	로빈슨-트라우트먼 계량(Robinson–Trautman metric^영어)
II	D형·N형·III형 효과가 공존
I	불규칙한, 일반적인 공간

D형 영역은 별과 같은 고립된 질량 물체의 중력장과 관련이 있으며, 질량과 각운동량으로 완전히 특징지어지는 중력 물체의 외부에 나타난다. 이때 두 개의 이중 주 영 방향은 장의 근원인 물체 근처에서 "반경 방향"으로 들어오고 나가는 영 합동을 정의한다.

전기 중력 텐서(또는 "조석 텐서")는 D형 영역에서 뉴턴 중력의 쿨롱형 중력 퍼텐셜과 매우 유사하다. 이 조석장은 한 방향의 "인장"과 직교 방향의 "압축"으로 특징지어지며, 고유값은 (-2,1,1) 패턴을 갖는다. 예를 들어 지구를 공전하는 우주선은 지구 중심에서 반경을 따라 미세한 인장을, 직교 방향에서 미세한 압축을 경험한다. 뉴턴 중력과 마찬가지로 이 조석장은 일반적으로 $O(r^{-3})$ 처럼 감소하며, 여기서 $r$ 은 물체로부터의 거리이다.

물체가 회전축을 중심으로 회전하면 조석 효과 외에도 관찰자의 자이로스코프에 대한 스핀-스핀력 등 다양한 중력자성 효과가 나타난다. D형 진공 해의 대표적인 예시인 커 진공에서 이 장의 부분은 $O(r^{-4})$ 처럼 감소한다.

III형 영역은 일종의 종파 중력파와 관련이 있으며, 이 영역에서 조석력은 전단 효과를 갖는다. 약장 이론에서 발생하는 중력파는 N형이고, III형 복사가 $O(r^{-2})$ 처럼 감소하여 N형 복사보다 빠르기 때문에 이러한 가능성은 종종 무시된다.

N형 영역은 횡단 중력파와 관련이 있으며, LIGO로 감지된 유형이다. 네 개의 주 영 방향은 이 복사의 전파 방향을 설명하는 파동 벡터에 해당한다. 일반적으로 $O(r^{-1})$ 처럼 감소하므로 장거리 복사장은 N형이다.

II형 영역은 D형, III형, N형의 효과를 다소 복잡한 비선형 방식으로 결합한다.

O형 영역(등각 평탄 영역)은 바일 텐서가 사라지는 곳과 관련이 있다. 이 경우 곡률은 "순수 리치 텐서"라고 한다. 등각 평탄 영역에서 중력 효과는 물질의 직접적인 존재 또는 전자기장과 같은 비중력장의 에너지 때문이어야 한다. 즉, 멀리 떨어진 물체가 우리 지역의 사건에 장거리 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 더 정확하게는 멀리 떨어진 지역에 시간 변화 중력장이 있는 경우, 뉴스 함수는 아직 우리 등각 평탄 영역에 도달하지 않았다.

고립된 시스템에서 방출된 중력파는 일반적으로 대수적으로 특별하지 않다. 필링 정리는 복사원으로부터 멀리 이동함에 따라 복사장의 구성 요소가 "벗겨져" N형 복사만 먼 거리에서 감지될 수 있는 방식을 설명하며, 이는 전자기 필링 정리와 유사하다.

3. 1. 유형별 해석

페트로프 분류의 각 유형은 특정한 물리적 현상과 연결되어 해석된다.

O형: 등각 평탄 다양체에 해당하며, 중력파가 존재하지 않는 상태를 나타낸다. 민코프스키 공간, 더 시터르 공간 등이 이에 해당한다.
D형: 블랙홀과 같이 질량과 각운동량으로 결정되는 중력장을 나타낸다. 슈바르츠실트 계량, 커 계량 등이 D형의 예시이다.
N형: 횡파 형태의 중력파를 나타낸다. 평면 중력파가 대표적인 예시이다.
III형: 종파 형태의 중력파를 나타낸다.
II형: D형, N형, III형의 효과가 복합적으로 나타나는 경우이다.
I형: 불규칙하고 일반적인 중력장을 의미한다.

3. 2. 추가 설명

일반 상대성 이론에서 모든 구형 대칭 시공간은 D형 또는 O형이다. 예를 들어 커 진공은 모든 곳에서 D형이고, FLRW 모형은 모든 곳에서 O형이다.

4. 페트로프 분류의 활용

페트로프 분류는 바일 텐서의 대수적 특성을 분류하는 방법이다. 페트로프 분류의 활용에는 뉴먼-펜로즈 형식, Bel 기준, 필링 정리 등이 있다.

뉴먼-펜로즈 형식은 페트로프 분류를 실제로 계산하는 데 유용한 도구로, 영 벡터 사각자표계를 이용하여 바일 텐서를 표현한다.

Bel 기준은 주어진 점에서 바일 텐서가 대수적으로 특수한지, 그리고 어떤 페트로프 유형에 속하는지 판별하는 데 사용되는 조건 집합이다.^[1]

필링 정리는 고립된 시스템에서 방출되는 중력파가 복사원에서 멀어질수록 복사장의 여러 성분이 사라지고, 결국 N형 복사만 남는 현상을 설명한다. 이는 전자기 필링 정리와 유사하다.

4. 1. 뉴먼-펜로즈 형식

뉴먼-펜로즈 형식은 페트로프 분류를 실제로 계산하는 데 유용한 도구이다. 이 형식은 영 벡터 사각자표계를 이용하여 바일 텐서를 표현한다.

다음과 같은 영 벡터의 사각자표계로 구성된 이중 벡터 집합을 고려한다. (일부 표기법에서는 기호 l과 n이 서로 바뀐다.)

:

U_{ab}=-2l_{[a}\bar{m}_{b]}

:

V_{ab}=2n_{[a}m_{b]}

:

W_{ab}=2m_{[a}\bar{m}_{b]}-2n_{[a}l_{b]}.

바일 텐서는 이 이중 벡터들의 조합으로 표현될 수 있다.^[1]

:

\begin{align}C_{abcd}&= \Psi_0U_{ab}U_{cd} \\&\, \, \, +\Psi_1(U_{ab}W_{cd}+W_{ab}U_{cd}) \\&\, \, \, +\Psi_2(V_{ab}U_{cd}+U_{ab}V_{cd}+W_{ab}W_{cd}) \\&\, \, \, +\Psi_3(V_{ab}W_{cd}+W_{ab}V_{cd}) \\&\, \, \, +\Psi_4V_{ab}V_{cd}+c.c.\end{align}

여기서

\{\Psi_j\}

는 바일 스칼라이고 c.c.는 켤레 복소수이다.

여섯 가지의 서로 다른 페트로프 형식은 바일 스칼라 중 어떤 것이 0이 되는지에 따라 구분된다. 조건은 다음과 같다.^[2]

'''I형''' : $\Psi_0=0$
'''II형''' : $\Psi_0=\Psi_1=0$
'''D형''' : $\Psi_0=\Psi_1=\Psi_3=\Psi_4=0$
'''III형''' : $\Psi_0=\Psi_1=\Psi_2=0$
'''N형''' : $\Psi_0=\Psi_1=\Psi_2=\Psi_3=0$
'''O형''' : $\Psi_0=\Psi_1=\Psi_2=\Psi_3=\Psi_4=0$

4. 2. Bel 기준

Bel 기준은 주어진 점에서 바일 텐서가 대수적으로 특수한지, 그리고 어떤 페트로프 유형에 속하는지 판별하는 데 사용되는 조건 집합이다.^[1] 바일 텐서 성분을

C_{abcd}

로 나타낼 때 (0이 아닌 것으로 가정, 즉 '''O''' 형식이 아님), Bel 기준은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$C_{abcd}$ 는 다음을 만족하는 벡터 $k(p)$ 가 존재할 때만 '''N''' 형식이다.

:

C_{abcd} \, k^d =0

여기서

k

는 필연적으로 영이고 고유하다(스케일링까지).

$C_{abcd}$ 가 '''N 형식이 아닌''' 경우, $C_{abcd}$ 는 다음을 만족하는 벡터 $k(p)$ 가 존재할 때만 '''III''' 형식이다.

:

C_{abcd}\, k^bk^d=0= {^*C}_{abcd}\, k^bk^d

여기서

k

는 필연적으로 영이고 고유하다(스케일링까지).

$C_{abcd}$ 는 다음을 만족하는 벡터 $k$ 가 존재할 때만 '''II''' 형식이다.

:

C_{abcd}\, k^bk^d=\alpha k_ak_c

및

{}^*C_{abcd}\, k^bk^d=\beta k_ak_c

(

\alpha \beta \neq 0

)

여기서

k

는 필연적으로 영이고 고유하다(스케일링까지).

$C_{abcd}$ 는 다음 조건을 만족하는 ''두 개의 선형 독립적인 벡터'' $k$ , $k'$ 가 존재할 때만 '''D''' 형식이다.

:

C_{abcd}\, k^bk^d=\alpha k_ak_c

,

{}^*C_{abcd}\, k^bk^d=\beta k_ak_c

(

\alpha \beta \neq 0

)

그리고

:

C_{abcd}\, k'^bk'^d=\gamma k'_ak'_c

,

{}^*C_{abcd}\, k'^bk'^d=\delta k'_ak'_c

(

\gamma \delta \neq 0

).

여기서

{}^*C_{abcd}

는

p

에서의 바일 텐서의 쌍대 텐서이다.

위의 각 기준에 대해 바일 텐서가 해당 형식을 갖도록 하는 동등한 조건이 실제로 존재한다. 이러한 동등한 조건은 바일 텐서의 쌍대 텐서 및 자기 쌍대 텐서와 특정 이중 벡터의 관점에서 표현되며 Hall (2004)에 수집되어 있다.

Bel 기준은 일반 상대성 이론에서 대수적으로 특수한 바일 텐서의 페트로프 형식을 결정하는 것이 영 벡터를 검색하여 수행된다.

4. 3. 필링 정리

고립된 시스템에서 방출되는 중력파는 일반적으로 대수적으로 특별하지 않다. 필링 정리는 복사원에서 멀어질수록 복사장의 여러 성분이 사라지고, 결국 N형 복사만 남는 현상을 설명한다. 이는 전자기 필링 정리와 유사하다.

5. 고차원 페트로프 분류

5차원 이상에서는 페트로프 분류가 더 복잡해진다. 5차원의 경우^[2]와 일반적 차원의 경우^[3]에 대한 연구가 문헌에 존재한다.

A. 콜리, R. 밀슨, V. 프라브다, A. 프라브도바(2004)는 임의의 시공간 차원 $d$ 에 대한 대수적 분류의 일반화를 개발했다. 이들의 접근 방식은 두 개의 영 벡터 $l$ 과 $n$ 을 포함하고 $d-2$ 개의 공간형 벡터와 함께 프레임 기저 접근 방식을 사용한다. 바일 텐서의 프레임 기저 성분은 국소 로렌츠 부스트에 따른 변환 속성에 따라 분류된다. 특정 바일 성분이 사라지면 $l$ 및/또는 $n$ 을 '''바일 정렬 영 방향'''(WAND)이라고 한다. 4차원에서 $l$ 은 위에 정의된 의미에서 주 영 방향인 경우에만 WAND이다. 이 접근 방식은 위에 정의된 다양한 대수적 유형 '''II''', '''D''' 등의 자연스러운 고차원 확장을 제공한다.

또 다른, 하지만 동등하지 않은 일반화는 이전에 드 스메트(2002)가 스피노리얼 접근법을 기반으로 정의하였다. 그러나 드 스메트의 접근 방식은 5차원으로만 제한된다.

6. 역사

1954년에 알렉세이 지노비예비치 페트로프(Алексе́й Зино́вьевич Петро́в|알렉세이 지노비예비치 페트로프^ru)가 발표하였다.^[4] 페트로프의 원래 분류는 II형과 D형, III형과 N형을 구별하지 않았는데, 이후 로저 펜로즈가 II형에서 D형을, III형에서 N형을 분리하였다.^[5]

참조

_[1] 논문 Bel–Debever criteria for the classification of the Weyl tensor in higher dimensions 2009
_[2] 저널 Black holes on cylinders are not algebraically special
_[3] 저널 Classification of the Weyl tensor in higher dimensions
_[4] 저널 Классификация пространств, определяющих поля тяготения http://www.mathnet.r[...]
_[5] 저널 A spinor approach to general relativity

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