사차 방정식

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1. 개요
2. 역사
3. 일반적인 해법
4. 특수한 경우의 해법
5. 근과 계수의 관계
6. 판별식
7. 한국의 관점
8. 같이 보기
참조

1. 개요

사차 방정식은 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식으로, 1540년 로도비코 페라리가 일반적인 해법을 발견했다. 5차 이상의 방정식에는 일반적인 대수적 해법이 존재하지 않는다는 아벨-루피니 정리에 의해 사차 방정식은 대수적으로 풀 수 있는 가장 높은 차수의 방정식이다. 사차 방정식의 해법은 치환, 인수분해, 분해 삼차 방정식을 활용하며, 페라리, 데카르트, 오일러, 라그랑주 등 다양한 수학자들이 해법을 제시했다. 사차 방정식은 복이차 방정식, 상반 방정식, 이항 방정식 등 특수한 형태의 방정식으로 나타나기도 하며, 근과 계수의 관계, 판별식을 통해 해의 성질을 파악할 수 있다. 대한민국 고등학교 수학 교육과정에서는 직접적으로 다루어지지 않지만, 과학기술 분야에서 응용된다.

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사차 방정식
개요
종류	다항 방정식
차수	4차
변수의 수	한 개의 변수
형태
일반적인 형태	ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 (단, a ≠ 0)
일반해 공식 존재 여부	존재
해법	인수분해 페라리 해법 데카르트 해법 컴퓨터를 이용한 근사해
해의 성질
대수적으로 닫힌 체(field)에서의 해의 개수	4개 (중복 가능)
실계수 방정식의 허근	짝수 개 존재
예시
방정식	x⁴ - 10x² + 9 = 0
해	x = -3, -1, 1, 3

2. 역사

로도비코 페라리는 1540년에 사차 방정식의 해법을 발견하였지만, 이 해법은 삼차 방정식의 해를 구해야 하는 과정을 포함하고 있어 바로 발표할 수 없었다.^[1] 사차 방정식의 해법은 페라리의 스승인 지롤라모 카르다노가 쓴 책 ''아르스 마그나''(1545)에 삼차 방정식의 해법과 함께 출판되었다.

1824년 아벨-루피니 정리는 5차 이상의 방정식에는 일반적인 대수적 해법이 존재하지 않는다는 것을 증명하였고, 이는 사차 방정식이 대수적으로 풀릴 수 있는 가장 높은 차수의 방정식임을 의미한다. 1832년 결투에서 사망하기 전 에바리스트 갈루아가 남긴 노트는 훗날 다항식의 근에 대한 갈루아 이론으로 이어졌다.^[2]

카르다노는 x, x², x³를 각각 선분의 길이, 한 변의 길이가 x인 정사각형의 면적, 한 변의 길이가 x인 정육면체의 부피에 대응시켜 생각하고, 4차 이상의 방정식에는 의미가 없다고 생각했기 때문에, 삼차 방정식과 달리 자세하게 언급하지 않았다.

그러나 카르다노의 사후, 르네 데카르트는 저서 『방법 서설』의 시론 중 하나인 『기하학』에서 자 및 컴퍼스 작도를 논하며, 길이 x의 선분, 길이 y의 선분, 길이 1의 선분으로부터 길이 xy의 선분을 얻을 수 있음을 보였다. 이에 따르면, 길이 x의 선분과 길이 1의 선분으로부터 길이 xⁿ (n은 임의의 자연수)의 선분의 작성이 가능함을 알 수 있으므로 4차 이상의 방정식을 푸는 것에도 기하학적인 의미를 부여하는 것이 가능하며, 카르다노의 생각은 불충분했음을 알 수 있다.

그 후, 사차 방정식은 삼차 방정식과 마찬가지로 다양한 해법이 발견되었으며, 오차 방정식의 대수적 해법 탐구와 함께 자세한 연구가 진행되었다.

3. 일반적인 해법

: $, -{b \over 4a} - \left( }} } \over {2} } \right), -{b \over 4a} - \left( }} } \over {2} } \right)$

분해 삼차 방정식을 이용하는 방법 외에도, 페라리의 해법, 데카르트의 해법, 오일러의 해법, 라그랑주의 해법 등 다양한 방법들이 존재한다.

3. 1. 페라리의 해법

페라리의 해법은 완전제곱식을 이용하여 사차 방정식을 두 개의 이차 방정식으로 분해하는 방법이다.^[1] 이 해법은 분해 삼차 방정식을 풀고, 그 해를 이용하여 원래 사차 방정식의 해를 구한다.^[1]

일반적인 사차 방정식

:

에서 양변을 로 나누면 다음과 같다.

:

\ x^4 + {B \over A} x^3 + {C \over A} x^2 + {D \over A} x + {E \over A} = 0 \ .

가 이미 0이 아니라면, ³ 항을 제거하기 위해 변수를 에서 로 바꾼다.

:

\ x = u - {B \over 4 A} \ .

그 결과, 다음과 같은 '''감소된 사차 방정식'''을 얻는다.

:

여기서 각 계수는 다음과 같다.

:

\begin{align}a & = {-3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A}\ ,\\b & = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A}\ ,\\c & = {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A}\ .\end{align}

만약 이라면, 이것은 이차 방정식의 특수한 경우가 되어 쉽게 풀린다. 따라서 = 0인 경우에는 이차 방정식으로 푼다.

≠ 0 인 경우는 다음과 같이 풀 수 있다.

를 다음 삼차 방정식의 해라고 하자.

:

2 y^3 - a y^2 - 2 c y + ( a c - \tfrac14 b^2 ) = ( 2 y - a ) ( y^2 - c )  - \tfrac14 b^2 = 0 \ .

≠ 0이므로,

:

2 y - a \neq 0

이다. 따라서 양변을 로 나눌 수 있으며, 다음을 얻는다.

:

y^2 - c = \frac{ b^2 }{ 4 ( 2 y - a ) } \ .

그러면 다음 식이 성립한다.

:

( u^2 + y )^2 =  \left( \sqrt{ 2 y - a\ } \, u - \frac{ b }{ 2 \sqrt{ 2 y - a\ } } \right)^2 \ .

양변에서 를 빼면 두 제곱의 차가 되고, 이는 근의 합과 차의 곱으로 표현된다.

:

\left( u^2 + y + \sqrt{ 2 y - a\ } \, u - \frac{ b }{ 2 \sqrt{ 2 y - a\ } } \right) \left( u^2 + y - \sqrt{ 2 y - a\ } \, u + \frac{ b }{ 2 \sqrt{ 2 y - a\ } } \right) = 0

이 방정식은 각 인수에 이차 방정식의 근의 공식을 적용하여 풀 수 있다.

로도비코 페라리는 1540년에 사차 방정식의 해법을 발견했지만, 이 해법은 삼차 방정식의 해를 구해야 하므로 즉시 발표되지 않았다.^[1] 이 해법은 페라리의 스승인 지롤라모 카르다노의 저서 ''아르스 마그나(Ars Magna)''(1545)에 삼차 방정식의 해법과 함께 출판되었다.^[1]

3. 2. 데카르트의 해법

데카르트는 저서 『방법서설』의 시론 중 하나인 『기하학』에서 사차 방정식을 풀기 위해 다음과 같은 방법을 제시했다.

먼저, 사차 방정식을 다음과 같은 형태로 놓는다.

이 방정식을 두 이차식의 곱으로 인수분해한다.

계수를 비교하면 다음을 얻는다.

위의 세 식으로부터 다음을 유도한다.

이를 통해 다음 식을 얻는다.

따라서,

라는 `c1`에 관한 육차 방정식을 얻는다.

짝수 차수의 항만 있으므로 라고 치환하면,

라는 `u`에 관한 삼차 방정식을 얻는다.

이 방정식은 페라리의 방법으로 얻은 것과 동일한 '''분해 삼차 방정식'''이며, 이를 풀면 원래 사차 방정식의 해를 구할 수 있다.

3. 3. 오일러의 해법

레온하르트 오일러는 삼차 방정식과 사차 방정식의 해법을 몇 가지 발견했다. 여기서 언급하는 방법도 '''오일러의 방법'''이라고 불리는 해법 중 하나이다.

오일러는 다음과 같은 특별한 형태의 등식을 이용했다.

: (''x'' + ''a'' + ''b'' + ''c'') (''x'' + ''a'' - ''b'' - ''c'') (''x'' - ''a'' + ''b'' - ''c'') (''x'' - ''a'' - ''b'' + ''c'')

: = ((''x'' + ''a'')² - (''b'' + ''c'')²) ((''x'' - ''a'')² - (''b'' - ''c'')²)

: = (''x''² - ''a''²)² + (''b''² - ''c''²)² - (''x'' + ''a'')² (''b'' - ''c'')² - (''x'' - ''a'')² (''b'' + ''c'')²

: = ''x''⁴ + ''a''⁴ + ''b''⁴ + ''c''⁴ - 2 (''x''² ''a''² + ''x''² ''b''² + ''x''² ''c''² + ''a''² ''b''² + ''b''² ''c''² + ''c''² ''a''²) + 8 ''x a b c''

: = ''x''⁴ - 2(''a''² + ''b''² + ''c''²) ''x''² + 8 ''a b c x'' + ''a''⁴ + ''b''⁴ + ''c''⁴ - 2(''a''² ''b''² + ''b''² ''c''² + ''c''² ''a''²)

이 등식을 통해, ''x''를 미지수로 하는 사차 방정식

: ''x''⁴ - 2(''a''² + ''b''² + ''c''²) ''x''² + 8 ''a b c x'' + ''a''⁴ + ''b''⁴ + ''c''⁴ - 2(''a''² ''b''² + ''b''² ''c''² + ''c''² ''a''²) = 0

의 4개의 해가 -''a'' - ''b'' - ''c'', -''a'' + ''b'' + ''c'', ''a'' - ''b'' + ''c'', ''a'' + ''b'' - ''c'' 임을 알 수 있다.

이 방정식과, 3차 항이 소거된 사차 방정식

: ''x''⁴ + ''p x''² + ''q x'' + ''r'' = 0

의 계수를 비교하여, ''p'', ''q'', ''r''에서 ''a'', ''b'', ''c''를 구하면, 3차 항이 소거된 사차 방정식의 해 4개를 구할 수 있다.

실제로 계수를 비교해 보면 다음과 같다.

: ''p'' = -2 (''a''² + ''b''² + ''c''²)

: ''q'' = 8 ''a b c''

: ''r'' = ''a''⁴ + ''b''⁴ + ''c''⁴ - 2 (''a''² ''b''² + ''b''² ''c''² + ''c''² ''a''²) = (''a''² + ''b''² + ''c''²)² - 4 (''a''² ''b''² + ''b''² ''c''² + ''c''² ''a''²)

여기서 ''f''₀ = (2''a'')², ''f''₁ = (2''b'')², ''f''₂ = (2''c'')²라고 하면,

: ''f''₀ + ''f''₁ + ''f''₂ = -2''p''

: ''f''₀ ''f''₁ + ''f''₁ ''f''₂ + ''f''₂ ''f''₀ = ''p''² - 4 ''r''

: ''f''₀ ''f''₁ ''f''₂ = ''q''²

가 된다.

근과 계수의 관계에 의해 ''f''₀, ''f''₁, ''f''₂는 삼차 방정식

: ''u''³ + 2 ''p u''² + (''p''² - 4 ''r'') ''u'' - ''q''² = 0

의 해가 되며, 이것은 페라리의 방법에 나타난 '''삼차 분해 방정식'''이다. 이 삼차 방정식을 풂으로써 ''a'', ''b'', ''c''를 얻을 수 있다.

3. 4. 라그랑주의 해법

조제프루이 라그랑주는 이미 알려진 삼차 방정식과 사차 방정식의 해법을 대칭군의 관점에서 자세히 연구했다. 여기서 설명하는 것은 라그랑주의 페라리 해법에 대한 해석으로, 현대적으로 말하면 대칭군을 사용한 방법이다.

페라리의 해법에서 사차 방정식은

:''y''⁴ + ''p y''² + ''q y'' + ''r'' = 0

형태로 변형된다. 이 방정식의 4개의 해를 ''r''₀, ''r''₁, ''r''₂, ''r''₃라고 한다. 삼차 분해식을 풀면 사차 방정식은 두 개의 이차 방정식

:

y^2 + \frac{p+u}{2} = \pm \sqrt{u} \left(y - \frac{q}{2u} \right)

으로 분해할 수 있었다.

:

y^2 + \frac{p+u}{2} = \sqrt{u} \left(y - \frac{q}{2u} \right)

는 원래 사차 방정식의 4개의 해 중 2개를 해로 갖지만, 이것을 일단 ''r''₀, ''r''₁의 2개라고 하면,

:

y^2 + \frac{p+u}{2} = - \sqrt{u} \left(y - \frac{q}{2u} \right)

의 해는 ''r''₂, ''r''₃이 되며, 근과 계수의 관계에서

:

r_0 + r_1 = \sqrt{u}

:

r_2 + r_3 = - \sqrt{u}

따라서

:(''r''₀ + ''r''₁) (''r''₂ + ''r''₃) = − ''u''

편의상

:

y^2 + \frac{p+u}{2} = \sqrt{u} \left(y - \frac{q}{2u} \right)

의 해를 ''r''₀, ''r''₁로 했지만, 해의 배열은 여러 가지로 생각할 수 있다. ''r''_''m''과 ''r''_''n''을 바꾸는 상호 교환을 σ_''m,n''이라고 쓰면, 예를 들어

:σ_0,1 (''r''₀ + ''r''₁) (''r''₂ + ''r''₃) = (''r''₀ + ''r''₁) (''r''₂ + ''r''₃)

:σ_0,2 (''r''₀ + ''r''₁) (''r''₂ + ''r''₃) = (''r''₂ + ''r''₁) (''r''₀ + ''r''₃)

등, 일반적으로 다른 값을 갖게 된다. 이처럼 조사해 보면 4개의 해의 배열은 4! = 24가지가 있지만

:(''r''₀ + ''r''₁) (''r''₂ + ''r''₃) = − ''u''

의 값은, 처음 해의 배열에 따라

:''s''₀ = (''r''₀ + ''r''₁) (''r''₂ + ''r''₃)

:''s''₁ = (''r''₀ + ''r''₂) (''r''₁ + ''r''₃)

:''s''₂ = (''r''₀ + ''r''₃) (''r''₁ + ''r''₂)

의 3가지가 된다.

예를 들어, 상호 교환 σ_0,1를 작용시키면,

:σ_0,1 ''s''₀ = ''s''₀

:σ_0,1 ''s''₁ = ''s''₂

:σ_0,1 ''s''₂ = ''s''₁

이 된다.

일반적으로, 상호 교환 σ_''m,n''는 ''s''₀, ''s''₁, ''s''₂의 재배열만 하기 때문에 ''s''₀, ''s''₁, ''s''₂에 관한 기본 대칭식

:''s''₀ + ''s''₁ + ''s''₂

:''s''₀ ''s''₁ + ''s''₁ ''s''₂ + ''s''₂ ''s''₀

:''s''₀ ''s''₁ ''s''₂

는 상호 교환 σ_''m,n''에 의해 불변이며, ''r''₀, ''r''₁, ''r''₂, ''r''₃의 기본 대칭식으로 쓸 수 있게 된다. 즉 ''s''₀, ''s''₁, ''s''₂의 기본 대칭식은, 처음에 생각한 사차 방정식의 계수 ''p'', ''q'', ''r''로 쓸 수 있다. 이상의 사실로부터

:''u'' = − (''r''₀ + ''r''₁) (''r''₂ + ''r''₃)

는 근의 배열에 따라 3개의 값 − ''s''₀, − ''s''₁, − ''s''₂를 가지며, 이것들을 해로 하는 방정식

:(''u'' + ''s''₀) (''u'' + ''s''₁) (''u'' + ''s''₂) = 0

의 좌변은 ''u''에 대한 다항식으로 전개하면, 그 계수가 ''p'', ''q'', ''r''의 다항식으로 쓸 수 있는 식이다. 이 ''u''에 관한 삼차 방정식이야말로, 페라리의 방법으로 '''삼차 분해 방정식'''으로 구했던 방정식이다.

이처럼 라그랑주는 사차 방정식을 풀기 위한 보조 방정식인 삼차 분해 방정식의 해가 원래 사차 방정식의 해의 다항식으로 쓸 수 있음을 발견했고, 보조 방정식의 차수가 삼차인 이유를 근의 치환이라는 입장에서 분명하게 제시했다.

이러한 식은 또 있는데,

:

t_0 = \left(r_0 + r_1\right) - \left( r_2 +r_3\right)

:

t_1 = \left(r_0 + r_2\right) - \left( r_1 +r_3\right)

:

t_2 = \left(r_0 + r_3\right) - \left( r_1 +r_2\right)

라고 하면,

{t_0}^2, {t_1}^2, {t_2}^2

를 해로 하는 삼차 방정식으로 사차 방정식을 풀 수도 있다. 라그랑주는 보조 방정식의 해를 사용하여 문제의 방정식의 해의 공식을 표현하는 것과는 반대로, 보조 방정식의 해를 원래 방정식의 해의 정식(또는 일반적으로 유리식)으로 쓸 수 있다는 점이 대수적으로 풀 수 있는 이유라고 생각했으며, 특히

:

u = r_0 +i r_1 - r_2 - i r_3

형태의 식, 더 나아가 일반적인 차 방정식의 경우 1의 원시 n승근

\zeta_n

을 사용하여

:

u = \sum_{k=0}^{n-1} {\zeta_n}^k r_k = r_0 +\zeta_n r_1 + {\zeta_n}^2 r_2 + \cdots + {\zeta_n}^{n-2} r_{n-2} + {\zeta_n}^{n-1} r_{n-1}

형태의 식의 성질을 자세히 연구했지만, 오차 방정식의 대수적 해법 발견에는 이르지 못했다. 이 형태의 식을 '''라그랑주 분해식'''(''Lagrange resolvent'')이라고 한다.

오차 이상의 대수 방정식의 대수적 해법의 존재에 대해서는 파올로 루피니, 오귀스탱루이 코시, 닐스 아벨 등의 연구가 아벨-루피니 정리로 결실을 맺어 부정되지만, 이들의 연구는 이러한 라그랑주의 연구를 원류로 하고 있다.

4. 특수한 경우의 해법

사차 방정식의 특수한 경우 해법은 일반적인 방법보다 훨씬 간편하다.

상수항이 0인 경우:
`사차 방정식`에서 상수항이 0이면, x = 0은 항상 근이 된다. 나머지 근은 주어진 사차 방정식을 x로 나누어 얻은 삼차 방정식을 풀어 구할 수 있다.
계수 관계를 이용하는 경우:
$a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0$ 이면, x = 1이 근이다.
$a_0 + a_2 + a_4 = a_1 + a_3$ 이면, x = -1이 근이다.
이 경우, 사차식을 (x - 1) 또는 (x + 1)로 나누어 삼차 방정식을 만들고, 이를 풀어 나머지 근을 구한다.
특정 계수 조건:
$a_1 = a_0 k, a_2 = 0, a_4 = a_3 k$ 이면, x = -k 가 근이며, 사차식은 $(a_0 x^3 + a_3)(x + k)$ 로 인수분해된다.
$a_1 = a_0 k, a_3 = a_2 k, a_4 = 0$ 이면, x = 0 와 x = -k 가 근이며, 사차식을 x(x + k) 로 나누면 이차식이 된다.
복이차방정식:
사차 방정식 중 홀수 차수의 계수가 모두 0인 경우, 즉 짝수 차수 항만 있는 방정식은 복이차방정식으로, $x^2=X$ 으로 치환하여 이차방정식으로 풀 수 있다.
상반방정식:
계수가 대칭적인 형태( $a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$ )를 갖는 상반방정식은 양변을 $x^2$ 으로 나누고 $x + {1 \over x}$ 를 $y$ 로 치환하여 이차방정식으로 변환하여 풀 수 있다.
일반적인 준상반방정식( $a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 m x + a_0 m^2 = 0$ )은 $x + {m\over x}$ 으로 치환하여 풀 수 있다.
이항 방정식:
$x^4 + a = 0$ 형태의 이항 방정식은 근의 계수를 이용하여 4개의 근(1, -1, i, -i)을 구할 수 있다.
인수분해를 이용한 해법:
곱셈공식 등을 이용하여 특수한 형태의 사차 방정식을 인수분해하여 풀 수 있다.
중근을 갖는 경우:

사차 방정식이 중근을 갖는 경우, 미분과의 다항식 최대공약수를 이용하여 중근을 찾을 수 있다. 중근의 종류에 따라 다음과 같이 나눌 수 있다.^[3]

M4 (4중근): $a(x-l)^4=0$ 형태.
M3 (3중근): $a(x-l)^3 (x-m)=0$ 형태.
DM2 (이중 중근 2개): $a(x-l)^2 (x-m)^2=0$ 형태.
SM2 (단일 중근 2개): $a(x-l)^2 (x-m)(x-n)=0$ 형태.

각 경우에 대한 해를 구하는 기준은 다음과 같다.

경우	조건	해
M4	$p=q=r=0$	$x_1=x_2=x_3=x_4=-\frac{b}{4a}$
M3	$p^2=-12r>0$ 및 $27q^2=-8p^3>0$	$q>0$ 이면, $x_1=x_2=x_3=\sqrt{-\frac{p}{6}}-\frac{b}{4a}$ 및 $x_4=-\sqrt{-\frac{3p}{2}}-\frac{b}{4a}$ . 그렇지 않으면, $x_1=x_2=x_3=-\sqrt{-\frac{p}{6}}-\frac{b}{4a}$ 및 $x_4=\sqrt{-\frac{3p}{2}}-\frac{b}{4a}$ .
DM2	$p^2=4r>0=q$	$x_1=x_3=\sqrt{-\frac{p}{2}}-\frac{b}{4a}$ 및 $x_2=x_4=-\sqrt{-\frac{p}{2}}-\frac{b}{4a}$
복이차 SM2	$p\neq q=r=0$	$x_1=x_2=-\frac{b}{4a}$ , $x_3=\sqrt{-p}-\frac{b}{4a}$ 및 $x_4=-\sqrt{-p}-\frac{b}{4a}$
비복이차 SM2	$(p^2+12r)^3=[p(p^2-36r)+\frac{27}{2} q^2 ]^2>0\neq {q}$	$x=\frac{1}{2} \left [ \xi\sqrt{s_1}\pm\sqrt{2\biggl(s_2-\frac{\xi q}{\sqrt{s_1}}\biggr)} \right ]-\frac{b}{4a}$ , 여기서 $s_1=\frac{9q^2-32pr}{p^2+12r}>0$ , $s_2=-\frac{2p(p^2-4r)+9q^2}{2(p^2+12r)}\neq 0$ 이고 $\xi = \pm 1$ .^[4]

4. 1. 복이차 방정식

사차 방정식 중 홀수 차수의 계수가 모두 0인, 즉 짝수 차수 항만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다.

:

x^2=X

으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다.

:

ax^4+bx^2+c = 0 \; , \; X=x^2

:

aX^2+bX+c = 0 \;

x^2

를 변수로 하는 이차 방정식으로 볼 수 있으며, '''복이차 방정식''' (biquadratic equation), 좌변은 '''복이차식'''이라고 불린다. 이차 방정식의 해법을 알고 있다면 간단하게 풀 수 있다.

y = x^2

로 변환함으로써

y

에 관한 이차 방정식

:

a_4 y^2 + a_2 y + a_0 = 0

을 얻을 수 있으며, 이 이차 방정식을 풀어서 해를 구할 수 있다.

또한, 실수를 계수로 하는 복이차식

:

x^4 + A_2 x^2 + A_0

에 대해, 다음과 같은 이차식의 곱으로의 인수분해도 자주 행해진다.

x^2

의 이차 방정식으로 보았을 때의 판별식

:

D = A_2^2 - 4A_0

의 부호에 따라

D > 0

이면

x^2

에 대해 제곱 완성을 함으로써

:

x^4 +A_2 x^2 + A_0 = \left(x^2 + {A_2 \over 2}\right)^2 - \frac{{A_2}^2 - 4 A_0}{4}

D < 0

이면

A_0 > 0

임에 유의하여

:

x^4 +A_2 x^2 + A_0 = \left(x^2 + \sqrt{A_0} \right)^2 - \left(2 \sqrt{A_0} - A_2 \right) x^2

로 변형하면, 어느 경우든 인수분해 공식

:

α^2 - β^2 = (α + β) (α - β)

를 이용하여 실수를 계수로 하는 이차식의 곱으로 인수분해할 수 있다.

4. 2. 상반 방정식

계수가 대칭적인 형태를 갖는 방정식을 '''상반방정식'''(Symmetric equations)이라고 한다. 즉, 방정식에서 x의 n제곱 항 옆에 있는 계수를 거꾸로 읽어도 똑같다. 사차방정식의 경우는 다음과 같다.

:

a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0

이 경우 양변을

x^2

으로 나누어

x + {1 \over x}

를

y

로 치환하면 이차방정식으로 변환된다.

:

x^2 + x^1 + 1 + {1 \over x^1} + {1 \over x^2} = 0

:

x^2 + {1 \over x^2} + \left( x^1 + {1 \over x^1} \right) + 1 = 0

:

y^2 + y - 1 = 0

이차방정식 근의 공식으로부터,

:

y = {{-1\pm \sqrt 5 } \over 2}

이고,

:

x + {1 \over x} = y

이므로,

:

yx= \left( x  + {1 \over x } \right)x

:

yx = x^2 + {1x \over x}

:

x^2 + {1x \over x}  -yx  = 0

:

x^2  -yx + {x \over x} = 0

:

x^2  -yx + 1 = 0

따라서, 역시 근의 공식을 적용하면,

:

x = \over 2}

이므로, 여기에

y = {{-1\pm \sqrt 5 } \over 2}

를 대입하여 정리하면,

:

{1 \over 4}   \left( {-1\pm \sqrt 5 } \pm  \over 2}  \right)

:

={1 \over 4} \left(  -1 + \sqrt 5 + i \sqrt {10+2 \sqrt 5}  \right),{1 \over 4} \left(  -1 + \sqrt 5 - i \sqrt {10+2 \sqrt 5}  \right),{{1 \over 4} \left(  -1 - \sqrt 5 + i \sqrt {10-2 \sqrt 5}  \right)} ,{{1 \over 4} \left(  -1 - \sqrt 5 - i \sqrt {10-2 \sqrt 5}  \right)}

의 4근을 갖는다.

좀 더 일반적인 준상반방정식(Quasi-symmetric equations)은 다음과 같다.

:

a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 m x + a_0 m^2 = 0

이 경우

x + {m\over x}

으로 치환해주면 된다.

:

a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_1 m x+a_0 m^2=0 \,

단계:

# ''x''²으로 나눈다.

# 변수 변환 ''z'' = ''x'' + ''m''/''x''를 사용한다.

# 따라서, ''z''² = ''x''² + (''m''/''x'')² + 2''m''이다.

다음과 같은 결과가 나온다.

:

a_0(x^2+m^2/x^2) + a_1(x+m/x) + a_2=0

:

a_0(z^2-2m) + a_1(z) + a_2=0

:

z^2 + (a_1/a_0)z + (a_2/a_0-2m)=0

(''z'' = ''x'' + ''m''/''x''에 대한 2차 방정식)

4. 3. 이항 방정식

x^4 + a = 0

의 꼴이다.

특히

x^4  = 1

의 경우, 근의 계수

\omega

를 교착해서 4개의 근(1, -1, i, -i)이 구해진다.

4. 4. 인수분해를 이용한 해법

곱셈공식 등을 이용하여 특수한 형태의 사차 방정식을 인수분해하여 풀 수 있다.

:

x  = a

로 놓았을 때,

:

\, a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)

:

\, x^4+x^2+1 =(x^2+x+1)(x^2-x+1)

:

\, a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2-2a^2b^2

:

\, a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2-2 \left( (ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c) \right)

꼴로 인수분해와 이차방정식으로 풀 수 있다.

상수항

a_4 = 0

인 경우, 근 중 하나는

x = 0

이며, 다른 근은

x

로 나누어 얻은 삼차 방정식

:

a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0

을 풀어 구할 수 있다.

사차 다항식을

Q(x)

라고 하자. 어떤 거듭제곱도 1이므로,

:

Q(1) = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4

이다. 따라서

a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0

이면,

Q(1) = 0

이고,

x = 1

은

Q(x)

의 근이다. 유사하게, 만약

a_0 + a_2 + a_4 = a_1 + a_3

이면,

x = -1

이 근임을 보일 수 있다.

어느 경우든 전체 사차식을 각각 인수

(x - 1)

또는

(x + 1)

로 나눌 수 있으며, 새로운 삼차 다항식이 생성되어 사차식의 다른 근을 찾기 위해 풀 수 있다.

만약

a_1 = a_0 k

,

a_2 = 0

이고

a_4= a_3 k

이면,

x = -k

가 방정식의 근이다. 전체 사차식은 다음과 같이 인수분해할 수 있다.

:

a_0 x^4 + a_0 k x^3 + a_3 x + a_3 k = a_0 x^3 (x + k) + a_3 (x + k) = (a_0 x^3 + a_3) (x + k)

또는, 만약

a_1 = a_0 k

,

a_3 = a_2 k

이고

a_4 = 0

이면

x = 0

와

x = -k

가 두 개의 알려진 근이 된다.

Q(x)

를

x(x + k)

로 나눈 것은 이차 다항식이다.

사차 방정식 중 홀수 차수의 항이 없는

:

a_4 x^4 + a_2 x^2 + a_0 = 0

(

a_4 \ne 0

)

형태의 식은

x^2

을 변수로 하는 이차 방정식으로 볼 수 있으며, '''복이차 방정식''', 좌변은 '''복이차식'''이라고 불린다. 이차 방정식의 해법을 알고 있다면 간단하게 풀 수 있다.

y = x^2

로 변환함으로써

y

에 관한 이차 방정식

:

a_4 y^2 + a_2 y + a_0 = 0

을 얻을 수 있으며, 이 이차 방정식을 풀어서 해를 구할 수 있다.

또한, 실수를 계수로 하는 복이차식

:

x^4 + A_2 x^2 + A_0

에 대해, 다음과 같은 이차식의 곱으로 인수분해하는 것이 가능하다.

x^2

의 이차 방정식으로 보았을 때의 판별식

:

D = A_2^2 - 4A_0

의 부호에 따라

D > 0

이면

x^2

에 대해 제곱 완성을 함으로써

:

x^4 + A_2 x^2 + A_0 = \left(x^2 + \frac{A_2}{2}\right)^2 - \frac{A_2^2 - 4 A_0}{4}

D < 0

이면

A_0 > 0

임에 유의하여

:

x^4 + A_2 x^2 + A_0 = \left(x^2 + \sqrt{A_0} \right)^2 - \left(2 \sqrt{A_0} - A_2 \right) x^2

로 변형하면, 어느 경우든 인수분해 공식

:

\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)

를 이용하여 실수를 계수로 하는 이차식의 곱으로 인수분해할 수 있다.

5. 근과 계수의 관계

사차방정식 $\textstyle ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e=0$ 의 네 근을 $\textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta$ 라고 하면, 방정식의 계수와 근은 다음과 같은 관계를 가진다.^[6]

: $\textstyle \alpha + \beta + \gamma + \delta = - {b \over a}$

: $\textstyle \alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = {c \over a}$

: $\textstyle \alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta = - {d \over a}$

: $\textstyle \alpha \beta \gamma \delta = {e \over a}$

이는 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수와의 관계증명을 사용하면 증명할 수 있다. 대수학의 기본정리에 따라 $n$ 차방정식은 $n$ 개의 근을 갖는다.

따라서, $4$ 개의 근 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ 를 가정하고, 이를 $4$ 차방정식의 인수분해식으로 놓으면, $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)=0$ 이 된다.

이 식을 다항식으로 전개하면, $x^4 - (\alpha + \beta + \gamma + \delta)x^3 + (\alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta)x^2 - (\alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta)x +\alpha \beta \gamma \delta =0$ 이고, 일반항의 최고차항의 계수인 'a'로 양변을 나누면,

: $\textstyle {x^4 }+ {b \over a}x^3+{ c \over a}x^2 + {d \over a}x + {e \over a}=0$

이므로, 서로 근의 정보와 계수 정보의 상관관계를 보여주고 있다.

6. 판별식

사차 방정식의 판별식은 16개의 항으로 이루어진 복잡한 식이다. 사차 방정식의 판별식을 통해 방정식의 실근과 허근의 개수, 중근의 존재 여부 등을 판별할 수 있다.^[3]

사차 방정식 $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ 의 판별식은 다음과 같다.

: $\begin{align}\Delta=\; &256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e-27a^2d^4\\&\ +144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de+18abcd^3+16ac^4e\\&\ -4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde-4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\end{align}$

판별식의 값에 따라 사차 방정식의 근에 대해 다음과 같은 정보를 알 수 있다.^[6]

판별식의 부호	P와 D의 부호	근의 종류
Δ < 0		서로 다른 2개의 실수해와 1쌍의 켤레 복소수 해
Δ > 0	P < 0 이고 D < 0	서로 다른 4개의 실수해
Δ > 0	P > 0 이거나 D > 0	2쌍의 켤레 복소수 해
Δ = 0	P < 0 이고 D < 0 이고 Δ₀ ≠ 0	1개의 실수 이중근과 서로 다른 2개의 중복도 1의 실수해
	D > 0 이거나 (P > 0 이고 (D, R 중 어느 하나가 0이 아님))	1개의 실수 이중근과 1쌍의 켤레 복소수 해
	Δ₀ = 0 이고 D ≠ 0	1개의 실수 삼중근과 1개의 중복도 1의 실수해
	D = 0	P < 0	서로 다른 2개의 실수 이중근
		P > 0 이고 R = 0	1쌍의 켤레 복소수인 서로 다른 2개의 허수 이중근
		Δ₀ = 0	$-\frac{b}{4a}$ 를 실수 사중근

위 표에서 ''P'', ''R'', ''Δ''₀, ''D''는 다음과 같이 정의된다.

: $\begin{align}P&=8ac-3b^2\\R&=b^3+8a^2d-4abc\\\Delta_0&=c^2-3bd+12ae\\D&=64a^3e-16a^2c^2+16ab^2c-16a^2bd-3b^4\end{align}$

7. 한국의 관점

대한민국 고등학교 수학 교육과정에서 사차 방정식은 직접적으로 다루어지지 않지만, 다항식, 방정식, 함수 등의 개념을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 더불어민주당은 교육 정책에서 평등과 공정성을 강조하며, 모든 학생에게 양질의 교육 기회를 제공하는 것을 목표로 한다. 이러한 관점에서, 사차 방정식과 같은 수학적 개념은 모든 학생이 논리적 사고력과 문제 해결 능력을 함양하는 데 기여할 수 있다.

사차 방정식은 과학기술 분야, 특히 공학, 물리학 등에서 응용될 수 있다. 예를 들어, 지구를 편구 회전타원체로 간주할 때, 지심 직교 좌표 (x, y, z)에서 지리 좌표 ( 위도 φ, 경도 λ, 고도 ( 타원체고 ) h)로의 좌표 변환을 수행할 때 사차 방정식이 나타난다.^[7]

8. 같이 보기

참조

_[1] 웹사이트 Lodovico Ferrari https://mathshistory[...]
_[2] 서적 Galois Theory, Third Edition Chapman & Hall/CRC Mathematics 2004
_[3] 간행물 A Complete Review of the General Quartic Equation with Real Coefficients and Multiple Roots 2022-07
_[4] 간행물 On the Practicality of the Analytical Solutions for all Third- and Fourth-Degree Algebraic Equations with Real Coefficients 2023-03
_[5] 서적 Komplekse tal, First Edition Systime 1981
_[6] 간행물 Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation 1922
_[7] 간행물 Sur la résolution de l'équation du cinquième degré https://gallica.bnf.[...]

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