편각 (수학)

3. 성질

복소수의 편각은 다음과 같은 성질을 갖는다.

두 복소수 , 의 곱과 나눗셈의 편각은 다음과 같다.^[1]

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4. 계산

0이 아닌 복소수 z = x + iy의 편각 주값 Arg z는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[1]

• '''atan2 함수 사용:'''

• '''아크탄젠트(arctan) 함수 사용:'''

• '''부호 함수(sgn) 또는 헤비사이드 계단 함수(H(x)) 사용:'''

• '''역코사인(arccos) 함수 또는 역사인(arcsin) 함수 사용:'''

: 여기서 |z|는 복소수의 절댓값이며, 이다.

주치를 [0, 2π)로 하는 경우, 위의 정의에서 음수가 되는 편각 값에 2π를 더하면 된다.

5. 컴퓨터 언어에서의 구현

Wolfram 언어에서는 `Arg[z]`를 사용하여 편각을 계산한다.^[4]

`Arg[x + y I]`는 다음과 같이 정의된다.

$$

\begin{cases}

\text{정의되지 않음} &\text{if } |x| = \infty \text{ and } |y|=\infty, \\[5mu]

0 &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0, \\[5mu]

0 &\text{if } x = \infty, \\[5mu]

\pi &\text{if } x = -\infty, \\[5mu]

\pm\frac{\pi}{2} &\text{if } y = \pm\infty, \\[5mu]

\operatorname{Arg}(x + y i) &\text{otherwise}.

\end{cases}



`ArcTan`을 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$

\begin{cases}

0 &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0, \\[5mu]

\text{ArcTan[x, y]} &\text{otherwise}.

\end{cases}



`ArcTan[x, y]`는 무한대에서 작동하도록 확장된 $\backslash operatorname\{atan2\}(y,\; x)$이다. `ArcTan[0, 0]`은 부정형이고, `ArcTan[Infinity, -Infinity]`는 정의되지 않는다.

메이플의 `argument(z)`는 볼프람 언어의 `Arg[z]`와 동일하게 작동하지만, `z`가 특수 부동 소수점 값 `-0.`일 경우 $\backslash pi$를 반환한다는 점이 다르다.^[5] 메이플은 $\backslash operatorname\{atan2\}$가 없다.

MATLAB의 `angle(z)`는 볼프람 언어의 `Arg[z]`와 거의 동일하게 동작하지만, 다음과 같은 차이점이 있다.

$$

\begin{cases}

\frac{1\pi}{4} &\text{만약 } x = \infty \text{ 그리고 } y = \infty, \\[5mu]

• \frac{1\pi}{4} &\text{만약 } x = \infty \text{ 그리고 } y = -\infty, \\[5mu]

• \frac{3\pi}{4} &\text{만약 } x = -\infty \text{ 그리고 } y = -\infty.

6. 확장된 편각

수 ''z''의 확장된 편각($\backslash overline\{\backslash arg\}(z)$로 표기)은 $\backslash arg\; (z)$와 $2\backslash pi$를 법으로 합동인 모든 실수들의 집합이다.^[8]

:$\backslash overline\{\backslash arg\}(z)\; =\; \backslash arg\; (z)\; +\; 2k\backslash pi,\; \backslash forall\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$

7. 응용

주요 값 $\backslash operatorname\{Arg\}$를 정의하는 주된 목적 중 하나는 복소수를 절댓값과 편각을 사용하여 표현하기 위함이다. 따라서 모든 복소수 $z$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$z\; =\; \backslash left|\; z\; \backslash right|\; e^\{i\; \backslash operatorname\{Arg\}\; z\}.$

이는 $z$가 0이 아닐 때만 유효하지만, $\backslash operatorname\{Arg\}(0)$을 정의되지 않은 것으로 간주하는 대신 부정형으로 간주하면 $z=0$일 때도 유효하다고 볼 수 있다.

몇 가지 추가적인 항등식이 성립한다. 만약 $z\_1$과 $z\_2$가 0이 아닌 두 복소수라면,

:$\backslash begin\{align\}$

\operatorname{Arg}(z_1 z_2) &\equiv \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2) \pmod{\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}}, \\

\operatorname{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) &\equiv \operatorname{Arg}(z_1) - \operatorname{Arg}(z_2) \pmod{\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}}.

\end{align}

만약 $z\; \backslash neq\; 0$이고 $n$이 정수라면,^[1]

:$\backslash operatorname\{Arg\}\backslash left(z^n\backslash right)\; \backslash equiv\; n\; \backslash operatorname\{Arg\}(z)\; \backslash pmod\{\backslash mathbb\{R\}/2\backslash pi\backslash mathbb\{Z\}\}.$

참조

_[1] 웹사이트 Complex Argument https://mathworld.wo[...] 2020-08-31
_[2] 웹사이트 Pure Maths https://internal.ncl[...] 2020-08-31
_[3] 서적 phase Dictionary of Mathematics 2002
_[4] 웹사이트 Arg https://reference.wo[...] 2024-08-30
_[5] 웹사이트 Argument - Maple Help https://www.maplesof[...]
_[6] 웹사이트 Phase angle - MATLAB angle https://www.mathwork[...]
_[7] 웹사이트 Four-quadrant inverse tangent - MATLAB atan2 https://www.mathwork[...]
_[8] 웹사이트 Algebraic Structure of Complex Numbers https://www.cut-the-[...] 2021-08-29
_[9] 서적 phase Dictionary of Mathematics 2002
_[10] 서적 Theory of Functions Parts I and II Dover Publications