편평률

1. 개요

편평률은 긴 반지름(적도 반지름) a와 짧은 반지름(극 반지름) b를 사용하여 정의되며, $f\; =\; \backslash frac\; \{a\; -\; b\}\; \{a\}$로 계산된다. 구의 편평률은 0, 평면의 편평률은 1이며, 편평률은 이심률 등 타원의 다른 변수와 관계를 갖는다. 지구는 완전한 구형이 아니며, GRS80 지구 타원체와 WGS84 지구 타원체를 기준으로 편평률을 정의한다. 다른 천체들의 경우, 자전 주기가 짧고 밀도가 낮은 행성일수록 편평률이 큰 경향을 보인다.

2. 정의

긴 반지름(적도 반지름)을 a, 짧은 반지름(극 반지름)을 b라고 했을 때, 편평률 $f$는 다음과 같이 정의된다.

:$f\; =\; \backslash frac\; \{a\; -\; b\}\; \{a\}$

$f$는 "첫 번째 편평률"이라고도 불린다. 이 외에도 두 번째 편평률 $f\text{'}$와 세 번째 편평률 $f^\{\backslash prime\backslash prime\}$ (또는 $n$)이 존재한다.

두 번째 편평률 $f\text{'}$는 다음과 같이 정의된다.

:$f\text{'}=\backslash frac\{a-b\}\{b\}=\backslash frac\{f\}\{1-f\}$

세 번째 편평률 $f^\{\backslash prime\backslash prime\}$는 $n$으로 표기되기도 하며, 프리드리히 빌헬름 베셀이 자오선 호장의 계산에 사용한 기록이 있다.

:$f\text{'}\text{'}=\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}=\backslash frac\{f\}\{2-f\}$

:$$
\begin{align}
n&=\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}} = \frac{1}{4} e^2 + \frac{1}{8} e^4 + \cdots\\
e^2 &= \frac{4 n}{\left(1+n\right)^2}
\end{align}

3. 성질

구의 편평률은 0이다. (a=b) 평면의 편평률은 1이다. (b=0)

즉, 편평률이 0에 가까울수록 회전 타원체가 구에 가깝다.

4. 다른 변수와의 관계

편평률은 이심률 등 타원의 다른 변수와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:$e\; \backslash triangleq\; \backslash sqrt\{1-\backslash frac\{b^2\}\{a^2\}\}\; =\; \backslash sqrt\{f(2-f)\}$

예를 들어, 편평률이 0.1인 타원의 이심률은 약 0.43이다. 이심률도 편평률과 마찬가지로, 원일 때 0이 되고, 납작해짐에 따라 1에 가까워지지만, 이것은 일반적인 원추곡선에 대한 개념이다.

:$\backslash begin\{align\}$
\frac ba &= 1-f = \frac{1-n}{1+n}, \\[5mu]
e^2 &= 2f-f^2 = \frac{4n}{(1+n)^2}, \\[5mu]
f &= 1-\sqrt{1-e^2},
\end{align}

여기서 $e$는 이심률이다.

5. 지구의 편평률

지구의 편평률은 육지의 측지계에서 전 세계적으로 GRS80의 매개변수 값을 사용한다. 한국은 측량법 시행령 제3조에 따라 육지 측량 기준으로 GRS80과 같은 값을 사용한다. GRS80에서 정의하는 지구의 적도 반지름(a) 및 편평률(f)은 다음과 같다.

* 적도 반지름(a): 6,378,137 m (정확히)
* 편평률(f): 1/298.257222101 (정확히)

이 정의로부터 극반지름 b = 6,356,752.314140356 m (근사값)을 얻을 수 있다.

해도 등 해역에서는 WGS84 지구 타원체를 기준으로 하며, 한국은 수로업무법 시행령 제2조 제2호에 따라 해역 측량 기준으로 WGS84의 편평률 값을 사용한다. WGS84에서 정의하는 편평률은 다음과 같다.

* 편평률(f): 1/298.257223563

WGS84에서의 극반지름은 b = 6,356,752.314245179 m(근사값)이며, GRS80에 비해 약 0.105 mm 더 길지만, 실용상 차이는 없다.

5.1. 지구 적도면의 편평률

실제 지구의 적도면은 완전한 원형이 아니며, 약간 찌그러진 타원 형태이다. 적도면 타원의 편평률(f1)은 약 1/91026이며, 장축 방향(λ1)은 서경 14.9291±0.0010°이다.

6. 다른 천체의 편평률

태양은 매우 구형에 가까우며, 편평률은 약 9 x 10^-6으로 여겨진다. 태양계의 행성 편평률은 다음과 같다.



일반적으로 자전 주기가 길고 밀도가 큰 암석질의 고체로 구성된 지구형 행성은 편평률이 비교적 작고, 자전 주기가 짧고 밀도가 매우 작은 기체로 구성된 목성형 행성은 편평률이 비교적 큰 경향이 있다. 편평률이 큰 토성은 배율이 그다지 크지 않은 천체망원경으로도 편평한 것이 시각적으로 확인 가능하다. 실제로 토성의 극반지름은 약 54364km인 반면, 적도 반지름은 약 60268km이다.