프로베니우스 방법

3. 프로베니우스 방법의 설명

정칙 함수 $p\_1(z),\backslash dots,p\_k(z)$가 $z=0$에서 특이점을 갖지 않는다고 가정하자. 미지의 정칙 함수 $f(z)$에 대한 ''k''차 선형 상미분 방정식

:$f^\{(k)\}(z)+z^\{-1\}p\_\{k-1\}(z)f^\{(k-1)\}(z)+\backslash cdots+z^\{1-n\}p\_1(z)f\text{'}(z)+z^\{-n\}p\_0f(z)=0$

은 $z=0$에서 정칙 특이점을 갖는다. 그렇다면, '''프로베니우스 방법'''은 $f$를 다음과 같은 급수를 가설 풀이로 대입하여 미분 방정식을 푸는 방법이다.

:$f(z)=z^r+a\_1z^\{r+1\}+a\_2z^\{r+2\}+\backslash cdots$

이 경우, 미지의 최저 차수 $r$는 다음과 같이 구한다. 미분 방정식은 $z\backslash to0$ 근처에서 다음과 같다.

:$0=\backslash left(r(r-1)\backslash cdots(r-k+1)+p\_\{k-1\}(0)r(r-1)\backslash cdots(r-k+2)+\backslash cdots+p\_1(0)r+p\_0(0)\backslash right)z^\{r-k\}+\backslash mathcal\; O(z^\{r-k+1\})$

따라서,

:$0=r(r-1)\backslash cdots(r-k+1)+p\_\{k-1\}(0)r(r-1)\backslash cdots(r-k+2)+\backslash cdots+p\_1(0)r+p\_0(0)$

임을 알 수 있다. $r$에 대한 이 ''n''차 다항식을 '''결정 다항식'''(indicial polynomial^영어)이라고 하며, $r$는 결정 다항식의 근이다.

• 만약 결정 다항식의 근들의 차가 정수가 아니라면, 모든 해들은 위와 같은 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다.
• 만약 결정 다항식의 근들 가운데 일부가 일치하거나, 아니면 근들의 차 가운데 일부가 정수라면, 일반적으로 해는 다음과 같이 로그 항이 포함될 수 있다.

4. 낮은 차수 선형 방정식

1차 선형 방정식과 2차 선형 방정식의 경우, 결정 다항식은 각각 1차 및 2차 방정식이므로 쉽게 풀 수 있다.

2차 선형 방정식의 경우 결정 다항식은 다음과 같다.

:$r=\backslash frac12\backslash left(1-p\_1(0)\backslash pm\backslash sqrt\{(p\_1(0)-1)^2-4p\_2(0)\}\backslash right)$

4. 1. 1차 선형 방정식

4. 2. 2차 선형 방정식

• 만약 두 근이 서로 겹치지 않고, $r\_1\; -\; r\_2$가 정수가 아니라면, 다음과 같은 꼴의 두 해가 존재한다.

• 만약 두 근이 서로 겹친다면 ($r\_1=r\_2=r$), 두 근은 다음과 같은 꼴이다.

• 만약 두 근이 서로 겹치지 않지만 그 차 $r\_1-r\_2=n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$가 양의 정수라면, 두 근은 다음과 같은 꼴이다.

5. 예

베셀 방정식

:$f\text{'}\text{'}+z^\{-1\}f\text{'}+(1-\backslash alpha^2/z^2)f=0$

:을 생각해보자. 이 경우, 결정 다항식은

:$r(r-1)+r-\backslash alpha^2$

:이다. 따라서

:$r=\backslash pm\backslash alpha$

:가 된다. 즉, $\backslash alpha\backslash not\backslash in\backslash mathbb\; Z$라면 해는 $z=0$ 근처에서

:$f(z)\backslash propto\; z^\{\backslash pm\backslash alpha\}(1+\backslash cdots)$

:의 꼴이 된다. 실제로 베셀 방정식의 두 독립해는 베셀 함수 $\backslash \{J\_\backslash alpha(z),J\_\{-\backslash alpha\}(z)\backslash \}$에 의하여 주어지며, 이들은 $z=0$ 근처에서 다음과 같다.

:$J\_\{\backslash pm\backslash alpha\}(z)\backslash sim\backslash frac\{(z/2)^\{\backslash pm\backslash alpha\}\}\{\backslash Gamma(1\backslash pm\backslash alpha)\}+\backslash cdots$

:여기서 $\backslash cdots$는 $z=0$에서 정칙 함수이다.

만약 $\backslash alpha=0$이라면, 두 근이 겹치게 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 $\backslash \{J\_0(z),Y\_0(z)\backslash \}$이며, $z=0$ 근처에서

:$J\_0(z)\backslash sim\; 1+\backslash cdots$

:$Y\_0(z)\backslash sim(2/\backslash pi)J\_0(z)\backslash ln\; z+\backslash cdots$

:이다. 여기서 $\backslash cdots$는 $z=0$에서 정칙 함수이다.

만약 $\backslash alpha=n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$이라면, 두 근의 차가 정수가 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 $\backslash \{J\_n(z),Y\_n(z)\backslash \}$가 된다. 이 경우

:$J\_n(z)\backslash sim(z/2)^n/n!+\backslash cdots$

:$Y\_n(z)\backslash sim(2/\backslash pi)\backslash pi\; J\_n(z)\backslash ln\; z+z^\{-n\}(\backslash cdots)$

:이다. 여기서 $\backslash cdots$는 $z=0$에서 정칙 함수이다.

다음 미분 방정식을 풀어보자.

:$z^2f\text{'}\text{'}-zf\text{'}+(1-z)f\; =\; 0$

전체 식을 ''z''²으로 나누면 다음과 같다.

:$f\text{'}\text{'}-\{1\backslash over\; z\}f\text{'}+\{1-z\; \backslash over\; z^2\}f=f\text{'}\text{'}-\{1\backslash over\; z\}f\text{'}+\backslash left(\{1\backslash over\; z^2\}\; -\; \{1\; \backslash over\; z\}\backslash right)\; f\; =\; 0$

이는 ''z'' = 0에서 원하는 특이점을 갖는다.

다음 급수 해를 사용한다.

:$\backslash begin\{align\}$

f &= \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r} \\

f' &= \sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1} \\

f'' &= \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}

\end{align}

이제 대입하면,

:$\backslash begin\{align\}$

\sum_{k=0}^\infty &(k+r)(k+r-1) A_kz^{k+r-2}-\frac{1}{z} \sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1} + \left(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{z}\right) \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r} \\

&= \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1) A_kz^{k+r-2} -\frac{1}{z} \sum_{k=0}^\infty (k+r) A_kz^{k+r-1} +\frac{1}{z^2} \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r} -\frac{1}{z} \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r} \\

&= \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-1} \\

&= \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r) A_kz^{k+r-2} + \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2} - \sum_{k-1=0}^\infty A_{k-1}z^{k-1+r-1} \\

&= \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2} \\

&= \left \{ \sum_{k=0}^{\infty} \left ((k+r)(k+r-1) - (k+r) + 1\right ) A_kz^{k+r-2} \right \} -\sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2} \\

&= \left \{ \left ( r(r-1) - r +1 \right ) A_0 z^{r-2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left ((k+r)(k+r-1) - (k+r) + 1\right ) A_kz^{k+r-2} \right \} - \sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2} \\

&= (r-1)^2 A_0 z^{r-2} + \left \{ \sum_{k=1}^{\infty} (k+r-1)^2 A_kz^{k+r-2} - \sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2} \right \} \\

&= (r-1)^2 A_0 z^{r-2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left ( (k+r-1)^2 A_k - A_{k-1} \right ) z^{k+r-2}

\end{align}

에서 1의 중근을 얻는다. 이 근을 사용하여 의 계수를 0으로 설정하여 (해가 되도록) 다음을 얻는다.

:$(k+1-1)^2\; A\_k\; -\; A\_\{k-1\}\; =k^2A\_k-A\_\{k-1\}\; =\; 0$

따라서, 다음과 같은 점화 관계를 얻는다.

:$A\_k\; =\; \backslash frac\{A\_\{k-1\}\}\{k^2\}$

어떤 초기 조건이 주어지면, 우리는 점화 관계를 완전히 풀거나, 멱급수 형태의 해를 구할 수 있다.

계수 $A\_k/A\_\{k-1\}$의 비가 유리 함수이므로, 멱급수는 일반화된 초기하 급수로 쓸 수 있다.

6. 역사

프로베니우스 방법은 라차루스 푸흐스와 게오르크 프로베니우스의 연구를 바탕으로 발전된 미분방정식 해법이다.^[1] 프로베니우스는 이 이론에서 급수의 계수가 '점화 관계'를 따른다는 점과, 지표 방정식의 근이 정수만큼 차이 날 때 두 번째 선형 독립 해를 구하는 절차를 제시했다.^[5]

푸흐스는 이미 급수 해의 '형태'와 '지표 다항식' 및 그 역할을 확립했다.^[2][3][4] 1873년 프로베니우스의 간행물^[1]은 해에 포함된 급수의 수렴 증명과 수렴 반경 설정에 많은 부분을 할애했다.

6. 1. 프로베니우스의 실제 기여

참조

_[1] 서적 Gesammelte Abhandlungen Springer-Verlag
_[2] 서적 Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincare Birkhauser
_[3] 서적 Gesammelte Mathematische Werke von L. Fuchs University Of Michigan Library
_[4] 간행물 Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coefficienten 1866
_[5] 간행물 Tandem Recurrence Relations for Coefficients of Logarithmic Frobenius Series Solutions about Regular Singular Points 2022-12-27