정칙 특이점

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정칙 특이점과 비정칙 특이점
- 2.2. 푹스 미분 방정식
3. 2차 선형 상미분 방정식의 예
- 3.1. 무한대에서의 특이점
- 3.2. 예시
참조

1. 개요

정칙 특이점은 복소 변수를 갖는 선형 상미분 방정식에서, 특정 조건을 만족하는 특이점을 의미한다. 구체적으로, 미분 방정식의 계수가 특정 차수 이하의 극점을 갖는 경우 해당 특이점을 정칙 특이점이라고 정의하며, 그렇지 않은 경우는 비정칙 특이점이라고 한다. 정칙 특이점을 갖는 미분 방정식은 프로베니우스 방법을 통해 해를 구할 수 있으며, 비정칙 특이점의 불규칙성은 푸앵카레 랭크로 측정된다. 정칙 특이점만을 갖는 미분 방정식은 푹스 미분 방정식이라고 불리며, 베셀 방정식, 르장드르 방정식, 초기하 미분 방정식 등이 푹스 미분 방정식의 예시이다.

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정칙 특이점
수학 정보
분야	미분 방정식
더 넓은 분야	복소해석학
정의
개요	미분 방정식의 해가 특이점을 가지는 경우, 그 특이점의 성질을 나타내는 개념이다.
설명	미분 방정식의 해가 그 점에서 해석적이지 않은 점을 말한다. 정칙 특이점은 특이점 중에서 비교적 다루기 쉬운 성질을 가진다.
관련 개념
관련 개념	특이점 (미분방정식) 비정칙 특이점

2. 정의

복소 변수 $z\in\hat{\mathbb C}$ 를 가지는 미지 함수 $f$ 에 대한 ''n''차 선형 상미분 방정식은 다음과 같다.

: $p_0(z)f(z)+p_1(z)f'(z)+\cdots+p_{n-1}(z)f^{(n-1)}(z)+f^{(n)}(z)=0$

여기서 $p_i$ 들은 모두 유리형 함수이다.

이 방정식에서 $p_i(z)$ 가 점 $z_0\in\hat{\mathbb C}$ 에서 특정 조건을 만족하면, $z_0$ 를 정칙 특이점 또는 비정칙 특이점으로 정의한다.

2. 1. 정칙 특이점과 비정칙 특이점

p_i(z)

가 점

z_0\in\hat{\mathbb C}

에서 차수

n-i

이하의 극점만을 갖는다면,

z_0

를 이 상미분 방정식의 '''정칙 특이점'''이라고 한다. 그렇지 않은 경우,

z_0

는 '''비정칙 특이점'''(irregular singular point^영어})이라고 한다. 정칙 특이점에서는 프로베니우스 방법을 적용하여 해를 구할 수 있다. 비정칙 특이점의 불규칙성은 푸앵카레 랭크로 측정된다.

복소 무한대

\widehat\infty\in\hat{\mathbb C}

를 포함하여, 비정칙 특이점을 갖지 않는 복소 선형 상미분 방정식을 '''푹스 미분 방정식'''(Fuchsian differential equation^영어})이라고 한다. 푹스 미분 방정식의 경우 프로베니우스 방법을 적용시킬 수 있다.

베셀 방정식

:

(1-\alpha^2/z^2)+z\frac d{dz}(z)+\frac{d^2}{dz^2}(z)=0

에서

\alpha\ne0

인 경우, 이 방정식은

z=0

에서 정칙 특이점을 갖는다. 반면,

w=1/z

로 변환하면

:

(1/w^4-\alpha^2/w^2)+w^{-1}\frac d{dw}f(w)+\frac{d^2}{dw^2}f(w)=0

이므로,

z=\widehat\infty

에서의 특이점은 비정칙 특이점이다. 따라서 베셀 방정식은 푹스 미분 방정식을 이루지 못한다.

푹스 미분 방정식의 예로는 르장드르 방정식이나 초기하 미분 방정식 등이 있다.

2. 2. 푹스 미분 방정식

복소 무한대

\widehat\infty\in\hat{\mathbb C}

를 포함하여, 비정칙 특이점을 갖지 않는 복소 선형 상미분 방정식을 푹스 미분 방정식(Fuchsian differential equation^영어)이라고 한다. 푹스 미분 방정식의 경우 프로베니우스 방법을 적용시킬 수 있다.

좀 더 정확하게 말하면, ''n''차의 선형 상미분 방정식을 고려할 수 있다.

:

f^{(n)}(z) + \sum_{i=0}^{n-1} p_i(z) f^{(i)} (z) = 0

여기서

p_i(z)

는 유형 함수이다.

이 방정식은 리만 구에서 연구되어, 무한대점을 특이점의 가능성으로 포함해야 한다. 필요한 경우, 뫼비우스 변환을 적용하여 ∞를 복소 평면의 유한 부분으로 이동할 수 있다.

그런 다음 지표 방정식에 기반한 프로베니우스 방법을 적용하여 복소 평면의 주어진

a

근처에서 복소 거듭제곱

(z-a)^r

을 곱한 멱급수 형태의 가능한 해를 찾을 수 있다. 여기서

r

은 정수가 아니어도 된다. 따라서 이 함수는

a

에서 뻗어 나가는 가지 절단 또는

a

주변의 천공된 원판의 리만 곡면에서만 존재할 수 있다. 이것은

a

가 보통점인 경우에는 아무런 어려움이 없다.

a

가 '''정칙 특이점'''인 경우, 이는 정의상

:

p_{n-i}(z)

가

a

에서 최대

i

차의 극점을 갖는다는 것을 의미하며, 프로베니우스 방법 역시 작동하여

a

근처에서

n

개의 독립적인 해를 제공할 수 있다.

무한대점을 포함하여 유일한 특이점이 정칙 특이점인 상미분 방정식을 '''푸흐스''' 상미분 방정식이라고 한다.

3. 2차 선형 상미분 방정식의 예

2차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $f''(x) + p_1(x) f'(x) + p_0(x) f(x) = 0.$

이때,

$p_1(x)$ 와 $p_0(x)$ 가 $x=a$ 에서 해석적이면, 점 $a$ 는 정칙점이다.
$p_1(x)$ 가 $x=a$ 에서 최대 1차 극점을 가지고, $p_0(x)$ 가 $x=a$ 에서 최대 2차 극점을 가지면, 점 $a$ 는 정칙 특이점이다.
위의 두 조건에 해당하지 않으면 점 $a$ 는 불규칙 특이점이다.

베셀 방정식, 르장드르 방정식, 에르미트 미분 방정식, 초기하 미분 방정식 등이 정칙 특이점을 갖는 미분 방정식의 예시이다.

3. 1. 무한대에서의 특이점

무한대에서의 특이점은 치환

w = 1/x

및 다음 관계식을 사용하여 확인할 수 있다.

:

\frac{df}{dx}=-w^2\frac{df}{dw}

:

\frac{d^2f}{dx^2}=w^4\frac{d^2f}{dw^2}+2w^3\frac{df}{dw}

따라서 방정식을

w

에 대한 방정식으로 변환하여

w = 0

에서 어떻게 되는지 확인할 수 있다.

p_1(x)

와

p_2(x)

가 다항식의 몫일 때,

p_1(x)

분모의 차수가 분자의 차수보다 최소한 1 이상 크고,

p_2(x)

분모의 차수가 분자의 차수보다 최소한 2 이상 크지 않으면 무한대

x

에서 불규칙 특이점이 존재한다.

3. 2. 예시

정칙 특이점을 갖는 미분 방정식의 예시는 다음과 같다.

베셀 방정식
르장드르 방정식
에르미트 미분 방정식
초기하 미분 방정식

3. 2. 1. 베셀 방정식

베셀 방정식은 다음 형태의 2차 상미분 방정식이다.

:

x^2 \frac{d^2 f}{dx^2} + x \frac{df}{dx} + (x^2 - \alpha^2)f = 0

여기서

\alpha

는 임의의 실수 또는 복소수이며, 베셀 함수의 ''차수''라고 불린다. 특히

\alpha

가 정수인 경우가 중요하다.

이 방정식을 ''x''²으로 나누면 다음과 같다.

:

\frac{d^2 f}{dx^2} + \frac{1} {x} \frac{df}{dx} + \left (1 - \frac {\alpha^2} {x^2} \right )f = 0.

p_1(x) = \frac{1}{x}

는

x = 0

에서 1차 극점을 갖는다.

\alpha \ne 0

일 때,

p_0(x) = \left(1 - \frac{\alpha^2}{x^2}\right)

는

x = 0

에서 2차 극점을 갖는다. 따라서 이 방정식은 0에서 정칙 특이점을 갖는다.

x \to \infty

일 때의 특이점을 확인하기 위해

x = 1 / w

와 같은 뫼비우스 변환을 사용하면, 다음을 얻는다.

:

\frac{d^2 f}{d w^2} + \frac{1}{w} \frac{df}{dw} + \left[ \frac{1}{w^4} - \frac {\alpha ^2} {w^2} \right ] f= 0

w = 0

에서

:

p_1(w) = \frac{1}{w}

는 1차 극점을 갖지만,

:

p_0(w) = \frac {1} {w^4} - \frac {\alpha ^2} {w^2}

는 4차 극점을 갖는다. 따라서 이 방정식은 ∞에 해당하는

w = 0

에서 비정칙 특이점을 갖는다.

이 방정식은 원통 좌표계에서 라플라스 방정식의 해에서 찾을 수 있다. 푹스 미분 방정식을 이루지 못하며, 르장드르 방정식이나 초기하 미분 방정식 등이 푹스 미분 방정식의 예시이다.

3. 2. 2. 르장드르 방정식

르장드르 방정식은 구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 해를 구할 때 나타나는 2차 상미분 방정식이다. 르장드르 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{d}{dx} \left[ (1-x^2) \frac{d}{dx} f \right] + \ell(\ell+1)f = 0.

괄호를 풀면 다음과 같다.

:

\left(1-x^2\right){d^2 f \over dx^2} -2x {df \over dx } + \ell(\ell+1)f = 0.

:

(1-x^2)

로 나누면 다음과 같다.

:

\frac{d^2 f}{dx^2} - \frac{2x}{1-x^2} \frac{df}{dx} + \frac{\ell(\ell+1)}{1-x^2} f = 0.

이 미분 방정식은 ±1과 ∞에서 정칙 특이점을 갖는다. 따라서 르장드르 방정식은 푹스 미분 방정식의 한 예이다.

3. 2. 3. 에르미트 미분 방정식

1차원 시간 독립 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 다음과 같은 2계 선형 상미분 방정식이 나타난다.

:

E\psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac {d^2 \psi} {d x^2} + V(x)\psi

양자 조화 진동자의 경우 위치 에너지 ''V''(''x'')는 다음과 같다.

:

V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2.

이에 따라 다음의 2계 선형 상미분 방정식이 유도된다.

:

\frac{d^2 f}{dx^2} - 2 x \frac{df}{dx} + \lambda f = 0.

이 미분 방정식은 ∞에서 불규칙 특이점을 가지며, 이 방정식의 해는 에르미트 다항식이다.

3. 2. 4. 초기하 미분 방정식

초기하 미분 방정식은 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

z(1-z)\frac {d^2f}{dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {df}{dz} - abf = 0.

양변을

z(1-z)

로 나누면 다음과 같다.

:

\frac {d^2f}{dz^2} + \frac{c-(a+b+1)z } {z(1-z)} \frac {df}{dz} - \frac {ab} {z(1-z)} f = 0.

이 미분 방정식은 0, 1, ∞에서 정칙 특이점을 가지며, 푹스 미분 방정식의 예이다. 이 미분 방정식의 해는 초기하 함수이다.

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