하디 크로스

1. 개요

하디 크로스는 미국의 토목 공학자로, 모멘트 분배법을 개발하여 구조 해석 분야에 기여했다. 매사추세츠 공과대학교에서 학위를 받은 후, 미주리 퍼시픽 철도회사에서 근무하고, 노퍽 아카데미와 브라운 대학교에서 토목 공학을 가르쳤다. 일리노이 대학교에서 모멘트 분배법을 발전시켰으며, 예일 대학교 토목공학과 학과장을 역임했다. 모멘트 분배법은 부정정 구조물의 해석을 손으로 수행할 수 있게 했으며, 수도 네트워크의 흐름을 모델링하는 데에도 사용되었다. 컴퓨터의 발전으로 인해 현재는 교육용 목적 외에는 사용되지 않지만, 구조역학 교육과 관망 해석에 여전히 중요한 개념으로 남아 있다. 그는 여러 명예 학위와 상을 받았으며, 그의 업적은 전 세계적으로 구조 공학 교육과 실무에 큰 영향을 미쳤다.

2. 생애

하디 크로스는 1908년 매사추세츠 공과대학교(MIT)에서 토목공학 이학사 학위를 받고, 미주리주 세인트루이스의 미주리 태평양 철도회사 교량 부서에서 1년간 근무했다. 1909년 노퍽 아카데미로 돌아가 하버드 대학교에서 1년간 석사 과정을 거쳐 1911년 공학 석사 학위를 받았다. 이후 브라운 대학교에서 7년간 토목공학과 조교수로 재직했으며, 1921년 일리노이 주립 대학교 어바나-샴페인 구조공학 교수가 되었다. 일리노이 대학교에서 모멘트 분배법을 발전시켜 학생들에게 가르쳤는데, 당시 학생들은 그의 청력 문제로 어려움을 겪었다고 한다. 그의 대표적인 제자로는 뉴마크-베타법을 개발한 나단 뉴마크 교수가 있다. 1937년 예일 대학교 토목공학과장이 되었고 1953년 은퇴했다.

그는 정정구조물 해석에 기여한 모멘트 분배법과 복잡한 수도 네트워크의 흐름을 모델링하는 방법으로 유명하다. 예일 대학교 명예 문학 석사 학위, 미국 공학 교육 학회(1944)의 람 메달, 미국 콘크리트 협회(1935)의 와슨 메달, 영국 구조 기술자 협회의 금메달(1959) 등 여러 상을 받았다.

2.1. 초기 생애 및 교육

하디 크로스는 버지니아주 낸서먼드 카운티에서 농장주 토머스 하디 크로스와 엘리너 엘리자베스 라이트 부부 사이에서 태어났다. 그의 형 톰 피트 크로스는 나중에 켈트학 학자가 되었다. 두 형제는 모두 노퍽 아카데미에서 공부했다. 이후 햄던-시드니 칼리지에서 문학사와 이학사 학위를 받았다. 1908년 매사추세츠 공과대학교에서 토목 공학으로 이학사 학위를 받았고, 미주리주 세인트루이스에 있는 미주리 퍼시픽 철도의 교량 부서에서 1년 동안 근무했다. 1909년 노퍽 아카데미로 돌아갔으며, 하버드 대학교에서 1년간 대학원 과정을 밟은 후 1911년에 공학 석사 학위를 받았다. 하디 크로스는 일리노이 대학교에서 근무하면서 모멘트 배분법을 개발했다.

2.2. 경력

미주리 태평양 철도회사의 교량 부서에서 잠시 근무한 후, 노퍽 아카데미와 브라운 대학교에서 토목공학을 가르쳤다. 1921년, 일리노이 대학교 어바나-샴페인 캠퍼스의 구조공학 교수로 임용되어 모멘트 분배법을 발전시키고 널리 알렸다. 당시 그의 학생들은 하디 크로스의 청력 문제로 인해 어려움을 겪었다고 한다. 그의 대표적인 제자로는 뉴마크-베타법을 개발한 나단 뉴마크(Nathan M. Newmark) 교수가 있다.

1937년 예일 대학교의 토목공학과 학과장이 되었으며, 1953년 은퇴할 때까지 재직했다.

모멘트 분배법은 정정구조물 빔과 프레임의 정확한 구조 해석을 손으로 수행할 수 있게 하였다. 이 방법에서 프레임 요소의 고정단 모멘트는 여러 단계에 걸쳐 인접 요소에 점진적으로 분배되어 시스템이 결국 자연적인 역학적 평형 상태에 도달하게 된다. 비록 근사적인 방법이었지만, 실제 해에 매우 근접하게 풀 수 있었다.

하디 크로스 방법은 구조 해석의 변위 공식에 적용된 자코비 방법이다.

오늘날에는 컴퓨터가 엔지니어의 구조 평가 방식을 바꾸었고, 모멘트 분배 프로그램도 거의 만들어지지 않으므로 "모멘트 분배" 방법은 더 이상 일반적으로 사용되지 않는다. 오늘날의 구조 해석 소프트웨어는 유연도법, 직접 강성법 또는 유한 요소법(FEM)을 기반으로 한다.

하디 크로스는 복잡한 수도 네트워크의 흐름을 모델링하는 방법으로도 유명하다. 이 방법은 최근 수십 년 동안 이러한 문제를 해결하는 가장 일반적인 방법이었다.

그는 예일 대학교에서 받은 명예 학위 문학 석사 학위, 미국 공학 교육 학회(1944)의 람 메달, 미국 콘크리트 협회(1935)의 최우수 논문에 대한 와슨 메달, 그리고 영국 구조 기술자 협회의 금메달(1959) 등 수많은 영예를 안았다.

3. 업적

하디 크로스는 1950년대 당시 대규모 철근 콘크리트 구조물을 정확하게 해석하는 것은 매우 대단한 일이었다고 평가했다. 당시 공학자들은 부정정 구조물의 응력과 처짐을 계산해야 할 때 “모멘트 분배법” 또는 “하디 크로스법”을 사용했다. 모멘트 분배법은 구조물 전체가 평형상태에 다다를 때까지, 구조물을 이루는 부재 고정단의 모멘트들을 이웃하는 부재들에게 점차적으로 분배하는 방식으로 구조물을 근사적으로 해석하는 방법이다.

모멘트 분배법은 컴퓨터의 발전으로 인해 교육용 목적 이외에는 더 이상 사용되지 않고 있다. 오늘날의 구조해석은 유연도법, 매트릭스 구조해석법 또는 유한요소법 등을 기반으로 컴퓨터를 이용해 수행한다.

하디 크로스 방법은 관망해석에도 사용된다. 최근까지도 관망해석의 “하디 크로스 방법”은 가장 널리 사용되는 해석법이었다.

3.1. 모멘트 분배법

모멘트 분배법은 하디 크로스가 개발한 부정정 구조물 해석 방법이다. 1950년대 당시 대규모 철근 콘크리트 구조물을 정확하게 해석하는 것은 매우 어려운 일이었다. 공학자들은 부정정 구조물의 응력과 처짐을 계산할 때 "모멘트 분배법" 또는 "하디 크로스법"을 사용하곤 했다. 이 방법은 구조물 전체가 평형상태에 다다를 때까지, 구조물을 이루는 부재 고정단의 모멘트들을 이웃하는 부재들에게 점차적으로 분배하는 방식으로 구조물을 (매우 높은 정확도로) 근사적으로 해석한다.

모멘트 분배법에서 프레임 요소의 고정단 모멘트는 여러 단계에 걸쳐 인접 요소에 점진적으로 분배되어 시스템이 결국 자연적인 역학적 평형 상태에 도달하게 된다. 이 방법은 근사적인 방법이지만 실제 해에 매우 근접하게 풀 수 있었다.

모멘트 분배법의 과정은 다음과 같다.[Cross 1949:2]

1. 구조 내 모든 절점이 회전할 수 없도록 고정되어 있다고 가정하고, 이 조건에서 부재 양단에 작용하는 모멘트를 계산한다.
2. 각 절점에서 불균형 고정단 모멘트를 각 부재의 상수, 즉 '강성'에 비례하여 연결된 부재에 분배한다.
3. 절점에서 각 부재에 분배된 모멘트에 부재 단부의 전달율을 곱하여 그 곱을 부재의 반대쪽 단부에 설정한다.
4. 이렇게 '전달된' 모멘트를 분배한다.
5. 전달될 모멘트가 무시할 수 있을 정도로 작아질 때까지 이 과정을 반복한다.
6. 각 부재의 각 단부에서 모든 모멘트(고정단 모멘트, 분배 모멘트, 전달 모멘트)를 합하여 단부에서 실제 모멘트를 구한다.

하디 크로스 방법은 본질적으로 구조 해석의 변위 공식에 적용된 자코비 방법이다.

오늘날에는 컴퓨터가 엔지니어의 구조 평가 방식을 바꾸었고, 모멘트 분배 프로그램도 거의 만들어지지 않으므로 "모멘트 분배" 방법은 더 이상 일반적으로 사용되지 않는다. 오늘날의 구조 해석 소프트웨어는 유연도법, 직접 강성법 또는 유한 요소법(FEM)을 기반으로 한다.

3.2. 관망 해석 (하디 크로스 방법)

하디 크로스는 복잡한 수도관 네트워크에서 유체의 흐름을 해석하는 방법(Hardy Cross Method)을 개발하여 수리학 분야에도 기여했다. 이 방법은 각 관로의 유량과 손실 수두를 반복적으로 계산하여 실제 값에 근사시키는 방법이다. 최근까지도 관망 해석의 가장 널리 사용되는 방법 중 하나였다. 한국의 상수도 시스템 설계 및 관리에도 하디 크로스 방법이 널리 활용되어 왔다.

4. 평가 및 영향

하디 크로스는 예일 대학교에서 명예 문학 석사 학위를 받았으며, 미국 공학교육회 램 메달(1944년), 미국 콘크리트학회 웨이슨 메달(1935년), 영국 구조공학회 금메달(1959년) 등 여러 상을 받았다.

모멘트 분배법은 정정구조물 빔과 프레임의 구조 해석을 손으로 할 수 있게 하였다. 이 방법은 프레임 요소의 고정단 모멘트를 여러 단계에 걸쳐 인접 요소에 점진적으로 분배하여 역학적 평형 상태에 도달하게 한다. 비록 근사적인 방법이었지만, 실제 해에 매우 근접한 결과를 얻을 수 있었다. 하디 크로스 방법은 구조 해석의 변위 공식에 적용된 자코비 방법이다.

오늘날에는 컴퓨터가 엔지니어의 구조 평가 방식을 바꾸었고, 모멘트 분배 프로그램도 거의 만들어지지 않아 "모멘트 분배" 방법은 더 이상 일반적으로 사용되지 않는다. 현대 구조 해석 소프트웨어는 유연도법, 직접 강성법 또는 유한 요소법(FEM)을 기반으로 한다.

하디 크로스 방법은 복잡한 수도 네트워크의 흐름을 모델링하는 데에도 유명하며, 최근 수십 년 동안 이러한 문제를 해결하는 가장 일반적인 방법이었다.