하르톡스 확장정리

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1. 개요

하르톡스 확장 정리는 복소변수 함수론의 정리로, n>1일 때 열린 집합 G에서 콤팩트 집합 K를 제외한 G/K에서 정의된 정칙 함수는 G 전체에서 정칙 함수로 확장될 수 있다는 내용을 담고 있다. 이 정리는 1906년 프리드리히 하르톡스에 의해 증명되었으며, 하르톡스 현상으로 알려진 1변수와 다변수 함수론의 차이를 보여주는 중요한 사례이다. 하르톡스 현상이란, 1변수 함수에서는 성립하지 않지만 다변수 함수에서는 성립하는 현상을 의미하며, 하르톡스 확장 정리와 정칙 영역 개념, 다변수 복소함수론 발전에 기여했다.

하르톡스 확장정리

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1. 개요
2. 정의
3. 하르톡스 현상
- 3.1. 1변수 함수론에서의 반례
- 3.2. 다변수 함수론에서의 예시
4. 역사
5. 증명
- 5.1. 푸앵카레 보조정리 (Poincaré lemma)

2. 정의

$\mathbb{C}^n$ (n>1)의 열린집합 G와 G의 콤팩트 집합 K에 대해 G/K가 연결 집합일 때, f가 G/K 위에서 정의된 C로 가는 정칙 함수라 하자. 그러면, G에서 C로 가는 f의 확장 함수가 유일하게 존재한다.

Ehrenpreis의 증명은 매끄러운 범프 함수의 존재, 정칙 함수의 유일한 연속성, 그리고 푸앵카레 보조정리에 기반한다. 여기서 푸앵카레 보조정리는 임의의 매끄럽고 컴팩트 지지된 미분 (0,1)-형식 $\omega$ 에 대해 $\mathbb{C}^n$ 에서 $\overline{\partial}\omega = 0$ 이면, $\mathbb{C}^n$ 에서 $\overline{\partial}\eta = \omega$ 인 매끄럽고 컴팩트 지지된 함수 $\eta$ 가 존재한다는 형태로 나타난다. 이 보조정리가 성립하기 위해서는 $n \ge 2$ 라는 조건이 필요하다.

$F$ 에 대한 ansatz는 $\phi f - v$ 이다. 여기서 $G$ 위의 매끄러운 함수 $\phi$ 와 $v$ 가 사용된다. 이러한 표현은 $f$ 가 정의되지 않은 곳(즉, $K$ 에서)에서 $\phi$ 가 항등적으로 0과 같다는 조건이 만족될 때 의미가 있다. 또한, 어떤 열린 집합에서 $f$ 와 같은 $G$ 위의 정칙 함수가 주어지면, 유일한 연속성( $G \setminus K$ 의 연결성에 기반)에 의해 $G \setminus K$ 의 전체에서 $f$ 와 같다는 것을 알 수 있다.

이 함수의 정칙성은 조건 $\overline{\partial}v = f \overline{\partial}\phi$ 와 동일하다. 임의의 매끄러운 함수 $\phi$ 에 대해, 미분 (0,1)-형식 $f\overline{\partial}\phi$ 는 $\overline{\partial}$ -닫혀 있다. $\phi$ 를 $K$ 에서 항등적으로 0과 같고, $G$ 의 어떤 콤팩트 부분 집합 $L$ 의 여집합에서 항등적으로 1과 같은 매끄러운 함수로 선택하면, 이 (0,1)-형식은 추가적으로 콤팩트 지지를 가지므로, 푸앵카레 보조정리는 적절한 콤팩트 지지의 $v$ 를 식별한다. 이는 $G$ 에서 정칙 함수로서 $F$ 를 정의한다.

집합 $\mathbb{C}^n \setminus L$ 에서 $v$ 는 $\phi$ 가 항등적으로 상수이므로 정칙 함수이다. 이것이 무한대 근처에서 0이므로, 유일한 연속성을 적용하여 $G \setminus L$ 의 어떤 열린 부분 집합에서 항등적으로 0임을 알 수 있다. 따라서, 이 열린 부분 집합에서 $F$ 는 $f$ 와 같으며, 하르톡스 정리의 존재 부분이 증명된다. 유일성은 $G$ 의 연결성에 기반한 유일한 연속성으로부터 자동적으로 얻어진다.

3. 하르톡스 현상

하르톡스 확장 정리는 1변수에서는 성립하지 않는다. C/\{0\}에서 C로 가는 함수 f(z)/f(z)^영어 := 1/z 를 생각하자. \{0\}은 C에서 콤팩트 집합이고 C/\{0\}은 연결 집합이며 f(z)/f(z)^영어는 정칙 함수이므로 이 함수는 하르톡스 확장 정리의 조건을 만족한다. 그러나 이 함수는 C로 확장 불가능하다. 이처럼 하르톡스 확장 정리가 성립하는 것은 일변수에서 성립하지 않는 다변수에서만의 현상인데, 이를 일컬어 하르톡스 현상(Hartogs’ phenomenon)이라고 한다.

예를 들어, 두 변수의 경우 내부 영역

: $H_\varepsilon = \{z=(z_1,z_2)\in\Delta^2:|z_1|<\varepsilon\ \ \text{or}\ \ 1-\varepsilon< |z_2|\}$

를 2차원 다원판 $\Delta^2=\{z\in\mathbb{C}^2;|z_1|<1,|z_2|<1\}$ 에서 고려해 보자. 여기서 $0 < \varepsilon < 1$ 이다.

: $H_\varepsilon$ 에서 정의된 모든 정칙 함수 $f$ 는 $\Delta^2$ 로 해석적 연장이 가능하다. 즉, $\Delta^2$ 에서 $F=f$ 인 정칙 함수 $F$ 가 존재한다.

이러한 현상을 하르톡스 현상이라고 하며, 이는 하르톡스 연장 정리와 정칙 영역의 개념으로 이어진다.

일변수에서는 성립하지만 다변수에서는 성립하지 않는 현상을 하르톡스 현상(Hartogs' phenomenon)이라고 한다. 이 현상은, 이 하르톡스 확장 정리와 정칙 영역의 개념, 나아가 다변수 복소함수론의 발전을 이끌었다.

2변수의 경우를 예로 들어, $0 <\varepsilon < 1$ 로 하고, 이중 원판 $\Delta^2=\{z\in\mathbb{Z};|z_1|<1,|z_2|<1\}$ 의 내부 영역

: $H_\varepsilon = \{z=(z_1,z_2)\in\Delta^2:|z_1|<\varepsilon\ \ \text{or}\ \ 1-\varepsilon< |z_2|\}$

를 생각한다.

: $H_\varepsilon$ 상의 임의의 정칙 함수 $f$ 는 $\Delta^2$ 로 해석 확장된다. 즉, $\Delta^2$ 상의 정칙 함수 $F$ 가 존재하여, $H_\varepsilon$ 상에서 $F=f$ 가 된다.

실제로, 코시 적분 공식을 사용하여 확장된 함수 $F$ 를 얻을 수 있다. 모든 정칙 함수는 다중 원판으로 해석 확장될 수 있으며, 다중 원판은 원래 정칙 함수가 정의된 영역보다 진정으로 넓어진다. 이러한 현상은 일변수에서는 결코 일어나지 않는 현상이다.

하르톡스 확장 정리는 일 때 성립하지 않는다. 차원 1에서 이 정리가 성립하지 않음을 보이기 위해서는 함수 을 생각하면 충분하다. 이 함수는 분명히 } 안에서는 정칙이지만, 전체에서 정칙 함수로서 연속이 아니다. 이처럼 한 변수 함수론과 다변수 함수론 사이의 차이가 나타나는 것이 하르톡스 현상의 특징이다.

3.1. 1변수 함수론에서의 반례

C/\{0\}에서 C로 가는 함수 f(z)/f(z)^영어 := 1/z 를 생각하자. \{0\}은 C에서 콤팩트 집합이고 C/\{0\}은 연결 집합이며 f(z)/f(z)^영어는 정칙 함수이므로 이 함수는 하르톡스 확장 정리의 조건을 만족한다. 그러나 이 함수는 C로 확장 불가능하다. 이처럼 하르톡스 확장 정리가 성립하는 것은 일변수에서 성립하지 않는 다변수에서만의 현상인데, 이를 일컬어 하르톡스 현상(Hartogs’ phenomenon)이라고 한다.

3.2. 다변수 함수론에서의 예시

4. 역사

독일의 수학자 프리드리히 하르톡스가 1906년에 하르톡스 확정정리를 증명하였다. 원래 증명은 여러 복소변수의 함수에 대한 코시 적분 공식을 사용했다. 오늘날 일반적인 증명은 보흐너-마르티넬리-코펠만 공식 또는 콤팩트 지지를 갖는 비동차 코시-리만 방정식의 해에 의존한다.

레온 에렌프라이스는 코시-리만 방정식을 이용한 접근 방식을 도입했다. 가에타노 피케라는 여러 변수의 정칙 함수에 대한 디리클레 문제의 해와 CR-함수의 개념을 사용하여 또 다른 증명을 제시했다. 이후 피케라는 이 정리를 특정 부류의 편미분 연산자로 확장했으며, 그의 아이디어는 줄리아노 브라티에 의해 더 탐구되었다. 편미분 연산자 이론의 일본 학파는 에렌프라이스의 기본 원리를 사용하여 이 주제에 대해 많은 연구를 수행했으며, 아키라 카네코가 주목할 만한 기여를 했다.

5. 증명

에렌프라이스의 증명은 매끄러운 범프 함수의 존재, 정칙 함수의 유일한 연속성, 그리고 푸앵카레 보조정리에 기반한다. 푸앵카레 보조정리는 임의의 매끄럽고 콤팩트 지지된 미분 (0,1)-형식 에 대해 에서 이면, 에서 인 매끄럽고 콤팩트 지지된 함수 가 존재한다는 형태로 나타난다. 이 보조정리가 타당하기 위해서는 라는 가정이 필요하다.

에 대한 표현식은 이다. 여기서 위의 매끄러운 함수 와 가 사용된다. 가 정의되지 않은 곳(즉, 에서)에서 가 0과 같다는 조건이 만족될 때 의미가 있다. 어떤 열린 집합에서 와 같은 위의 정칙 함수가 주어지면, 유일한 연속성 (의 연결성에 기반)에 의해 의 전체에서 와 같다는 것을 알 수 있다.

이 함수의 정칙성은 조건 와 동일하다. 임의의 매끄러운 함수 에 대해, 미분 (0,1)-형식 는 -닫혀 있다. 를 에서 0이고, 의 어떤 콤팩트 부분 집합 의 여집합에서 1과 같은 매끄러운 함수로 선택하면, 이 (0,1)-형식은 추가적으로 콤팩트 지지를 가지므로, 푸앵카레 보조정리는 적절한 콤팩트 지지의 를 식별한다. 이는 에서 정칙 함수로서 를 정의한다.

집합 에서 는 가 상수이므로 정칙 함수이다. 이것이 무한대 근처에서 0이므로, 유일한 연속성을 적용하여 의 어떤 열린 부분 집합에서 0임을 알 수 있다. 따라서, 이 열린 부분 집합에서 는 와 같으며, 하르톡스 정리의 존재 부분이 증명된다. 유일성은 의 연결성에 기반한 유일한 연속성으로부터 자동적으로 얻어진다.

하르톡스 확장정리

1. 개요

2. 정의

3. 하르톡스 현상

3.1. 1변수 함수론에서의 반례

3.2. 다변수 함수론에서의 예시

4. 역사

5. 증명

5.1. 푸앵카레 보조정리 (Poincaré lemma)