범프 함수

1. 개요

범프 함수는 실수값을 가지는 매끄러운 함수로, 유한한 구간 밖에서는 0의 값을 갖는 함수이다. 범프 함수는 완화자, 절단 함수, 단위 분할 구성 등에 사용되며, 해석학에서 테스트 함수로 활용된다. 범프 함수의 공간은 여러 연산에 대해 닫혀 있으며, 푸리에 변환은 해석 함수이고, 0이 아닌 범프 함수는 콤팩트하게 지지받지 못한다.

2. 정의 및 예시

범프 함수는 다음 두 가지 조건을 만족하는 함수이다.

* 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$에서 정의된 매끄러운 함수(모든 차수의 도함수가 연속)
* 콤팩트 지지 (함수 값이 0이 아닌 점들의 집합의 폐포가 콤팩트 집합)

1차원 범프 함수의 예시로는 다음과 같이 정의되는 함수 Ψ : R → R가 있다.

:$\backslash Psi(x)\; =$
\begin{cases}
\exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right), & \text{ if } |x| < 1, \\
0, & \text{ if } |x| \geq 1,
\end{cases}

이 함수는 |x| < 1 에서 양수 값을 가지며, |x| ≥ 1 에서는 0이 된다.

*n*차원 범프 함수는 1차원 범프 함수를 각 변수에 대해 곱하여 만들 수 있다.

:$\backslash Phi(x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n)\; =\; \backslash Psi(x\_1)\backslash Psi(x\_2)\backslash cdots\backslash Psi(x\_n).$

$n$ 변수의 방사형 대칭 범프 함수는 $\backslash Psi\_n(\backslash mathbf\{x\})=\backslash Psi(|\backslash mathbf\{x\}|)$로 정의하여 만들 수 있다. 이 함수는 원점을 중심으로 하는 단위 구에 지지된다.

또 다른 예시로, 구간 (c, d)에서 양수이고 그 외에는 0인 함수 h는 다음과 같이 정의된다.

:$h(x)\; =\; \backslash begin\{cases\}$
\exp\left(-\frac{1}{(x-c)(d-x)}\right),& c < x < d \\
0,& \mathrm{otherwise}
\end{cases}

매끄러운 전이 함수는 0과 1 사이를 부드럽게 전환하는 함수이다. 모든 실수 x에 대해 정의된 함수 f(x)는 다음과 같다.

:

이 함수를 이용하여 0과 1 사이에서 매끄러운 전이를 제공하는 함수 g(x)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$g(x)=\backslash frac\{f(x)\}\{f(x)+f(1-x)\},\backslash qquad\; x\backslash in\backslash mathbb\{R\},$

2.1. 1차원 범프 함수의 예시

다음과 같이 정의된 함수 Ψ : R → R는 1차원 범프 함수의 예시이다.

:$\backslash Psi(x)\; =$
\begin{cases}
\exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right) & \mbox{ for } |x| < 1\\
0 & \mbox{ otherwise}
\end{cases}

이 함수는 |x| < 1 에서 양수 값을 가지며, |x| ≥ 1 에서는 0이 된다. 또한, 모든 차수의 도함수가 연속이므로 매끄러운 함수이다. 이 함수는 비해석적 매끄러운 함수의 예시이기도 하다. 이 함수는 정의를 보면 콤팩트 지지 함수임을 알 수 있다. 이 함수의 실선은 유계 지지 함수이며 닫힌 지지 함수일 경우에만 콤팩트 지지 함수이다. 이 함수가 매끄러움을 증명하려면 비해석적 매끄러운 함수의 함수와 같은 과정을 거친다. 이 함수는 단위 디스크에 맞게 축적시킨 가우스 함수 $e^\{-y^2\}$로 해석될 수 있다. $y^2=1/(1-x^2)$로 치환하여 x = ±1로 갈 때 y = ∞으로 대응 시키는 것이다.

2.2. 다차원 범프 함수

1차원 범프 함수를 각 변수에 대해 곱하여 다차원 범프 함수를 만들 수 있다. 예를 들어, *n*차원 범프 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash Phi(x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n)\; =\; \backslash Psi(x\_1)\backslash Psi(x\_2)\backslash cdots\backslash Psi(x\_n).$

여기서 $\backslash Psi(x)$는 1차원 범프 함수이다.

*n* 변수의 방사형 대칭 범프 함수는 $\backslash Psi\_n\; :\; \backslash Reals^n\; \backslash to\; \backslash Reals$ 함수를 다음과 같이 정의하여 만들 수 있다.

:$\backslash Psi\_n(\backslash mathbf\{x\})=\backslash Psi(|\backslash mathbf\{x\}|)$

이 함수는 원점을 중심으로 하는 단위 구에 지지된다.

2.3. 매끄러운 전이 함수

--
모든 실수 x에 대해 정의된 함수

:

를 생각해보자.

함수

:$g(x)=\backslash frac\{f(x)\}\{f(x)+f(1-x)\},\backslash qquad\; x\backslash in\backslash mathbb\{R\},$

는 실수 전체에서 분모가 0이 아니므로 g 역시 매끄럽다. 또한, x ≤ 0 이면 g(x) = 0 이고, x ≥ 1 이면 g(x) = 1 이므로, 이는 단위 구간 [0, 1]에서 0에서 1로 매끄럽게 변화하는 함수이다. a < b 인 실수 a, b에 대해, 구간 [a, b]에서 매끄러운 전이를 가지려면, 함수

:$\backslash mathbb\{R\}\backslash ni\; x\backslash mapsto\; g\backslash Bigl(\backslash frac\{x-a\}\{b-a\}\backslash Bigr).$

를 사용하면 된다.

매끄러운 전이 함수의 예시는 다음과 같다.
:

이는 쌍곡선 함수를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash frac\{1\}\{1+e^\{\backslash frac\{2x-1\}\{x^2-x\}\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\; 1-\backslash tanh\backslash left(\backslash frac\{2x-1\}\{2(x^2-x)\}\; \backslash right)\; \backslash right)$

3. 범프 함수의 존재성

범프 함수는 특정 조건을 만족하도록 만들 수 있다. n차원 콤팩트 집합 K와 K를 포함하는 열린 집합 U가 주어졌을 때, K 위에서 1이고 U 외부에서 0인 범프 함수 φ가 존재한다. U가 K와 매우 가깝더라도, K 위에서 1이고 K 외부에서 급격하게 0으로 떨어지면서 매끄러운 범프 함수를 만들 수 있다.

3.1. 구성 방법

범프 함수는 특정 조건을 만족하도록 만들 수 있다. n차원 콤팩트 집합 K와 K를 포함하는 열린 집합 U가 주어졌을 때, K 위에서 1이고 U 외부에서 0인 범프 함수 φ가 존재한다. U가 K와 매우 가깝더라도, K 위에서 1이고 K 외부에서 급격하게 0으로 떨어지면서 매끄러운 범프 함수를 만들 수 있다.

일반적인 구성 방법은 다음과 같다. 먼저, K ⊂ V^o ⊂ V ⊂ U를 만족하는 콤팩트 집합 V를 잡는다. 다음으로, V 위에서 1이고 V 외부에서 0인 특성 함수 $\backslash chi\_V$를 생각한다. 이 함수는 매끄럽지 않으므로, 완화자와의 합성곱을 통해 $\backslash chi\_V$를 매끄럽게 만든다. 완화자는 적분이 1이고 지지 집합이 매우 작은 범프 함수이며, 예를 들어 범프 함수 $\backslash Phi$에 적절한 크기 변환을 하여 얻을 수 있다.

합성곱을 사용하지 않는 구성 방법은 다음과 같다.

먼저, 주어진 열린 부분 집합 $U\; \backslash subseteq\; \backslash Reals^n$에서 양수이고 $U$ 외부에서 사라지는 매끄러운 함수 $f\; :\; \backslash Reals^n\; \backslash to\; \backslash Reals$를 구성한다. 이 함수의 지지대는 $\backslash Reals^n$에서 $U$의 폐포 $\backslash overline\{U\}$와 같으므로, $\backslash overline\{U\}$가 콤팩트하면 $f$는 범프 함수가 된다.

음수 실수에서 사라지고 양수 실수에서 양수인 매끄러운 함수 $c\; :\; \backslash Reals\; \backslash to\; \backslash Reals$를 정의한다. 예를 들어, $x\; >\; 0$이면 $c(x)\; :=\; e^\{-1/x\}$, 그렇지 않으면 $c(x)\; :=\; 0$으로 정의할 수 있다.

$U$를 $\backslash Reals^n$의 열린 부분 집합으로 고정하고, 유클리드 노름을 $\backslash |\backslash cdot\backslash |$로 나타낸다. $U\; =\; \backslash Reals^n$이면 $f\; =\; 1$로, $U\; =\; \backslash varnothing$이면 $f\; =\; 0$으로 정의한다. $U$가 이들 중 어느 것도 아니라고 가정하고, $\backslash left(U\_k\backslash right)\_\{k=1\}^\backslash infty$를 열린 공으로 $U$의 열린 덮개로 한다. 각 열린 공 $U\_k$는 반경 $r\_k\; >\; 0$과 중심 $a\_k\; \backslash in\; U$를 갖는다.

$f\_k(x)\; =\; c\backslash left(r\_k^2\; -\; \backslash left\backslash |x\; -\; a\_k\backslash right\backslash |^2\backslash right)$로 정의된 함수 $f\_k\; :\; \backslash Reals^n\; \backslash to\; \backslash Reals$는 $U\_k$에서 양수이고 $U\_k$ 외부에서 사라지는 매끄러운 함수이다.

모든 $k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$에 대해,
$$M\_k\; =\; \backslash sup\; \backslash left\backslash \{\backslash left|\backslash frac\{\backslash partial^p\; f\_k\}\{\backslash partial^\{p\_1\}\; x\_1\; \backslash cdots\; \backslash partial^\{p\_n\}\; x\_n\}(x)\backslash right|\; ~:~\; x\; \backslash in\; \backslash Reals^n\; \backslash text\{\; and\; \}\; p\_1,\; \backslash ldots,\; p\_n\; \backslash in\; \backslash Z\; \backslash text\{\; satisfy\; \}\; 0\; \backslash leq\; p\_i\; \backslash leq\; k\; \backslash text\{\; and\; \}\; p\; =\; \backslash sum\_i\; p\_i\backslash right\backslash \},$$
를 정의한다. 여기서 상한은 $+\backslash infty$와 같지 않고, $M\_k$는 음이 아닌 실수가 된다.

다음 급수
$$f\; ~:=~\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{f\_k\}\{2^k\; M\_k\}$$
는 $U$에서 양수이고 $U$ 외부에서 사라지는 매끄러운 함수 $f\; :\; \backslash Reals^n\; \backslash to\; \backslash Reals$로 $\backslash Reals^n$에서 균일하게 수렴한다.

또한, 모든 음이 아닌 정수 $p\_1,\; \backslash ldots,\; p\_n\; \backslash in\; \backslash Z$에 대해,
$$\backslash frac\{\backslash partial^\{p\_1+\backslash cdots+p\_n\}\}\{\backslash partial^\{p\_1\}\; x\_1\; \backslash cdots\; \backslash partial^\{p\_n\}\; x\_n\}\; f\; ~=~\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{2^k\; M\_k\}\; \backslash frac\{\backslash partial^\{p\_1+\backslash cdots+p\_n\}\; f\_k\}\{\backslash partial^\{p\_1\}\; x\_1\; \backslash cdots\; \backslash partial^\{p\_n\}\; x\_n\}$$
이며, 이 급수도 $\backslash Reals^n$에서 균일하게 수렴한다.

$\backslash Reals^n$의 두 서로소인 닫힌 부분 집합 $A,\; B$가 주어지면, 위 구성을 통해 매끄러운 음이 아닌 함수 $f\_A,\; f\_B\; :\; \backslash Reals^n\; \backslash to\; [0,\; \backslash infty)$를 얻을 수 있다. 이 함수들은 $x\; \backslash in\; A$이면 $f\_A(x)\; =\; 0$, $x\; \backslash in\; B$이면 $f\_B(x)\; =\; 0$을 만족한다.

$$h\; ~:=~\; \backslash frac\{f\_A\}\{f\_A\; +\; f\_B\}\; :\; \backslash Reals^n\; \backslash to\; [0,\; 1]$$
함수는 매끄럽고, $x\; \backslash in\; A$이면 $h(x)\; =\; 0$, $x\; \backslash in\; B$이면 $h(x)\; =\; 1$, $x\; \backslash not\backslash in\; A\; \backslash cup\; B$이면 을 만족한다.

$U\; :=\; \backslash Reals^n\; \backslash smallsetminus\; A$가 $\backslash Reals^n$에서 상대적으로 콤팩트하면, $h$는 $\backslash overline\{U\}$에서 지지대를 갖는 매끄러운 범프 함수가 된다.

4. 성질 및 활용

범프 함수는 매끄럽지만 해석 함수가 아니다. 이는 항등 정리에 따른 결과이다. 범프 함수는 완화자, 매끄러운 절단함수로 사용되거나 매끄러운 단위 분할을 구성하는 데 사용된다. 해석학에서 가장 많이 사용되는 테스트 함수의 종류이기도 하다.

범프 함수의 공간은 여러 연산에 대해 닫혀 있다. 예를 들어, 두 범프 함수의 합, 곱, 합성곱은 다시 범프 함수가 된다. 또한 매끄러운 계수를 가진 미분 연산자를 범프 함수에 적용하면 다른 범프 함수가 만들어진다.

범프 함수의 푸리에 변환은 실수 해석 함수이며, 복소 평면 전체로 확장할 수 있다. 따라서 0이 아닌 이상 콤팩트하게 지지받지 못한다. 전해석 함수인 범프 함수는 0 함수뿐이기 때문이다. (페일리 위너 정리) 범프 함수는 무한히 미분 가능하므로, 충분히 큰 각주파수 |k|에 대해 푸리에 변환 F(k)는 1/k의 유한한 거듭제곱보다 빠르게 감소해야 한다.

특별한 범프 함수
:
의 푸리에 변환은 안장점 방법으로 해석할 수 있으며, 큰 |k|에 대해 점근적으로
:$|k|^\{-3/4\}\; \backslash exp\; \backslash left(-\backslash sqrt$