호모토피 원리

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1. 개요

호모토피 원리는 편미분 방정식을 연구하는 데 사용되는 기법으로, 비홀로노믹 해가 홀로노믹 해와 호모토피 동치일 때 성립한다. 이 원리가 성립하면 미분 위상수학 문제를 대수적 위상수학 문제로 변환할 수 있다. 호모토피 원리는 몰입, 단조 함수, 평면 위의 자동차 등의 예시에서 나타나며, 구 뒤집기, 내시-카이퍼 정리와 같은 역설적인 결과를 낳기도 한다. 스티븐 스메일이 몰입에 대한 호모토피 원리를 증명했으며, 야코프 엘리아시베르크, 미하일 그로모프, 앤서니 필립스가 이 연구를 일반화했다.

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호모토피 원리

2. 정의

매끄러운 올다발 $\pi\colon E\twoheadrightarrow M$ 가 주어졌을 때, 그 $k$ 차 제트 다발 $\operatorname J^k(E)\twoheadrightarrow M$ 과 (단사 함수인) 제트 연장 $\operatorname j^k\colon\operatorname\Gamma^\infty(M,E)\to\operatorname\Gamma^\infty(M,\operatorname J^k(E))$ 을 생각할 수 있다.

$E$ 의 단면에 대한 $k$ 차 편미분 방정식은 제트 다발 $\operatorname J^k(E)$ 의 매끄러운 부분 다양체 $P\hookrightarrow\mathrm J^k(E)$ 이며, 그 해의 공간은 다음과 같다.

: $\operatorname{Sol}(P)=\{s\in\operatorname\Gamma^\infty(M,E)\colon \operatorname{im}(\operatorname j^k(s))\subseteq P\}$

편미분 방정식 $P$ 의 비홀로노믹 해와 홀로노믹 해에 대해서는 하위 섹션에서 더 자세히 설명한다.

2. 1. 홀로노믹 해와 비홀로노믹 해

편미분 방정식

P

의 '''비홀로노믹 해'''(非holonomic解, nonholonomic solution^영어)는 제약 조건을 완화하여 얻어진 해이다. 비홀로노믹 해의 공간은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{nhSol}^k(P) = \{s\in\operatorname\Gamma^\infty(M,\operatorname J^k(E))\colon \operatorname{im}s\in P\}

여기서

\operatorname J^k(E)

는

k

차 제트 다발을 의미한다.

제트 다발에 의해 단사 함수

:

\operatorname j^k \colon \operatorname{Sol}(P)\hookrightarrow\operatorname{nhSol}^k(P)

가 주어지는데, 이를 통해 비홀로노믹 해와 홀로노믹 해를 구별할 수 있다.

P

의 참된 해, 즉 원래의 편미분 방정식을 만족하는 해는 '''홀로노믹 해'''라고 불린다.

\mathbb{R}^m

에서

k

차 편미분 방정식을 만족하는 함수

f

를 좌표

(u_1,u_2,\dots,u_m)

에서 찾는 경우를 생각해보자. 이 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\Psi(u_1,u_2,\dots,u_m, J^k_f)=0

여기서

J^k_f

는

f

의

k

차까지의 모든 편미분을 나타낸다.

J^k_f

의 모든 변수를 새로운 독립 변수

y_1,y_2,\dots,y_N

로 바꾸면 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:

\Psi^{}_{}(u_1,u_2,\dots,u_m,y_1,y_2,\dots,y_N)=0

그리고 다음과 같은 형식의 여러 방정식이 추가적으로 존재한다.

:

y_j={\partial^k f\over \partial u_{j_1}\ldots\partial u_{j_k}}.

다음 방정식의 해

:

\Psi^{}_{}(u_1,u_2,\dots,u_m,y_1,y_2,\dots,y_N)=0

는 '''비홀로노믹 해'''라고 불리며, 원래의 편미분 방정식의 해이기도 한 시스템의 해는 '''홀로노믹 해'''라고 한다.

일반적으로 비홀로노믹 해를 찾는 것은 홀로노믹 해를 찾는 것보다 쉽다. 따라서 원래 방정식의 해가 존재하는지 확인하기 위해 먼저 비홀로노믹 해가 있는지 확인하는 방법을 사용할 수 있다. 만약 비홀로노믹 해가 존재하지 않으면, 원래 방정식의 홀로노믹 해도 존재하지 않는다.

편미분 방정식이 h-원리를 만족한다는 것은 모든 비홀로노믹 해가 호모토피를 통해 홀로노믹 해로 변형될 수 있다는 것을 의미한다.

2. 2. 호모토피 원리의 정의

편미분 방정식

P

의 '''비홀로노믹 해'''(非holonomic解, nonholonomic solution^영어)의 공간은 다음과 같다.

:

\operatorname{nhSol}^k(P) = \{s\in\operatorname\Gamma^\infty(M,\operatorname J^k(E))\colon \operatorname{im}s\in P\}

여기서

\operatorname J^k(E)

는

k

차 제트 다발이다.

제트 다발에 의하여 단사 함수

:

\operatorname j^k \colon \operatorname{Sol}(P)\hookrightarrow\operatorname{nhSol}^k(P)

가 주어지는데, 이때

\operatorname{Sol}(P)

는

P

의 (홀로노믹) 해의 공간이다. 비홀로노믹 해와 구별하기 위하여,

P

의 참된 해는 "홀로노믹 해"라고 한다.

만약 다음 조건이 성립한다면,

P

가 '''호모토피 원리'''를 만족시킨다고 한다.

:모든 비홀로노믹 해의 공간은 (홀로노믹) 해의 공간과 호모토피 동치이다. 즉,

\operatorname{nhSol}^k(P)

의 모든 경로 연결 성분이

\operatorname{Sol}(P)

의 원소를 하나 이상 포함한다.

좀 더 쉽게 설명하면,

\mathbb{R}^m

에서

k

차 편미분 방정식을 만족하는 함수

f

를 찾는 문제는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\Psi(u_1,u_2,\dots,u_m, J^k_f)=0

여기서

J^k_f

는

f

의

k

차까지의 모든 편미분을 나타낸다.

J^k_f

의 모든 변수를 새로운 독립 변수

y_1,y_2,\dots,y_N

로 바꾸면 방정식은 다음과 같이 된다.

:

\Psi^{}_{}(u_1,u_2,\dots,u_m,y_1,y_2,\dots,y_N)=0

이 방정식의 해는 비홀로노믹 해라고 하며, 원래의 편미분 방정식의 해이기도 한 해는 홀로노믹 해라고 한다.

편미분 방정식이 h-원리를 만족한다는 것은, 모든 비홀로노믹 해가 비홀로노믹 해의 클래스 내에서 호모토피를 통해 홀로노믹 해로 변형될 수 있다는 것을 의미한다.

3. 성질

매끄러운 올다발 $E\twoheadrightarrow M$ 의 $k$ 차 편미분 방정식

: $P\subseteq\operatorname J^k(E)$

가 호모토피 원리를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, $P$ 의 해가 존재할 필요충분조건은 $\operatorname{nhSol}^k(P)$ 가 공집합이 아닌지 여부이다. 이는 보통 $P$ 의 해를 찾는 것보다 더 쉬우며, 보통 호모토피 이론에만 의존한다.

$\mathbb{R}^m$ 에서 $k$ 차 편미분 방정식을 만족하는 함수 $f$ 를 좌표 $(u_1,u_2,\dots,u_m)$ 에서 찾고 싶다고 가정해 보자. 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $\Psi(u_1,u_2,\dots,u_m, J^k_f)=0$

여기서 $J^k_f$ 는 $f$ 의 $k$ 차까지의 모든 편미분을 나타낸다. $J^k_f$ 의 모든 변수를 새로운 독립 변수 $y_1,y_2,\dots,y_N$ 로 바꾸면 방정식은 다음과 같이 된다.

: $\Psi^{}_{}(u_1,u_2,\dots,u_m,y_1,y_2,\dots,y_N)=0$

그리고 다음과 같은 형식의 여러 방정식이 있다.

: $y_j={\partial^k f\over \partial u_{j_1}\ldots\partial u_{j_k}}.$

다음 방정식의 해는

: $\Psi^{}_{}(u_1,u_2,\dots,u_m,y_1,y_2,\dots,y_N)=0$

'''비홀로노믹 해'''라고 하며, 원래의 편미분 방정식의 해이기도 한 시스템의 해는 '''홀로노믹 해'''라고 한다.

원래 방정식의 해가 존재하는지 확인하기 위해 먼저 비홀로노믹 해가 있는지 확인할 수 있다. 일반적으로 이것은 매우 쉬우며, 비홀로노믹 해가 없으면 원래 방정식에는 어떤 해가 존재하지 않는다.

편미분 방정식이 h-원리를 만족한다는 것은, 모든 비홀로노믹 해가 비홀로노믹 해의 클래스 내에서 호모토피를 통해 홀로노믹 해로 변형될 수 있다는 것을 의미한다. 따라서 h-원리가 존재할 경우, 미분 위상수학 문제는 대수적 위상수학 문제로 축소된다. 좀 더 명확히 말하면, 위상수학적 장애물 외에는 홀로노믹 해의 존재에 대한 다른 장애물이 없다는 것을 의미한다. ''비홀로노믹 해''를 찾는 위상수학적 문제는 다루기가 훨씬 쉽고, 위상적 다발에 대한 장애 이론으로 해결할 수 있다.

많은 미결정 편미분 방정식이 h-원리를 만족하지만, h-원리의 거짓 또한 흥미로운 명제이다. 직관적으로 이것은 연구 대상이 되는 객체가 위상수학으로 축소될 수 없는 비자명한 기하학적 구조를 가지고 있음을 의미한다. 예를 들어, 심플렉틱 다양체에 임베딩된 라그랑지안 부분다양체는 h-원리를 만족하지 않으며, 이를 증명하기 위해 예를 들어 유사정칙 곡선에서 나오는 불변량을 찾을 수 있다.

4. 예시

호모토피 원리가 적용되는 다양한 예시를 통해 원리 이해를 돕는다.

몰입 (수학): 두 매끄러운 다양체 $M$ , $N$ 에 대한 몰입의 존재는 호모토피 원리를 만족시킨다. 몰입의 존재 및 몰입의 호모토피류 분류는 호모토피 이론만으로 결정된다.

단조 함수: 도함수가 0이 아닌 함수( $f'(x) \neq 0$ )는 엄격하게 단조(증가 또는 감소)하는 미분 가능한 함수이다. 이러한 함수는 증가하는 함수와 감소하는 함수, 두 개의 볼록 집합으로 구성되며, 두 점의 호모토피 형식을 갖는다.

평면 위의 자동차: 평면에서 자동차 위치는 뒷바퀴 사이 중간점 위치를 나타내는 좌표 $x$ , $y$ 와 자동차 방향을 나타내는 각도 $\alpha$ , 총 세 개의 매개변수로 결정된다. 자동차 움직임은 미끄러지지 않고 바퀴 방향으로 움직여야 하므로 $\dot x \sin\alpha=\dot y\cos \alpha.$ 방정식을 만족한다. 이는 로봇 공학에서 모든 경로가 홀로노믹하지 않다는 것을 의미한다. 비홀로노믹 솔루션은 평면에서 미끄러지는 자동차 움직임에 해당하며, 홀로노믹 솔루션과 호모토피일 뿐만 아니라, 좁은 공간에서 평행 주차를 하는 것처럼 앞뒤로 움직여 홀로노믹 솔루션으로 임의로 가깝게 근사할 수 있다. 즉, 이론적으로 차 길이보다 긴 공간에서는 평행 주차가 가능하다. 이는 접촉 3-다양체에서 모든 곡선이 $C^0$ -가까운 Legendrian 곡선임을 의미하며, $C^0$ -'''밀집 h-원리'''라고 불린다.

4. 1. 몰입 (수학)

두 매끄러운 다양체

M

,

N

에 대하여, 몰입의 존재는 일종의 1차 편미분 방정식이다. 이는 호모토피 원리를 만족시키며, 따라서 몰입의 존재 및 몰입의 호모토피류들의 분류는 호모토피 이론만으로 결정된다.

4. 2. 단조 함수

도함수가 0이 아닌 경우(

f'(x) \neq 0

)에 대한 홀로노믹 해는 도함수가 어디에서도 0이 아닌 함수, 즉 엄격하게 단조(증가 또는 감소)하는 미분 가능한 함수이다. 이러한 함수의 공간은 증가하는 함수와 감소하는 함수, 두 개의 볼록 집합으로 구성되며, 두 점의 호모토피 형식을 갖는다.

4. 3. 평면 위의 자동차

평면에서 자동차의 위치는 세 개의 매개변수로 결정된다. 위치를 나타내는 두 개의 좌표

x

와

y

(뒷바퀴 사이 중간점의 위치)와 자동차의 방향을 나타내는 각도

\alpha

이다. 자동차의 움직임은 다음 방정식을 만족한다.

:

\dot x \sin\alpha=\dot y\cos \alpha.

미끄러지지 않는 자동차는 바퀴 방향으로 움직여야 하기 때문이다. 로봇 공학 용어로, 작업 공간의 모든 경로는 홀로노믹하지 않다.

이 경우 비홀로노믹 솔루션은 평면에서 미끄러지는 자동차의 움직임에 해당한다. 이 비홀로노믹 솔루션은 홀로노믹 솔루션과 호모토피일 뿐만 아니라, 좁은 공간에서 평행 주차를 하는 것처럼 앞뒤로 움직여 홀로노믹 솔루션으로 임의로 가깝게 근사할 수 있다. 이는 자동차의 위치와 각도를 임의로 가깝게 근사한다는 것을 의미한다. 이론적으로 차 길이보다 긴 어떤 공간에서도 평행 주차가 가능하다는 것을 뜻한다. 또한, 접촉 3-다양체에서 모든 곡선이

C^0

-가까운 Legendrian 곡선임을 의미한다.

이 속성은 일반적인 h-원리보다 강력하며,

C^0

-'''밀집 h-원리'''라고 불린다.

5. 호모토피 원리의 증명 방법

호모토피 원리의 증명 방법에는 그로모프와 엘리아시버그가 개발한 특이점 제거 기법, 스메일과 허쉬의 연구에 기반한 층 기법,^[1]^[2] 내쉬와 카이퍼의 연구에 기반한 볼록 적분^[3]^[4]^[5] 등이 있다.

5. 1. 특이점 제거 기법

그로모프(Mikhail Gromov^영어)와 엘리아시버그(Yakov Eliashberg^영어)가 개발한 특이점 제거 기법은 다음과 같다.^[1]^[2]

층 기법: 스메일(Stephen Smale)과 허쉬(Morris Hirsch)의 연구에 기반한다.
볼록 적분: 내쉬(John Forbes Nash Jr.)와 카이퍼(Nicolaas Kuiper)의 연구에 기반한다.^[3]^[4]^[5]

5. 2. 층 기법

스메일과 허쉬의 연구에 기반한 층 기법이다.^[1]^[2]

5. 3. 볼록 적분

내쉬와 카이퍼의 연구에 기반한 볼록 적분 기법이다.^[3]^[4]^[5]

6. 역설적인 결과 (Paradoxes)

다음은 h-원리를 적용하여 증명할 수 있는 몇 가지 직관에 반하는 결과들이다.

구 뒤집기는 주름이나 찢김 없이 수행할 수 있다.^[6]
내시-카이퍼 C¹ 등거리 매입 정리에 따르면, 둥근 $S^2$ 를 $\mathbb R^3$ 의 임의로 작은 공으로 $C^1$ 등거리 침윤시킬 수 있다. 그러나 이 침윤은 $C^2$ 가 될 수 없는데, 작은 진동하는 구는 주곡률에 대한 큰 하한을 제공하고, 따라서 침윤된 구의 가우스 곡률에 대한 하한을 제공하기 때문이다. 반면 침윤이 $C^2$ 라면, 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)에 의해 이는 표준 $S^2$ 의 가우스 곡률인 1과 모든 곳에서 같아야 한다.^[6]

6. 1. 원뿔 뒤집기

원점을 제외한 '''R'''²의 함수 ''f''(''x'') = |''x''|를 생각해 보자. 그러면

f_0=f

,

f_1=-f

이고 모든

t

에 대해

\operatorname{grad}(f_t)

가 어떤 점에서도 0이 아닌 연속적인 일변수 함수족

f_t

가 존재한다.^[6]

6. 2. 열린 다양체의 리만 계량

다음은 h-원리를 적용하여 증명할 수 있는 몇 가지 직관에 반하는 결과이다.

모든 열린 다양체는 양 또는 음의 곡률을 갖는 (비완비) 리만 계량을 허용한다.^[6]

6. 3. 구 뒤집기

구 뒤집기는

C^1

침윤을 사용하여 주름이나 찢김 없이 수행할 수 있다.^[6]

7. 역사

스티븐 스메일은 몰입에 대한 호모토피 원리를 증명하였으나, ‘호모토피 원리’라는 개념이나 용어를 사용하지는 않았다. 스메일은 이를 바탕으로 2차원 구가 3차원 유클리드 공간에 몰입될 때 호모토피류가 하나밖에 없음을 계산하였다.

이후 야코프 마트베예비치 엘리아시베르크(Яков Матвеевич Элиашберг|야코프 마트베예비치 엘리아시베르크^ru, 1946~)와 미하일 그로모프, 앤서니 필립스(Anthony V. Phillips|앤서니 필립스^영어, 1938~)가 스메일의 업적을 일반화하여 호모토피 이론을 제창하였다.

7. 1. 스티븐 스메일

스티븐 스메일이 몰입에 대한 호모토피 원리를 증명하였으나, '호모토피 원리'라는 개념이나 용어를 사용하지는 않았다. 스메일은 이를 바탕으로 2차원 구의 3차원 유클리드 공간으로의 몰입의 호모토피류가 하나밖에 없음을 계산하였다.

이후 야코프 마트베예비치 엘리아시베르크(Яков Матвеевич Элиашберг|야코프 마트베예비치 엘리아시베르크^ru, 1946~)와 미하일 그로모프, 앤서니 필립스(Anthony V. Phillips|앤서니 필립스^영어, 1938~)가 스메일의 업적을 일반화하여 호모토피 이론을 제창하였다.

7. 2. 야코프 마트베예비치 엘리아시베르크, 미하일 그로모프, 앤서니 필립스

스티븐 스메일은 몰입에 대한 호모토피 원리를 증명하였으나, "호모토피 원리"라는 개념이나 용어를 사용하지는 않았다. 스메일은 이를 바탕으로 2차원 구가 3차원 유클리드 공간에 몰입될 때 호모토피류는 하나 밖에 없음을 계산하였다.

이후, 야코프 마트베예비치 엘리아시베르크(Яков Матвеевич Элиашберг|야코프 마트베예비치 엘리야시베르크^ru, 1946~)와 미하일 그로모프, 앤서니 필립스(Anthony V. Phillips|앤서니 필립스^영어, 1938~)가 스메일의 업적을 일반화하여 호모토피 이론을 제창하였다.

참조

_[1] 논문 Immersions of manifold
_[2] 논문 The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces
_[3] 논문 $C^1$ Isometric Imbedding
_[4] 논문 On $C^1$ Isometric Imbeddings I, II
_[5] 서적 Convex integration theory - solutions to the h-principle in geometry and topology Birkhauser-Verlag
_[6] 서적 Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics

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